高中数学基础知识完全总结(文科类)

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第一部分集合

1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…；2．数形结合．．．．是解集合问题的常用办法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想办法解决；φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n-2；（2）;BBAABABA=?=??注重：研究的时候不要忘记了φ=A的状况；（3）)()()();()()(BCACBACBCACBACIIIIII==。

其次部分函数与导数

1．映射：注重①第一个集合中的元素必需有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法；②配办法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式

2

2

2

2babaab+≤

+≤；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、肯定值的意义等）；⑧利用函数有界性（x

a、xsin、xcos等）；⑨导数法

3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([xgfy=分解为基本函数：内函数)(xgu=与外函数)(ufy=；②分离讨论内、外函数在各自定义域内的单调性；③按照“同性则增，异性则减”来推断原函数在其定义域内的单调性。

注重：外函数)(ufy=的定义域是内函数)(xgu=的值域。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的须要条件．．．．；⑵)(xf是奇函数?1)

()(0)()()()(-=-?=+-?-=-xfxfxfxfxfxf；

⑶)(xf是偶函数1)

()(0)()()()(=-?=--?=-?xfxfxfxfxfxf；

⑷奇函数)(xf在原点有定义，则0)0(=f；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再推断其奇偶性；6．函数的单调性

⑴单调性的定义：)(xf在区间M上是增（减）函数,,21Mxx∈??当21xx--?xfxfxx)0(0)

()(2

121--?

xxxfxf；

⑵单调性的判定定义法：注意：一般要将式子)()(21xfxf-化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见2（2））；④图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有)()(xfTxf=+（其中T为非零常数），则称函数)(xf为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期

①π2:sin==Txy；②π2:cos==Txy；③π==Txy:tan；④

|

|2:)cos(),sin(ωπ

?ω?ω=

+=+=TxAyxAy；⑤||:tanωπω==Txy；

⑶函数周期的判定：①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论）

⑷与周期有关的结论：①)()(axfaxf-=+或)0)(()2(>=-axfaxf?)(xf的周期为a2；②)(xfy=的图象关于点)0,(),0,(baXXX对称?)(xf周期2ba-；③)(xfy=的图象关于直线bxax==,轴对称?)(xf周期为2ba-；

④)(xfy=的图象关于点)0,(aXXX对称，直线bx=轴对称?)(xf周期4ba-；8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：αxy=（)R∈α；⑵指数函数：)1,0(≠>=aaayx；⑶对数函数:)1,0(log≠>=aaxya；⑷正弦函数:xysin=；

⑸余弦函数：xycos=；（6）正切函数：xytan=；⑺一元二次函数：02

=++cbxax；

⑻其它常用函数：①正比例函数：)0(≠=kkxy；②反比例函数：)0(≠=

kxky；特殊的x

y1

=，函数)0(>+

=ax

a

xy；9．二次函数：⑴解析式：①普通式：cbxaxxf++=2

)(；②顶点式：khxaxf+-=2

)()(，),(kh为顶点；③零点式：))(()(21xxxxaxf--=。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。⑶二次函数问题解决办法：①数形结合；②分类研究。

10．函数图象⑴图象作法：①描点法（注重三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

①平移变换：ⅰ)()(axfyxfy±=→=，)0(>a———左“+”右“-”；ⅱ)0(,)()(>±=→=kkxfyxfy———上“+”下“-”；②伸缩变换：

ⅰ)()(xfyxfyω=→=，（)0>ω———纵坐标不变，横坐标伸长为本来的

ω

1

倍；

ⅱ)()(xAfyxfy=→=，（)0>A———横坐标不变，纵坐标伸长为本来的A倍；

③对称变换：ⅰ)(xfy=??

→?)0,0()(xfy--=；ⅱ)(xfy=?→?=0

y)(xfy-=；ⅲ)(xfy=?→?=0

x)(xfy-=；ⅳ)(xfy=??→

?=x

y)(1

xfy-=；

④翻改变换：

ⅰ|)(|)(xfyxfy=→=———右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去掉）；ⅱ|)(|)(xfyxfy=→=———上不动，下向上翻（|)(xf|在x下面无图象）；11．函数图象（曲线）对称性的证实

(1)证实函数)(xfy=图像的对称性，即证实图像上随意点关于对称XXX（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证实函数)(xfy=与)(xgy=图象的对称性，即证实)(xfy=图象上随意点关于对称XXX（对称轴）的对称点在)(xgy=的图象上，反之亦然；

注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;

②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x,y)=0;③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b

－x)（x∈R）?→?

