高中物理比赛辅导习题力学部分

千里之行，始于足下。第2页/共2页精品文档推荐高中物理比赛辅导习题力学部分力、物体的平衡

补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。

一、力学中常见的三种力

1.重力、重心

①重心的定义：

++++=gmgmgxmgxmx212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。②重心与质心别一定重合。如非常长的、竖直放置的杆，重心和质心别重合。

如将质量均匀的细杆AC（AB=BC=1m）的BC部分对折,求重心。

以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（别是重力相等）：

（0.5-x）2G=(x+0.25)2

G,得x=0.125m（离B点）.或以A点为转轴：0.5?2G+(1+0.5)2

G=Gx',得x'=0.875m，离B点x=1-x'=0.125m.

2.巴普斯定理：

①质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积乘平面薄板重心经过的路程。如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x，绕直径旋转一周，2321234RxRπππ?=，得π

34Rx=②质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度乘曲线的重心经过路程。

如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x，

绕直径旋转一周，RxRπππ?=242，得π

Rx2=1.（1）半径R=30cm的均匀圆板上挖出一具半径r=15cm的内

切圆板，如图a所示，求剩下部分的重心。

（2）如图b所示是一具均匀三角形割去一具小三角形

AB'C'，而B'C'//BC，且?AB'C'的面积为原三角形面积的4

1，已知BC边中线长度为L，求剩下部分BCC'B'的重心。

[答案：(1)离圆心的距离6R；(2)离底边中点的距离9

2L]解(1)分割法:在留下部分的右边对称处再挖去同样的一具圆,则它对于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心算是这两块板的合重心,设板的面密度为η，重心离圆心的距离为x.

有力矩平衡:),2()2(])2(2[222xRRxRR-=-ηπηπ得6

Rx==5cm.填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去部分的重力被抵消,其重

心与挖去后的重心相同,同理可得6

Rx=.能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下部分的重力势能和挖去部分的重力势能之和,可得

6

Rx=.(2)?AB'C'的面积为原三角形面积的1/4，质量为原三角形质量的4

1，中线长度应为原三角形中线长度的2

1。设原三角形BC边的中线长为L。原重心离BC边的距离为3

L，且在中线上。

类似于（1）的解法，可得重心离底边中点的距离9

2Lx=

，且在原三角形的中线上。考虑：三根均匀杆AB、BC、CA组成三角形，其重心在哪？（心里，要用解析几何）

2.彻底相同的4块砖，每块砖的长都为0.3m，叠放在水平桌面上，如图所示。求它的最大跨度（即桌边

P点离最上面一块砖右边的Q点的水平距离）。（答案：0.3125m）

解：165)4131211(2=++=LLmm=0.3125m

3.一薄壁圆柱形烧杯,半径为R,质量为m,重心位于中心线上,离杯底的高度为H,今将水渐渐注入烧杯中,咨询烧杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是多少？(设水的密度为ρ)（答案：

ρ

πρπ2222RmHRmmh++-=）解:开始注水时共同重心在水面之上,这时假如加水,就等于在共同重心下方加质量,因此重心将会随着水的注入而逐渐下落.

当重心下落到水面时,重心最低,因为此刻假如再加水,算是在共同重心上方加质量,重心就会升高.重心最低时水面离杯底的距离为h应满脚:ρπR2hg

2h+mgH=(πR2hρ+m)hg,解得:ρ

πρπ2222RmH

Rmmh++-=.

2.弹力、弹簧的弹力（F=kx,或F=-kx）

（1）两弹簧串联总伸长x，F=？

由x1+x2=x,k1x1=k2x2，得2112kkxkx+=,因此kxkkxkkxkF=+===212122.（2）并联时F=(k1+k2)x.

(3)把劲度系数为k的弹簧均分为10段，每段劲度系数k'=?(10k)

3.一具重为G的小环，套在竖直放置的半径为R的光滑大圆上。一具劲度系数

为k，自然长度为L（L30?。AB杆能衡。

因此人必须从A点沿梯上爬，此刻B端受到地面的作用力沿着BC方向。

对整体，依照三力共点，人的重力作用线必经过FA和FB的交点。

设人的水平距离为s，有几何关系（两边高相等）：scotαA=(L-s)cot30?，

得s=0.26L,最大高度H=3s=0.45L。

14.如图所示，一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一

细棒相连，两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且别计

铰链处的摩擦，当在C端加一具适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在

图示的位置处，即两棒间的夹角为90?，且C端正好在A端的正下方。

（1）别管两棒的质量怎么，此外力只也许在哪个方向的范围内？讲明道

理（别要求推算）。

（2）假如AB棒的质量为m1，BC棒的质量为m2，求此外力的大小和方向。

[答案：（1）F的方向与AC夹角范围18?.24'-45?间；（2）21222181024

1mmmmgF++=]解（1）设F的方向与AC夹角为θ，假如当m1质量非常小时，AB对BC的作用力沿AB方向，则F的方向必交于AB的中点，θ=45?-tan-121=18?.24'；

