高等结构动力学读书报告2

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1.引言(2)

1.1结构动力学研究的基本内容(2)

1.1.1结构动力学的任务(2)

1.1.2结构动力学的三要素(2)

1.1.3结构动力学的研究范畴(2)

1.2结构动力学研究的基本办法(2)

1.2.1研究步骤(2)

1.2.2建模(2)

1.2.3分析与求解(3)

2.单自由度系统动力反应分析(4)

2.1无阻尼单自由度系统的自由振动(4)

2.2有阻尼单自由度系统的自由振动(5)

2.3单自由度系统强迫振动(8)

2.4简谐位移运动引起的振动(10)

2.5普通周期力引起的振动(10)

2.6对普通动力荷载的反应(11)

2.7频域分析与时域分析(11)

2.8非线性结构反应分析(13)

2.9地震反应谱(14)

2.9.1反应谱的概念(14)

2.9.2反应谱的要紧特征(15)

3.多自由度系统动力反应分析(16)

3.1直截了当积分法(16)

3.1.1中心差分法(16)

3.1.2Newmark-β法(17)

3.1.3Wilson-θ法(19)

3.2振型叠加法(19)

3.2.1振型分析(19)

3.2.2振型分解(20)

3.2.3振型叠加法(21)

3.2.4振型分解反应谱理论(21)

4.参考文献(23)

1.引言

1.1结构动力学研究的基本内容[1,2]

1.1.1结构动力学的任务

当一具结构或结构物受到随时刻变化的动荷载与仅受到别随时刻变化的静荷载时所表现的力学现象是别同的。一具幅值为P0的静荷载作用于结构时，也许远别致于使它产生破坏，但同样幅值的动荷载作用于同样的结构就彻底有也许是结构破坏，即使别造成结构破坏，由于动载所引起的结构振动也会妨碍结构的正常工作。比如1985年发射的美国第一颗人造地球卫星，进入轨道后，由于悬在星体外头的四根鞭装天线的弹性振动，造成系统的内能耗散，最终导致卫星姿态失稳而翻滚。固然，结构也有它有利的一面，如采煤钻、打夯机等的工作原理算是直截了当利用了振动的特点。凡此种种，无一别讲明结构的动力特性与静力特性是彻底别一样的。但是要是结构的别受动载荷的作用是难以保证的。所以关于任一结构，不管是在设计依然在使用时，常常需要准确而迅速地预测他们的动力特性。

1.1.2结构动力学的三要素

结构动力学的三个要素是输入（激励）、系统（结构本身）和输出（响应）。

1.输入是动态的，即随时刻变化的；变化规律能够是周期的、瞬态的、和随机的。输入的形式是多样的，能够是力、位移、能量等。输入能够是单点输入，也能够是多点输入。

2.系统能够使线性的，也能够是非线性的。关于线性系统，叠加原理成立，系统自由振动的频率及模态是系统所固有的，其特征别随时刻改变。而非线性系统没有相对应的固有特征。系统可分为保守系统和非保守系统，有阻尼的系统，有能量的耗散，是非保守系统。在振动操纵理论中，修改结构动态品质的一具行之有效的重要办法算是增加阻尼耗散系统的振动能量。

3.输出即结构系统对输入的相应。从时刻的概念动身能够分为周期振动、瞬态振动和随机振动等。从空间的概念动身能够分为纵向振动、弯曲振动、扭转振动及组合振动等。输出也能够是单输出和多输出。别论啥样的结构，也别论啥样的输入，相应都将以一定形式表现出来。

在振动咨询题中，内容与形式是统一的。系统（结构）是引起振动的内因，结构的固有特征是结构的动态品质的决定因素，输入是外因，外因经过内因起作用，最终以输出的形式表现出来。

1.1.3结构动力学的研究范畴

在上述的三个要素中，懂其中的任何两个求第三个的咨询题基本上结构动力学研究的范畴。

1.响应预测。已知输入和系统求输出。

2.系统辨识。已知输入和输出，确定系统的特征参数。

3.测量咨询题。已知系统和输出求输入。

第一具咨询题又称为正咨询题，后面两个咨询题称为逆咨询题。

1.2结构力学研究的基本办法[1,2]

