费马定理教学文案

费马定理精品资料定理及其证明c,c）费马定理：设f(x)在c的某邻域 内有定义，而且在这个领域上有f(x)f(c)（其中f(c)为局部最大值）或者f(x)f(c)（其中f(c)为局部最小值），当f(x)在c处可导时，则有f'(c)0．证明：因为假设f'(c)存在，由定义可得左导数f-'(x)和右导数f'(c)均存在且满足：f-'(c)f'(c)f'(c)当xc时，f(x)f(c)0，所以f'(c)limf(x)f(c)0xcxcxc当xc时，f(x)f(c)0，所以f'(c)limf(x)f(c)0xcxcxc所以f'(c)0以上是对于f(x)f(c)这种情况进行的证明，同理也可证明f(x)f(c)这种情形罗尔定理：设f(x)在a,b上连续，在 a,b上可导，若 f(a) f(b)，则必有一点c a,b使得f'(c) 0．证明：分两种情况，若 f(x)为常值，结论显然成立．若 f(x)不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间 a,b上的连续函数 f(x)具有最大值和最小值）可知，f(x)必在a,b内某一点c处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，f'(c)0．拉格朗日中值定理：设f(x)在a,b上连续，在a,b上可导，则一定有一点a,b使f'()f(b)f(a)．ba证明：分两种情况，若f(x)恒为常数，则f'(x)0在a,b上处处成立，则定理结论明显成立．若f(x)在a,b不恒为常数时，由于f(x)在a,b上连续，由闭区仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2精品资料间连续函数的性质， f(x)必在a,b上达到其最大值 M和最小值m，有一种特殊情况f(a) f(b)时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情形，f(a)f(b)．做辅助函数(x)f(x)f(b)f(a)x．由连续函数的性质及ba导数运算法则，可得(x)在a,b上连续，在a,b上可导，且bf(a)af(b)，这就是说(x)满足刚刚的特殊情况，因此在a,b(b)abaf(b)f(a)f(b)f(a)．定内至少有一点，使得'()f'0．即f'baba理得证．柯西中值定理：若f(x)和g(x)在a,b上连续，在a,b上可导，且g'(x)0，则一定存在a,b使f(b)f(a)f'．gbgag'证明：首先能肯定g(a)g(b)，因为如果g(a)g(b)，那么由拉格朗日中值定理，g'(x)在a,b内存在零点，因此与假设矛盾．还是做辅助函数F(x)f(x)f(b)f(a)gxga．由FaFb，再由拉格gbga朗日中值定理，可以证明定理成立．泰勒中值定理：若f(x)在x0点的某个邻域内有直到n1阶连续导数，那么在此邻域内有fxf0f'0xf''0x2...fn0xnRnx．其中2!n!Rnxfn1!xn1．是介于0与x之间的某个值．n1证明：做辅助函数tfxftf'txtf''txt2...fntxtn．由假设容易看出2!n!t在0,x或x,0上连续，且0Rnx，x0，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3精品资料't-f'tf''txtf'tf'''txt-f''txt...f'txtf''txt...222!2!fn1txtnfntxtn1n!n1!化简后有't-fn1txtn．在引进一个辅助函数txtn1．n!x0'对函数t和t利用柯西中值定理得到'，是介于0与x之x0间的某个值，此时有0Rnx，x0，'fn1xn-n!，0xn1，x0，'-n1xn，代入上式，即得Rxfn1xn1．nn1!定理证明完毕．这是函数fx在x 0点的泰勒公式，同理推导可得 fx在x x0点附近的泰勒公式fxfx0f'x0xx0f''x0xx0...fnxoxx0Rnx．其中2n2!n!Rnfn1xx0n1．是介于x0与x之间的某个值．xn1!定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理 .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4精品资料应用（判别函数单调性、求不定式极限、证明不等式和等式、证明终止点的存在性、证明方程根的存在性与唯一性、利用泰勒公式求近似值）证明方程根的存在性把要证明的方程转化为 f x 0的形式.对方程fx 0用下述方法：（1）根的存在定理若函数 fx在区间a,b上连续，且 fa fb 0，则至少存在一点 a,b，f 0.（2）若函数fx的原函数Fx在a,b上满足罗尔定理的条件，则 fx在a,b内至少有一个零值点.（3）若函数fx的原函数Fx在x0处导数也存在，由费马定理知 F'x0 0即fx00.4）若fx在区间a,b上连续且严格单调，则fx在a,b内至多有一个零值点.若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则fx无零值点，若函数在两端点的函数（或极限）值异号，则fx有一个零值点.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5精品资料5）用泰勒公式证明根的存在性.6）反证法.7）在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性.例1若fx在a,b上连续，在 a,b内可导 a 0，证明：在 a,b内方程2xfb fa b2 a2f'x至少存在一个根.证明：令Fx fb fax2 b2 a2fx显然Fx在a,b上连续，在 a,b内可导，而且Fa fba2 b2fa Fb根据罗尔定理，至少存在一个 ，使2 fb fa b2 a2f'x至少存在一个根.证明不等式不等式是数学中的重要内容和工具。在微分学中 ,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.拉格朗日定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数（值）的不等式泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数（值）或低阶导函数（值）的不等式.例2求证ln1 x x x 1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6精品资料分析：根据不等式两边的代数式选取不同的 Fx,应用拉格朗日中值定理得出一个等式后,对这个等式根据x取值范围的不同进行讨论 ,得到不等式.证明：当x0时，显然lnx1x0设x0对ftlnt在以1与1x为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，有介于1与1x之间的，使f1xf1f'1x1,即ln1 x x当x0时，0 1，1 1，但此时注意lnx1与x均为负值，所以仍有ln1xx，即对x1不等式恒成立.当x0时，11，所以有ln1xx.0，0注：学会把隐藏的条件找出来，即 ln1 0，然后就可以利用定理，这个结果以后可以作为结论用.例3证明当b a e时，ab ba证法一 分析：要证ab ba成立，只要证lnablnba成立，只要证blnaalnb成立，只要证lnalnb成立，只要证ablnalnba0成立，b证明：设fxlnxa,bxx由fx在a,b上连续，在a,b内可导,且仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7精品资料1xlnxf'xx1lnx0，知fx在a,b上严格递减，x2x2由afafb，即lnalnb成立，知blnaalnb成立，ab即lnablnba成立，所以abba成立.证法二证明：要证abba，只要证lnalnb成立(1)ab设fxlnxxa,b，由fx在a,b上连续，在a,b内可导,x且f'x0于是lnalnbfbfaf'ba0，ab即lnalnb故原式成立.b注：证明某些不等式时，可转化为区间两端点函数值大小的比较或化为右边为0的不等式，转化为区间内任意一点函数值与端点函数值或与趋于端点极限值的比较，然后利用单调性证明.能用单调性定理证明的不等式，都可用拉格朗日中值定理证明，因为单调性定理就是拉格朗日中值定理证明的.相同的一道题可以有多种解法.讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性 , 其方法是:若函数fx在a,b上连续, 在a,b内可导, 则有:如果在a,b 内f'x 0,则fx在a,b上单调增加;如果在a,b 内f'x 0, 则fx 在a,b上单调减少. 另外, fx 在a,b内除有个别点外,仍有f'x 0(或f'x 0), 则fx在a,b上仍然是单调增加(或减少) 的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再利用函数的单调性及函数图像上峰值点与各值点的性质 , 便可以很方便地求出函数的极值。其方法为 :确定函数的定义域,并求出f'x,然后求仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8精品资料出定义域内的所有驻点,并找出fx连续但f'x不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近f'x的符号变化情况,从而确定函数的极值点,并求出相应的极大值或极小值.例4求证x0时,ln1xxx22证明：令fxln1xxx22因为fx在0,上连续,在0,内可导,且f'x=11xx21x1x当x0时,f'x1x20,所以当x0时,fx是单调增加的.x故当x0时,fxf00,即f00,从而ln1xxx22例5求yx的极值.lnx解：函数的定义域为0,11,.而y'lnx1,令y'0,即lnx10,ln2xln2x解得驻点xe,且该函数在定义域内没有导数不存在的点.而当xe时,y'0;当xe时,y'0.所以,xe是函数fx的极小值点,其极小值为fee.利用函数的单调性可证明某些不等式注：在求极值时，若极值的怀疑有导数不存在的点时，只能用列表法 .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9精品资料求极限对于有些求极限的题， 如果使用洛必达法则,则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法 .其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数 ,使用微分中值定理,然后求出极.1

