九年级数学中考题集之四边形讲义

中考题级之四边形【知识内容】

【例题精讲】如图，在梯形中，，平分，，交的延长线于点，．⑴求证：；⑵若，，求边的长．【年上海】⑴证明：∵∴∵平分∴∴又∵∴∴梯形是等腰梯形，即⑵如图，作，，则∵，∴同理，∵∴∴

如图，在梯形中，，，过点作，垂足为，并延长至，使．连接．⑴求证：四边形是平行四边形；⑵如果，求证：四边形是矩形．【年上海】⑴联结，证明对边相等⑵射影模型己知：如图，在菱形中，点分别在边，，与交于点．⑴求证：；⑵当时，求证：四边形是平行四边形．【年上海】⑴⑵∵∴又∵∴∴，又∵∴，∴四边形是平行四边形如图，矩形中，，，为中点，点在线段上运动，垂直平分，垂足为，分别交、于、．⑴求的值；⑵设，四边形的面积为，求关于的函数关系式；当取最大值时，判断四边形的形状，并说明理由． ⑴作∴∴⑵易得，∴∴∴∴∴当时，取最大值，最大值为此时，点与点重合，四边形为菱形

如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点、点重合），将正方形纸片折叠，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，联结，．

⑴求证：；

⑵当点在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论；

⑶设，四边形的面积为，求与的函数关系式，试问是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．⑴易证⑵不会发生变化作易证，，则∴，∴⑶存在最小值作于，则为矩形易证，∴在中，∴，解得∴∴∴当时，面积取最小值，最小值为在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形为矩形，边在轴上，边在轴上，是矩形的对角线，点的坐标是，点在轴上，． ⑴求点的坐标；⑵点从点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动，点运动的速度是个单位/秒，设的面积为，点的运动时间为，求与之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）；⑶在⑵的条件下，点的运动过程中，是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ⑴点的坐标为⑵当点在线段上时，∴当点在线段上时，∴⑶①当点在线段上时易证，∴∴，即②当点在线段上时易证，∴∴∴∴③、重合矩形，，点为矩形的边上一动点，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点． ⑴如图，求证：⑵当点与点重合时，如图，点在的延长线上，联结，点为中点，联结，，联结交于点，若，求的长．⑴易证，∴，即又∴∴，即⑵辅助线如图，设则，，，又，∴，即，∴，∴∴为等边三角形∴与中，利用勾股定理，解得，已知四边形中．、分别是、边上的点，与交于点．⑴如图，若四边形是矩形．，．且，则．（用含，的代数式表示）⑵如图，若四边形是平行四边形，当时，⑴中的结论是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．⑶拓展探究：如图，若，，，，请直接写出的值．图图图⑴⑵构造相似，以为圆心，为半径作弧交延长线于∵∴∴∴⑶过点作于，交延长线于设又，中，，（舍）又∵如图，正方形中，为上一点，过作于，延长至点使．

⑴求证：⑵延长、交于点，联结、，若为中点，，求的长． ⑴作于易证∴，∴，即法二：联结交于点，联结⑵辅助线如图易证，为等腰直角三角形∴∴又为中点∴，∴，，易证，∴∴

【巩固练习】已知：如图，梯形中，，，对角线相交于点，点是边延长线上一点，且．⑴求证：四边形是平行四边形；⑵连接，交于点，求证：．【年上海】⑴∵∴⑵∵∴∵∴∴

如图，矩形中，，，在边上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．⑴求和的长；⑵一动点从点出发，以每秒的速度沿向终点作匀速运动，过点作交于点，过点作交于点．设点运动的时间为，四边形的面积为，试探究的最大值？⑶以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，在⑵的条件