1.2.1研究步骤

在结构动力学分析中常用的研究步骤，从大的方面要紧分为设计、分析、试验和再设计。本报告中要紧涉及的是分析部分。这一部分的两个关键点是：1.建立方程；2.求解方程。

1.2.2建模

1.建模工作

首先引入一些假设将实际的结构举行简化，得到便于分析的形式；然后涉及一系列的参数，如引入几何尺寸、材料特征、约束边界等；最终建立一组数学方程来描述所要分析的模型。建立的方程或数学模型应能反映结构的动力学咨询题中的要紧方面，并能较全面、客观地

反映物理现象的本质，这时分析的关键之一。建模算是建立结构动力学的基本运动方程。

2.建模办法

建模的办法总体上有两种，，一是试验的办法，二是分析分办法。

依照咨询题的需要能够采纳相应的微分原理（当取微元体作为研究对象时），也可采纳相应的积分原理（当取整个系统为研究对象时）。力学微分原理要紧是牛顿定律和达朗贝尔原理；力学积分原理要紧是能量守恒定律和动量守恒定律。微分变分原理要紧是虚功原理；积分变分原理要紧是哈密顿原理。此外，有限元的基本概念、弹塑性基本原理以及其它力学基本原理，也将用来建立数学模型。

3.常用分析模型

针对延续系统的分布模型如式（1.2.1）所示。这种模型是用偏微分方程来描述的。例如弦的振动方程

22222

1yy

xcx??=?

??（1.2.1）任何一具实际结构总是一具延续系统，假如模型正确这么用偏微分方程可以精确地描述动力学咨询题，假如能求得其偏微分方程的解析解，也就得到了咨询题的精确解。尽管这样，实际中人们却往往采纳所谓的几种参数模型。这是因为一方面建立偏微分方程是从局部着眼，关于较复杂的咨询题难以建模，另一方面方程的求解比较困难，再者关于实际工程咨询题所关怀的并别是咨询题的全部，而是起关键作用的方面。集中参数模型是用常微分方程来描述的。最常用的是有限元模型：

()()()()MxtCxtKxtft++=（1.2.2）

其中，M、C、K为矩阵x(t)、f(t)为向量，式（1.2.2）为线性常微分方程组。

求解f(t)＝0时的齐次方程，得到方程的通解将反映系统的自由振动特征，求解它所对应的特征方程得到系统特征解将反映结构的固有特征。

求解0f≠时的非齐次方程，得到方程的特解将反映输入载荷的特点。1.2.3分析与求解

1.理论分析

理论分析包括求解微分方程的解析解，以及对解中所隐含的物理实质举行分析，得出普通性原理，又依照这些普通性原理去指导一具新咨询题的分析，而得到新的结论。

经过分析由齐次微分方程所描述的自由振动，能够得到结构的固有特性，即固有频率和固有模态的若干重要性质。这些性质反过来又指导结构的设计。经过分析由非齐次微分方程所描述的强迫振动，能够得到结构在受到各种荷载时所表现的物理现象，关于防灾减灾，或利用振动造福人类有非常好的指导作用。

2.数值分析

数值分析要紧是弥补理论分析的别脚。因为并别是所有咨询题都能找到解析解，一方面关于实际咨询题的建模就带有许多假设前提即模型本身就非常难是精确的，另一方面由于数学上的困难使方程难于求解。目前差不多进展了许多数值求解的办法，不管是求解结构的固有特性咨询题依然结构的响应咨询题基本上行之有效的。所以，在结构动力学分析中应用较多的是数值分析办法，数值分析办法别仅能给出一定精度的数值解，并且，经过这些解同样能分析得到结构动力特征的种种规律。

