高考数学刷题首秧第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试24解三角形应用文含解析

考点测试24解三角形的应用一、基础小题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是( )A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案B分析依据仰角与俯角的含义，绘图即可得悉．2．在△ABC中，若A，B，C成等差数列，且AC＝6，BC＝2，则A＝( )A．135°B．45°C．30°D．45°或135°答案B分析因为，，C成等差数列，所以＝60°．由正弦定理，得2＝6，则ABBsinAsin60°2sinA＝2．又BC＜AC，所以A＜B，故A＝45°．应选B．3．海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝32，若在B，C两岛的连线段之间建一座灯塔，使得灯塔到，B两岛距离相等，则，D间的距离为( )DDAB1A．310B．10C．13D．32答案B分析由题意可知，D为线段AB的垂直均分线与BC的交点，设BD＝t．由余弦定理可2223得BC＝6＋(32)－2×6×32cos∠BAC＝90，解得BC＝310．由cos∠ABC＝t＝62＋3102－3222×6×310，解得t＝10．应选B．4．一船自西向东匀速航行，上午10时抵达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时抵达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A．176海里/小时B．346海里/小时2C．172海里/小时D．342海里/小时2答案APMMN68×3MN分析如下图，在△PMN中，sin45°＝sin120°，∴MN＝2＝346．∴v＝4＝1762(海里/小时)．应选A．5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为sinA＝cosBcosCa，b，c．若＝，则△ABCabc的形状为()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个角为30°的直角三角形D．有一个角为30°的等腰三角形答案B2sinAsinBsinCsinAcosBcosC分析由正弦定理，得a＝b＝c，又a＝b＝c，两式相除，得1＝tanB＝tanC，所以B＝C＝45°．所以A＝90°，故△ABC为等腰直角三角形．应选B．6．如下图，为了丈量某湖泊双侧A，B间的距离，李宁同学第一选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，而后给出了三种丈量方法：①丈量A，C，b；②丈量a，b，C；③丈量A，B，a，则必定能确立A，B间的距离的全部方案的序号为( )A．①②B．②③C．①③D．①②③答案D分析由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可独一确立，经过解三角形的知识可求出AB．应选D．7．一艘海监船在某海疆实行巡航监督，由A岛向正北方向行驶80海里至M处，而后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶303海里至B岛，则A，B两岛之间的距离是________海里．答案70分析依题意画出图形，连结AN，则在△AMN中，应用余弦定理可得222－AN＝50＋802×50×80×cos60°，即AN＝70．应用余弦定理可得cos∠ANM＝502＋702－80212×50×70＝7，所以sin∠ANM＝4323)2＋702．在△ANB中，应用余弦定理可得AB＝(30－2×303×70×cos733∠ANB，而cos∠ANB＝cos(150°－∠ANM)＝cos150°cos∠ANM＋sin150°·sin∠ANM＝14，3所以AB＝2233303＋70－2×303×70×14＝70．8．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10m，则旗杆的高是________m．答案10(3－3)分析由题意得∠＝45°，∠＝30°，＝AB，所以＝AEsin45°＝DEAADEAEcos15°ADsin30°2AB2×10cos15°，所以CD＝ADsin60°＝cos45°－30°×sin60°＝10(3－3)．二、高考小题π19．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝4，BC边上的高等于3BC，则cosA＝( )3101010310A．10B．10C．－10D．－10答案C122分析解法一：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝3BC，则CD＝3BC，AB＝35AB2＋AC2－BC2BC，AC＝3BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝2AB·AC＝25BC2＋BC2－BC299105＝－10．应选C．2×3BC×3BC4解法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝31BC，则CD＝32BC，在Rt△ADC5中，AC＝3BC，255πsin∠DAC＝5，cos∠DAC＝5，又因为∠B＝4，πππ52所以cos∠BAC＝cos∠DAC＋4＝cos∠DAC·cos4－sin∠DAC·sin4＝5×2－252105×2＝－10．应选C．322210．(2018·北京高考)若△ABC的面积为4(a＋c－b)，且∠C为钝角，则∠B＝c________；a的取值范围是________．答案π(2，＋∞)3分析1sin＝32＋2－2)＝3×2cos，则tan＝3，∵0<∠<π，依题意有(acb42acB4acBBB∴∠B＝π．32πcsinCsin3－A13cosA1312ππa＝sinA＝sinA＝2＋2sinA＝2＋2·tanA，∵∠C为钝角，∴3－∠A>2，π，则0<tanA<3又∠A>0，∴0<∠A<，631c13∴tanA>3，故a>2＋2×3＝2．