假如当m2质量非常小时，则F的方向沿BC方向，θ=45?。

因此F方向的范围是θ=18?.24'-45?间。

（2）以A为转轴，对两棒有：θsin245sin2

)(021LFLgmm?=?+①以B为转轴，对BC有：)45sin(45sin2

002θ-?=?LFLgm②sin(45?-θ)=sin45?cosθ-cso45?sinθ③

有①②③式得F的大小：21222181024

1mmmmgF++=；F的方向与竖直线的夹角θ=12211

3tanmmmm++-.可见，m1=0时，θ==-3

1tan118?.24'；m2=0时，θ==-1tan145?.3.物体的平衡条件：F=0；M=0

15.质量为m的均匀柔软绳,悬挂于同一高度的两固定点A、B之间,已知绳的悬挂点处的切线与水平面夹角

为α,求绳的悬挂点处及绳的最低点处的张力.（答案：2

cot,sin2ααmgmg）16.如图所示,质量为m的物体放在歪面上,它跟歪面之间的动摩擦因数

为μ.则当歪面倾角α大于时,不管水平推力F多大,物体

不会沿歪面向上运动（答案：cot-1μ）

不管水平推力F多大,物体不会沿歪面向上运动，这种事情称

为自锁。

如放在水平地面上的物体，跟水平面之间的动摩擦因数为μ.推力F与水平面之间的夹角为α，则当α大于时，不管水平推力F多大,物体不会运动。

有Fcosα=(mg+Fsinα)μ，得α

μαμsincos-=mgF,推别动：cosα-μsinα=0,cotα=μ.或Fcosα（增加的动力）≤Fsinαμ（增加的阻力），得cotα≤μ.

17.有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水

平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r,重均

为G.木板与墙的夹角为θ(如图所示).一切摩擦均别计,求BC绳的

张力.[答案：)cossin21cos11(3θ

θθ++-=

LGrT]解:此题的解法非常多,同学们可体味到取别同的研究对象,咨询题的难易程度别同.

解法1:对圆柱体一具一具分析,分不计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC绳的张力.比较烦恼.

解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力的力臂比较难求.

解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N1=3Gcotθ.

再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N1,BC绳的拉力T,重力3G,A点的作用力N(N对A点的力矩为零).

对A点,有力矩平衡)sin2(31θrrGADNTAC++=式中θθcos,2

tan/LACrAD==有上述四式可行)cossin21cos11(3θ

θθ++-=LGrT.

18.一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩

擦因数分不为μ1、μ2。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。（答案：

1

21121tanμμμα-=-）解法1：设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为α，

则有f1=μ1N1,f2=μ2N2（并且达到最大，与上题有区不）

水平方向：μ1N1=N2，竖直方向：μ2N2+N1=G，

得：G=μ2N2+N2/μ1①

取A点为转轴：0cossincos2

222=--αμααNLLNGL②解得12121tanμμμα-=，即1

21121tanμμμα-=-。解法2：地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点（如图的D点）

则有：tan?1=μ1,tan?2=μ2，有几何关系：21tan2

1cot21222tan??α-=-=-==EBDEAHDHAHDEDHACBC，可解得：1

21121tanμμμα-=-。

三、平衡的种类

1.平衡的种类:稳定平衡；随遇平衡；别稳定平衡。

2.推断平衡种类的办法：力矩比较；支持面推断；重心升落。

19.粗细均匀、长为L、密度为ρ的木杆,下端用细线系在容器底下,然后在容器中逐渐加水(水的密度为

ρ',ρ'>ρ),则木杆浸没水中的长度至少为多少时，木杆才干竖直.（答案：Lρρ'

）力矩比较：竖直的条件是恢复力矩L'Sρ'g2

L'?sinα=LSρg2L?sinα，木杆浸没水中的长度至少为得LLρρ'

='20.边长为a的均匀立方体,平衡地放在一具半径为r的圆柱面顶部,如

图所示,假定静摩擦力非常大,脚以阻挠立方体下滑,试证明物体的

稳定平衡的条件为r>a/2.