3.综合技术

除了上述办法外，还进展了利用部件的动力特征去综合一具大型复杂结构的动力特征的办法，依此来解决大型复杂结构在试验中和求解中的困难。这种办法即所谓动态子结构法或部件模态综合法，综合是在模态空间中完成的。

2.单自由度系统动力反应分析

所谓自由度是指确定一具振动系统在任意瞬时的空间位置所需要的广义坐标数目。在任意瞬时只需要用一具广义坐标就可彻底确定其位置的系统称为单自由度系统。其中m表示系统的质量，k为刚度，c为粘性阻尼系数，F(t)为作用在系统上的外力，x(t)表示系统质量块m运动时的位移。上述系统运动微分方程为

()mxcxkxFt++=式中mx表示惯性力；cx为阻尼力，kx为弹性恢复力。

2.1无阻尼单自由度系统的自由振动

假如系统的阻尼小到能够忽略别计并理想化为c＝0统称为无阻尼单自由度系统。运动微分方程为

0mxkx+=

(2.1.1)m，k均为大于0的数，设方程的解

rtxe=

(2.1.2)代入上一方程得

20rtrtmerke+=

(2.1.3)因为0rt

e>因此

20mrk+=

(2.1.4)

,0mk>，解上一方程得

riiω==±=±(2.1.5)

其中，ω=

因此it

xeω±=

因此微分方程的通解为

12ititxceceωω-=+

(2.1.6)

其中，12,cc为与t无关的常量。依照泰勒公式有

234

12!3!4!

x

xxxex=++++

+

(2.1.7)

则

2345

2435

12!3!4!5!(1)()

2!4!

3!5!

ix

xixxxeixxxxxix=+--++

=

-+++-++

(2.1.8)

而依照泰勒公式又有

3

5sin3!5!xxxx=-++

(2.1.9)24

cos12!4!

xxx=-++

(2.1.10)

从而有

cossincossinixix

exixexix-?=+??=-??

(2.1.11)

上式即为欧拉公式。因此x的一组解为

'1'2cossincossinitit

xetitxetitωωωωωω-?==+?

?==-??

(2.1.12)

系统运动微分方程为线性方程，依照线性方程的解空间的性质，只要是与原有解同维数

且非线性相关的一组解也是该线性方程的解。故下面的一组也是单一自由度系统自由振动方程的解

''

121''

12

2=cos2sin2xxxtxxxtiωω?+=?

??-?

==??

(2.1.13)

因此为微分方程的通解也能够记成

12cossinxctctωω=+

(2.1.14)

其中，12c,c为与t无关的任意常数。

正弦和余弦函数之间能够互相转化，因此方程的解能够统一表示为

sin()xAtω?=+(2.1.15)

式中，ω=

rad/s；

A=——振幅，mm：

?——相位角，rad。它们均取决于系统的初始条件。

设质量m在0t=的始位移为0x，初始速度为0v，代入上一方程得

A=(2.1.16)0

tanxv?=

(2.1.17)

系统的周期T为

2T=

=(2.1.18)

系统的频率ω为

1ω=

=T(2.1.19)

由以上式子可见，无阻尼自由振动的固有频率和周期仅决定于系统本身的物理特性：质量m和刚度k，而与时刻无关，这种性质称为等时性。无阻尼单自由度系统在初始扰动后的自由振动是以A为振幅为，ω为圆频率，?为相角的别衰减的简谐运动。

2.2有阻尼单自由度系统的自由振动

假如系统的阻尼别能忽略别计，则系统的运动就要受到阻尼的妨碍，其运动微分方程为

0mxcxkx++=(2.2.1)同样，设方程的解rt

xe=

代入上一方程得

20rtrtrtmerCerke++=

(2.2.2)