1例6

求limn2

an

an1

,其中

a

0.n解：对

fx

ax应用拉格朗日中值定理

,有1 1limn2anan1n=limn2ax;11nn1nx=limn2alnann1=lna其中1,1n1n泰勒公式泰勒公式事实上就是含有高阶导数的微分中值定理 . 它不仅在理论分析中具有很重要的作用,下面的例子说明它的应用 .例7求lnx在x2处的泰勒公式.解由于lnx=ln2x2=ln2ln1x2，2因此lnxln21x21x222222仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10精品资料n+1n11nx2nx2n22求近似值微分中值定理为我们提供了一种计算近似值的方法 ,只要构造出一个适当的函数,应用微分中值定理就可以得出其近似值 .例8求 0.97的近似值.解：0.97是函数fxx在x0.97处的值.令x01,xx0x,即x0.03.由微分中值定理得0.971'0.03xx1=10.030.985.12用来证明函数恒为常数导数是研究函数性态的重要工具 , 但用导数研究函数性态的着眼点在局部范围. 而在整体上或比较大的范围运用导数这一工具来研究函数性态 , 主要工具还是微分中值定理,它是应用导数研究整体性问题的重要工具 . 证明函数恒为常数这是函数的整体性质 ,在这个应用中微分中值定理很实用 .例9设f'x在0,1上连续, f'c 0,c 0,1且在0,1内恒有f''x kf'x.其中k为小于1的常数,试证:fx为常数函数