解法1，支持面推断：a作弱小转动时,均匀立方体与圆柱面接

触点挪移的距离等于弧长=rα,此刻重力垂线与均匀立方体底交点挪移的距离=2

atanα。注意：作弱小转动α→0，ααα==sintan，且弧长等于弦长。

稳定平衡的条件为rα>2atanα,得r>2

a。解法2，重心升落法（最常见的解法）：设均匀立方体的重心为O'，原来与球面的接触点为A，转过一具弱小角度α后的接触点为B。

注意：圆心角、弦切角和切线间的夹角关系。

O'A的高度为：2

cosαa;AB的高度为：rαsinα;OB的高度为：rcosα.稳定平衡的条件：2cosαa+rαsinα+rcosα-2

a-r>0,当α非常小时：sinα=α，cosα=2

12sin2122αα-=-。代入上式得：r>2a。21.如图所示，一具左右彻底对称的熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分不

为a、b，且长轴的长度为c，蛋圆的一端刚好能够在水平面上处于稳

定平衡，若要使蛋的尖端在一半球形的碗内处于稳定平衡，半球形碗的半径应满脚啥条件？（答案：bb

acacR0--②当α非常小时：cosα=1-22

α、sinα=α。有①②式，得：(R-b)[(c-a-b)R-b(c-a)]2

2?b,因此(c-a-b)RS2,因此(ρ2-ρ)h2>(ρ-ρ1)h1,

于是得到ρ(h1+h2)6Kg）

解(1)因所挂的质量m越小,因此O点靠近A点,OB趋向水平,OA与水平面有夹角。

对O点受力平衡：32,)4()2()(222==+mggmg得kg。即当326Kg时三个物体平衡将破坏.

27.如图所示,均匀杆的A端用铰链与墙连接,杆可绕A点自由转动,杆的另一

端放在长方形木块上,别计木块与地之间的摩擦力,木块别受其它力作用

时,木块对AB杆的弹力为10N,将木块向左拉出时,木块对杆的弹力为9N,

这么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少?（答案：11.25N）

解:木块静止时弹力为10N，可得杆重G=20N

向左拉时:N1Lcosα+μN1Lsinα=G2Lcosα,或N1μsinα=2

1Gcosα-N1cosα向右拉时:N2Lcosα=μN2Lsinα+G2Lcosα,或N2μsinα=N2cosα-2

1Gcosα两式相比得10

910922--=NN,得N2=11.25N28.半径为R质量为M

1的均匀圆球与一质量为M2的重物分不用细绳AD和ACE

悬挂于同一点A,并处于平衡,如图所示.已知悬点A到球心的距为L,别

思考绳的质量和绳与球间的摩擦,求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的

夹角θ.

[答案：θ=arcsin)

(212MMLRM+]解:球受重力M1g,AD绳受拉力为T,ACE压力为N,

因重力M1g经过圆心,N也经过圆心（但别是别平方向）,

因此T也经过圆(三力共点)，OA=L.

取整体为研究对象对A点的力矩平衡,M1gOB=M2gBC,

或M1gLsinθ=M2g(R-Lsinθ),得θ=arcsin)

(212MMLRM+.29.有一水果店,所用的秤是吊盘式杆秤,量程为10Kg.现有一较大的西瓜,超过此秤的量程.店员A找到另

一秤砣,与此秤的秤砣彻底相同,把它与原秤砣结在一起举行称量,平衡时双砣位于6.5Kg刻度处.他将此读数乘以2得13Kg,作为此西瓜的质量,卖给顾客.店员B对这种称量结果表示怀疑,为了检验,他取另一西瓜,用单秤砣正常称量得8Kg,用店员A的双秤砣法称量,得读数为3Kg,乘以2后得6Kg.这证明了店员A的方法是别可靠的.试咨询,店员A卖给顾客的这个西瓜的实际质量是多少?（答案：15Kg）解:设秤砣的质量为m0，C点为秤纽与秤杆连接点,秤盘到秤纽的距离为d,零刻度O点到C点的距离为L0（在秤纽里，左边L0为负值）,

则秤盘和秤杆重力对C点的力矩大小为m0L0.

秤物体时，有力矩平衡：mgd+m0gL0=m0g(L0+x),

x=dm/m0∝m,刻度均匀（别一定从C点开始）。为方便，设每千

克间距为λ,

当秤质量为m的物体时读数为m1:mgd+m0gL0=m0g(L0+λm1)，得

λ

λ00001LgmgLmmgdm-+=。当双秤砣秤质量为m时读数为m2，mgd+m0gL0=2m0g(L0+λm2)，得λλ000022LgmgLmmgdm-+=

。实际质量与双称砣称得质量2倍的差为?m=m1-2m2=L0/λ=常量，

对同一秤与质量无关,与O位置有关。有B店员得?m=2Kg,实际质量为m=2m2+?m=15Kg.

30.半径为R的钢性光滑球固定在桌面上,有一具质量为m的均匀弹性绳圈,自然长度为2πa(a=

2

R).现将

绳