因为0rt

e>因此

20mrcrk++=

解上一方程有

24ccmkr

-±-=

与单自由度无阻尼一样，记kmω=

，并记2cnm

=则上式改写成221,2ω=-±-rnn

记22ccmmkω==，称为临界阻尼比。并记()22ccccmmk

ξω=

==，称为有阻尼系统的阻尼比或相对阻尼系数。n与ξ的关系为nξω=。

方程的解分三种事情思考：

1.2

2

0nω-=，即1ξ=（临界阻尼状态）则方程有两个相等的实根

1,22crm=-

1,2rn=-

因此微分方程的通解为

12()ntxecct-=+

(2.2.3)

在第1种事情下，2c

nm

ω=

=，即1ξ=，称第一种事情下的系统的状态为临界阻尼状态。

把nξω=代入过阻尼状态单自由度自由振动的运动方程，则有12()txecctξω-=+

(2.2.4)

2.2

2

0nω->，即1ξ>（过阻尼状态）则方程有两个别相等的实根

21,242ccmkrm

-±-=

221,2rnnω=-±-

因此微分方程的通解为

2222()()12)nnt

nnt

xcece

ωω-+=+

(2.2.5)

在第2种事情下，2c

nm

ω=

>，即1ξ>，称第一种事情下的系统的状态为过阻尼状态。把nξω=代入过阻尼状态单自由度自由振动的运动方程，则有

221112()n

n

nt

t

txececeωξωξωξ--=+

(2.2.6)

过阻尼系统的运动

3.22

0nω-<，即1ξ<（欠阻尼状态）

则方程有两个别相等的实根

2

1,242ci

mkcrm

-±-=

221,2rninω=-±-

因此微分方程的通解为

2222()()12)ni

nt

ni

nt

xceceωω-+=+

在第3种事情下，2c

nm

ω=

<，即1ξ<，称第一种情况下的系统的状态为欠阻尼状态。以上各式中（包括以下式子中未说明情况下），12,cc，''

12,cc为待定常数，决定于振动的初

始条件。

把nξω=代入欠阻尼状态单自由度自由振动的运动方程，则有

221112()it

it

t

xe

ce

ce

ωξωξξω=+

(2.2.7)由欧拉公式又有

'2'212(cos1sin1)txectctξωωξωξ-=-+-

(2.2.8)

由初始条件求得'

'

12,cc从而上式变为

222

[(0)cos1sin1]1txexttξωωξωξωξ

-=-+

--

(2.2.9)

改写为

sin()t

dxAe

tξωω?-=+(2.2.10)

其中，222

0000

22

2(1)xxxxAξωωωξ++=

-2

1

000

1tanxωξ?--=

21dωωξ=-

dω为有阻尼系统的固有频率。因此有阻尼系统的固有周期dT

2

21dd

Tπ

ωωξ

=

=

-(2.2.11)

欠阻尼系统的自由衰减振动

2.3单自由度系统强迫振动[3]

设系统受到一具简阶激励力0sinFtω的作用，则系统的运动微分方程变为

0sinmxcxkxFtω++=

(2.3.1)

此方程的全解包括两部分：一具通解1()xt和一具特解2()xt。通解算是有阻尼单自由度系统自由振动对应的微分解，它在振动开始后的一段时刻内故意义，过一定时刻或较长时刻后衰减为0（或接近与0），称为瞬态振动。特解表示系统在简谐力作用下的响应。它是一种等幅运动，称为稳态运动。

运动方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，非齐次项为000sinsinsint

FteFtωω=，

0iω+不会是欠阻尼、临界阻尼、过阻尼自由振动系统微分方程的特征根，故特解的形式

为

212()sincosxtctctωω=+

代入运动方程解常数12,cc，整理得

2()sin()xtBtω?=-

(2.3.2)

B=

1

2

tanckmω

?ω

-=-由上式可知这种强迫振动的一些普遍性质：

a．若激励是简谐变化的，则强迫振动也是简谐变化。

b．强迫振动的频率与激励力的频率相同。

c．振幅和相位差别随时刻变化，而取决于系统的固有特性和激励力幅，并与初始条件无关。存在相差讲明，强迫振动时位移的变化与激励力的变化尽管同频率．然而它们别是并且达到最大值和零值。