c故的取值范围为(2，＋∞)．a11．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的均分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．答案95分析解法一：依题意画出图形，如下图．易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，11即2csin60°＋2asin60°1112acsin120°，∴a＋c＝ac，∴a＋c＝1，∴4＋＝(4a＋)11c4ac4a3＝3时取“＝”．＋＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即＝，accacacaca2c解法二：作∥交于，DECBABE∵BD为∠ABC的均分线，BAADc∴＝＝，BCDCaDE∥CB，ADAEDEc∴＝＝＝，ACABBCa＋ca→→c→BE＝a＋cBA，ED＝a＋cBC．a→c→BD＝a＋cBA＋a＋cBC．a→c→2BD2＝a＋cBA＋a＋cBC，a→2c→2ac→→1∴1＝BA＋BC＋2··|BA|·|BC|×－，a＋ca＋ca＋ca＋c26ac211∴1＝2，∴ac＝a＋c，∴＋＝1，a＋cac11c4ac4a3∴4a＋c＝(4a＋c)a＋c＝5＋a＋c≥9，当且仅当a＝c，即a＝2，c＝3时取“＝”．解法三：以B为原点，BD所在直线为x轴成立如下图的平面直角坐标系，则D(1,0)，∵AB＝c，BC＝a，c3a3∴A2，2c，C2，－2a．→→∵A，D，C三点共线，∴AD∥DC，c33a∴1－2－2a＋2c2－1＝0，11∴ac＝a＋c，∴a＋c＝1，∴4＋＝(4a＋)1＋1＝5＋c＋4a≥9，当且仅当c＝4a，即＝3，＝3时取“＝”．accacacaca2c12．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形中，∠＝∠＝∠＝75°，＝2，则ABABCDABCBC的取值范围是________．答案(6－2，6＋2)分析解法一：如下图，7因为∠A＝∠B＝∠C＝75°，所以∠D＝135°．因为BC＝2，所以当点D与点C重合时，ABBC由正弦定理可得sin30°＝sin75°，解得AB＝6－2．当点D与点A重合时，由正弦定理可得ABBCsin75°＝sin30°，解得AB＝6＋2．因为ABCD为平行四边形，所以AB∈(6－2，6＋2)．所以AB的取值范围是(6－2，6＋2)．解法二：如下图，延伸BA与CD订交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF<AB<BE．在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，∴BF＝22＋22－2×2×2cos30°＝6－2．在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE2BE＝CE，BC＝2，sin75°＝sin30°，∴＝2×6＋2＝6＋2．BE142∴6－2<AB<6＋2．所以AB的取值范围是(6－2，6＋2)．813．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2．点D为AB延伸线上一点，BD2，连结CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．1510答案24分析∵AB＝AC＝4，BC＝2，AB2＋BC2－AC21∴cos∠＝＝．42·AB·BC∵∠ABC为三角形的内角，∴sin∠＝15，∴sin∠＝15，ABC4CBD411515故S△CBD＝2×2×2×4＝2．∵BD＝BC＝2，∴∠ABC＝2∠BDC．又cos∠ABC＝，∴2cos2∠BDC－1＝1，441得cos2∠BDC＝5，810又∠BDC为锐角，∴cos∠BDC＝．4三、模拟小题14．(2018·东北三校联考)若两座灯塔A和B与大海察看站C的距离都等于akm，灯塔A在察看站C的北偏东20°方向上，灯塔B在察看站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．akmB．2akmC．2akmD．3akm答案D9分析如下图，依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，AC＝BC＝akm，在△ABC中，由余弦定理知AB＝a2＋a2－2·a·a·－

12＝3a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为3akm．应选D．15．(2018·福建八校联考)我国南宋有名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝1a2c2－a2＋c2－b22．若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则42用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为()A．3B．2C．3D．6答案A分析由正弦定理得2＝4，所以ac＝4，且2＋2－b2＝12－2ac＝4，代入面积公式acaac得1×16－22＝3．应选A．416．(2018·湖南邵阳一模)在△中，角，，C的对边分别为a，，．已知三个ABCABbc向量m＝a，cosA，n＝b，cosB，p＝c，cosC共线，则△ABC的形状为()222A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案AAB分析∵向量m＝a，cos2，n＝b，cos2共线，10Aacos2＝bcos2．BA由正弦定理得sinAcos2＝sinBcos2．AABBBA∴2sincoscos＝2sincoscos，222222Bsin2＝sin2．AπBπAB∵0<<，0<<，∴＝，∴＝．222222同理可得B＝C，∴△ABC为等边三角形．应选A．17．(2018·南昌模拟)如下图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等候救援，甲船立刻前去救援，同时把信息见告在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立刻朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前去B处救援，则sinθ的值为________．答案