y=f(x)图像关于直线x=2

b

a+对称；特殊地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）?→?

y=f(x)图像关于直线x=a对称；⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=

2

b

a+对称；12．函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=xf的根）；⑵图象法；⑶二分法.13．导数⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作x

xfxxfxfyxxx?-?+='='

→?=)()(lim

)(000

00

；

⑵常见函数的导数公式:①'C0=；②1')(-=nnnxx；③xxcos)(sin'

=；

④xxsin)(cos'-=；⑤aaaxxln)('=；⑥x

xee=')(；⑦a

xxaln1

)(log'

=

；⑧xx1)(ln'

=

。⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2

vvuvuvuvuvuuvvuvu'-'=''+'=''±'='±

⑸导数的应用：①利用导数求切线：注重：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数推断函数单调性：ⅰ)(0)(xfxf?>'是增函数；ⅱ)(0)(xfxf?b时，一解（锐角）。

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分离为,,,γβα则有cos2α+cos2β+cos2γ=2；sin2α+sin2β+sin2γ=1。

⑸正四周体的性质：设棱长为a，则正四周体的：①高：ah36=

；②对棱间距离：a22；③相邻两面所成角余弦值：31；④内切球半径：a12

6

；外接球半径：

a4

6

；第五部分直线与圆

1．直线方程⑴点斜式：)(xxkyy-=-；⑵斜截式：bkxy+=；⑶截距式：

1=+b

y

ax；⑷两点式：1

21

121xxxxyyyy--=

--；⑸普通式：0=++CByAx，（A，B不全为0）。（直线的方向向量：（),AB-，法向量（),BA

2．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3．两条直线的位置关系：

4

⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（3,

33

21321yyyxxx++++）；⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：2

2

00B

AC

ByAxd+++=

；

⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是2

221BACCd+-=；

5．圆的方程：⑴标准方程：①2

2

2

)()(rbyax=-+-；②2

2

2

ryx=+。⑵普通方程：02

2

=++++FEyDxyx（)042

2

>-+FED

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。7．点、直线与圆的位置关系：（主要把握几何法）

2222221

⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）

①?=Rd点在圆上；②?Rd点在圆外。⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）

①?=Rd相切；②?Rd相离。

⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，rR,表示两圆半径，且rR>）①?+>rRd相离；②?+=rRd外切；③?+=+；⑵双曲线：|)|2(,2||||||2121FFaaMFMF．2

tan2

21θ

bSFPF=?，（21PFF∠=θ）；．点M是21FPF?内心，PM交2

1FF于点N，则

c

a

MNPM=||||；

④当点P与椭圆短轴顶点重合时21PFF∠最大；

⑸双曲线中的结论：

①双曲线1222

2=-byax（a>0,b>0）的渐近线：02222=-b

yax；

②共渐进线xay±

=的双曲线标准方程为λλ(22

22=-b

yax为参数，λ≠0）；③双曲线焦点三角形：．12

2

tan2

PFFbSθ?=，（21PFF∠=θ）；．P是双曲线22ax－22

by=1(a＞0，b＞0)的左（右）

支上一点，F1、F2分离为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为)(,aa-；④双曲线为等轴双曲线??=2e渐近线为xy±=?渐近线相互垂直；

（6）抛物线中的结论：

①抛物线y2

=2px(p>0)的焦点弦AB性质：．x1x2=4

2p；y1y2=－p2；．

p

BFAF2

||1||1=+；．以AB为直径的圆与准线相切；．以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；．α

sin22

pSAOB

=?。②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质：

．2212214,4PyyPxx-==；．ABl恒过定点)0,2(p；

．BA,中点轨迹方程：)2(2pxpy-=；．ABOM⊥，则M轨迹方程为：222)(pypx=+-；．2min4)(pSAOB=?。

③抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点)0,(aA，则：

．当pa≤．当pa>时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为22pap-。

3．直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注重以下问题：①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？⑵设而不求（代点相减法）：处理弦中点问题步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得=--=

2

12

1xxyyk

AB

；③解决问题。

4．求轨迹的常用办法：

（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

第七部分平面对量

⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：①a∥b(b≠0)?a=λb（)R∈λ?x1y2－x2y1=0；

②a⊥b(a、b≠0)?a·b=0?x1x2+y1y2=0.

⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2；注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。⑶cos=

|

|||bab

a?；

⑷三点共线的充要条件P，A，B三点共线?)1yx(=++=且yx；第八部分数列1．定义：

⑴等差数列*),2(2(11n1nNnnaaaddaaannnn∈≥+=?=-?-++为常数）｝｛

BnAnsbknann+=?+=?2；

⑵等比数列N)n2,(n)0(}1n1-n2

n1nn∈≥?=?≠=?