引进频率比/βωω=，静位移记为stδ（0/stFkδ=），则可得到

0/st

B

BDFkδ==

===

=

(2.3.3)

12

2tan1?β

-=-(2.3.4)D称为放大因子。以ξ为参变量，β为横轴自变量，分不以D，?为竖轴自变量，能够描出D与β，?与β得关系图。前者称为频幅曲线，后者成为相幅曲线。

频幅曲线相幅曲线

由图可见，当ξ较小时，在1β<到1β=的一个微小区间内，振幅达到最大值。此时，激励频率任何微小的变化均会使振幅下降，这种振动状态称为共振。1β

时，振幅几乎等

于激励力引起的系统静位移0/stFkδ=，可见振幅的大小取决于刚度k；而1β时，振幅

近似等于零，振幅约等于2

0/()Fmω，振幅由m决定。

最大振幅浮现住激振力频率2/12ωωξ=-处，那个频率称为共振频率。这种共振称为振幅共振。共振时得放大因子D成为品质因子。亦称共振放大系数或Q值，用Q表示

12QDξ

==

(2.3.5)

频幅曲线相位图

在幅频响应曲线上，当阻尼较小时，1β=两侧的响应曲线能够近似地以为是对称的，如图所示。取与最高点所对应的D值maxD的0.707倍处幅频响应曲线对应的β值分不为

1212,ωω

ββωω

=

=。21ωωω?=-称为那个系统的带宽，Q可表示为1

2112Qω

ωωξωωω

=≈=

?-(2.3.6)由图看到，当1β=时，别管阻尼大小怎么，相位角/2?π=，此刻振动系统的位移x，速度x，加速度x及其对应的弹性力kx、阻尼力cx、惯性力mx以及激励力F的相位关系如图。激励力F超前振幅B90。这种振动状态称为相位共振。此刻的共振频率称为相位共振频率。惟独当阻尼为零时，相位共振的振幅才等于振幅共振的振幅。

0.7072ξ

β

2ξ

12ξ

1ωω2ωω

Kx

Cx

mx

F

x

x

2.4简谐位移运动引起的振动

设基础运动()yt引起系统振动，则系统的运动微分方程为

mxcxkxkycy++=+

(2.4.1)

可见基础运动激励相当于在系统上施加了两个激振力，一具是通过弹簧传过来的ky，另一

个是通过阻尼传来的cy。

设基础运动为简谐振动0()sinytytω=，则方程的稳态解为

sin()xBtω?=-

(2.4.2)

B=

2

222

2tan14ξβ?βξβ=-+

2.5普通周期力引起的振动[4][5]

普通事情，系统上受非简谐的周期性激振力。一具以T为周期的周期函数()pt，若满脚Dirichlet条件，能够展开为傅氏级数

011

22()cossinnnnnppnn

ptaatbtTTππ∞

∞

===++∑∑

(2.5.1)

式中1001

()p

TpaptdtT=

?

022()cosp

Tnpp

n

apttdtTTπ=?（12,,n=）0

22()sin

p

Tnp

p

n

bpttdtTTπ=

?

（012,,,n=）

或经过欧拉方程，用指数形式的代替上述用三角函数形式的方程有

1

1

()()exp()n

nptcnint∞

=-∞

=

∑ωω

(2.5.2)

式中12/pTωπ=及

110

1()()exp()p

Tnp

cnptintdtT=

-?

ωω

(2.5.3)

则此激励力作用之下，有阻尼系统的响应，用三角函数表达式为

{}

2

0122

12111(){[2(1)]sin(1)(2)

[(1)2]cos)}

nnnnnnnnnnnxtaabntkabntξββωβξββξβω∞

==++-?-++--?∑(2.5.4)式中11nnpnnTnT====ωωββωω12p

Tπ

ω=

1nn=ωω

用复数指数表达式为

()()()exp()n

n

n

n

nxtHcit∞

=-∞

=∑ωωω

(2.5.5)

式中

2

1

()nnnHmick

=

-++ω