217分析如图，连结BC，在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得222，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCAB，BC＝AC＋AB－2AB·AC·cos120°＝700＝sinθsin∠BACsinθ＝21．71118．(2018·广东汕头期末)为了应付日趋严重的天气问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”天气仪器，这类仪器能够弹射到空中进行天气观察，如下图，A，B，C三地位于同一水平面上，这类仪器在C地进行弹射实验，观察点A，B两地相距100米，2∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音比B地晚17秒(已知声音流传速度为340米/秒)，在A地测得该仪器至高H处的仰角为30°，则这类仪器的垂直弹射高度HC＝________米．答案140322分析设BC＝x米，则AC＝x＋17×340＝(x＋40)米．在△ABC中，由余弦定理可得BC222221＝AB＋AC－2AB·ACcos∠BAC，即x＝100＋(40＋x)－2×100×(40＋x)×2，解得x＝380，所以＝380＋40＝420(米)．AC解法一：＝tan∠＝420×3＝1403(米)．HCACHAC3解法二：因为∠HAC＝30°，所以∠AHC＝90°－30°＝60°．在△ACH中，由正弦定理，1得ACHC420＝HC，所以HC＝420×23(米)．＝，即sin60°sin30°＝140sin∠AHCsin∠HAC32一、高考大题1．(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinAπacosB－6．求角B的大小；12设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．b解(1)在△ABC中，由正弦定理sinA＝sinB，可得sin＝sin，又由sin＝cos－π，bAaBbAaB6得asinB＝acosB－π，即sinB＝cosB－π，66可得tanB＝3．又因为B∈(0，π)，可得B＝π．3在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7．由bsinA＝acosB－π，可得sinA＝3．672因为a<c，故cosA＝．73所以sin2A＝2sinAcosA＝7，cos2A＝2cos2A－1＝17．所以，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB43113337×2－7×2＝14．2．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinA＋3cosA0，a＝27，b＝2．求c；设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解(1)由已知可得tanA＝－3，132π所以A＝3．在△ABC中，由余弦定理得22π228＝4＋c－4ccos，即c＋2c－24＝0．解得c＝－6(舍去)或c＝4．π(2)由题设可得∠CAD＝2，π所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝6．故△ABD面积与△ACD面积的比值为1π2AB·AD·sin6＝1．12AC·AD1又△ABC的面积为2×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3．3．(2016·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＋c2acosB．证明：A＝2B；a2若△ABC的面积S＝4，求角A的大小．解(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π，所以，B＝π－(A－B)或B＝A－B，所以A＝π(舍去)或A＝2B，14所以A＝2B．a21a2(2)由S＝4得2absinC＝4，故有sinsin1＝sincos，＝sin2BC2BBB因sinB≠0，得sinC＝cosB．π又B，C∈(0，π)，所以C＝2±B．当B＋C＝π时，A＝π；22ππ当C－B＝2时，A＝4．综上，＝π或＝π．A2A4二、模拟大题4．(2018·湖北部分要点中学适应性训练)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且知足cos(A－B)＝2sinAsinB．判断△ABC的形状；若a＝3，c＝6，CD为角C的均分线，求CD的长．解(1)由cos(A－B)＝2sinAsinB，得cosAcosB＋sinAsinB＝2sinAsinB，cosAcosB－sinAsinB＝0，cos(A＋B)＝0，∴C＝90°．故△ABC为直角三角形．由(1)知C＝90°，又a＝3，c＝6，∴b＝c2－a2＝33，A＝30°，15ADC＝180°－30°－45°＝105°．由正弦定理得CD＝ACsinA，sin∠ADC3333192－36∴CD＝sin105°×sin30°＝6＋2×2＝2．45．(2018·云南昆明二模)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，知足AD⊥AC，cos1∠BAC＝－3，AB＝32，BD＝3．求AD的长；求△ABC的面积．1解(1)因为AD⊥AC，cos∠BAC＝－，且∠BAC∈(0，π)，32所以sin∠BAC＝3．又sin∠BAC＝sinπ＋∠BAD＝cos∠BAD＝22，23在△中，2＝2＋2－2·cos∠，即2－8＋15＝0，ABDBDABADABADBADADAD解得AD＝5或AD＝3，因为AB>AD，所以AD＝3．(2)在△ABD中，BDAB＝，sin∠BADsin∠ADB又由cos∠＝22，得sin