++aaaqqaaan

｛)0k,1q,0q(kqkSn0,(n≠≠≠-=?=?的常数）均为不为qccqann；

2．等差、等比数列性质

等差数列等比数列通项公式dnaan)1(1-+=11-=nnqaa

前n项和dnnnaaanSnn2)

1(2)(11-+=+=q

qaaq

qaSqnaSqnnnn--=--=≠==11)1(1.2;

1.11

11时，时，性质①an=am+(n－m)d,①an=amqn-m;

②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq

③

,,,232kkkkkSSSSS--成AP③,,,232kkkkkSSSSS--成GP

④,,,2mkmkkaaa++成AP,mdd='④,,,2mkmkkaaa++成GP,m

qq='等差数列特有性质：①项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)；ndS=-奇偶S；

1

nn

aaS+=

偶

奇S；②项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1)中a；中偶奇aS=S-；

1

-nnS=

偶

奇S；③若0)(,,=≠==+nmmnanmnama，则；若)(,,nmSnSmSnmmn+-===+则；

若0)(,=≠=+nmmnSnmSS，则。3．数列通项的求法：

⑷叠乘法（

nn

ncaa=+1

型）；⑸构造法（bkaann+=+1型）；（6）迭代法；⑺间接法（例如：41141

11=-?=nnnnnnaaaaaa）；⑻作商法（nncaaa=21型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。注：当碰到qaadaannnn==--+-+1

1

11或

时，要分奇数项偶数项研究，结果是分段形式。4．前n项和的求法：⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。5．等差数列前n项和最值的求法：

⑴???

??

????≥≤???≤≥++000011nnnnaaaa或；⑵利用二次函数的图象与性质。第九部分不等式

1．均值不等式：2

2

2

2babaab+≤

+≤注重：①一正二定三相等；②变形，2)2(2

22babaab+≤

+≤。2．肯定值不等式：||||||||||||bababa+≤±≤-3．不等式的性质：

⑴abba；⑵cacbba>?>>,；⑶cbcaba+>+?>；dcba>>,

dbca+>+?；⑷bdaccba>?>>0,；bcaccba0,；,0>>ba

bdacdc>?>>0；⑸)(00*∈>>?>>Nnbabann；（6）?>>0ba

)(*∈>Nnbann

。

4．不等式等证实（主要）办法：⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。

第十部分复数

1．概念：

⑴z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R)?z=z?z2≥0；⑵z=a+bi是虚数?b≠0(a,b∈R)；

⑶z=a+bi是纯虚数?a=0且b≠0(a,b∈R)?z＋z＝0（z≠0）?z20时，变量y

x,正相关；r<0时，变量y

x,负相关；

⑵①|

|r越临近于1，两个变量的线性相关性越强；②|

|r临近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4．回归分析中回归效果的判定：

⑴总偏差平方和：∑

=

-

n

i

i

y

y

1

2

)

(⑵残差：

∧

∧

-

=

i

i

i

y

y

e；⑶残差平方和：2

1

)

(

∑

=

∧

-

n

i

yi

yi；⑷回归平方和：∑

=

-

n

i

i

y

y

1

2

)

(

－2

1

)

(

∑

=

∧

-

n

i

yi

yi；⑸相关指数

∑

∑

=

=

∧

-

-

-

=

n

i

i

i

n

i

i

i

y

y

y

y

R

1

2

1

2

2

)

(

)

(

1。

注：①2

R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2R越临近于1，则回归效果越好。

5．自立性检验（分类变量关系）：

随机变量2

K越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第十三部分算法初步

1．程序框图：

①终端框（起止况）；②衔接点。

③

处理框（执行框）；④推断框；⑤；

⑵程序框图分类:

注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先推断条件，再执行循环体；

Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再推断条件。

2．基本算法语句：

⑴输入语句：INPUT“提醒内容”；变量；输出语句：PRINT“提醒内容”；表达式

赋值语句：变量=表达式

语句体语句体1ENDIFELSE语句体2ENDIF

⑶循环语句：①当型：②直到型:WHILE条件DO

循环体循环体

WENDLOOPUNTIL条件3．算法案例：

⑴辗转相除法与更相减损法求两个正整数的最大公约数；⑵秦九韶算法求多项式的值；

⑶进位制各进制数之间的互化。

第十四部分常用规律用语与推理证实1．四种命题：

⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若?p则?q；⑷逆否命题：若?q则?p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。2．充要