离散傅里叶变换

离散傅里叶变换3.1离散傅里叶变换的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换为

,n=0,1,…,N-1(3.1.2)N称为DFT的变换区间长度N≥M。下面对比DFT与DFS:DFT和DFS基本相同。所不同的是DFT的取值范围是：0~N-1，而DFS的取值范围是：-∞~+∞。1为什么用DFT代替DFS是DSP的必然？2能把有限长的序列当作周期序列来看吗？3序号k代表什么？X(k)代表什么？

例3.1.1设x(n)=R4(n)，求它的Z变换、傅里叶变换、8点和16点DFT。解：,|z|≥0设变换区间N=8，则

k=0,1,...,7

设变换区间N=16，则

k=0，1,...,15观察w和k在公式和图的关系：1k是对数字角频率的采样顺序;2X(k)是X(ω)的采样序列。用MATLAB画图观察clear,closeallw=linspace(0,2*pi,1000);k1=0:7;k2=0:15;X1=exp(-j*3*w/2).*sin(2*(w+eps))./sin((w+eps)/2);X2=exp(-j*3*pi*k1/8).*sin(pi*(k1+eps)/2)./sin(pi*(k1+eps)/8);X3=exp(-j*3*pi*k2/16).*sin(pi*(k2+eps)/4)./sin(pi*(k2+eps)/16);figure(1),subplot(3,1,1);plot(w,abs(X1));subplot(3,1,2);stem(k1,abs(X2));subplot(3,1,3);stem(k2,abs(X3));figure(2),plot(w,abs(X1),k1*2*pi/8,abs(X2),'^r',k2*2*pi/16,abs(X3),'ok');

3.2离散傅里叶变换的基本性质

3.2.1序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为

y(n)=x((n+n0))NRN(n)(3.2.2)((n))N表示n对N求余，x((n))N表示有限长序列x(n)以N为周期的周期延拓序列。例如：x(n)为6点长的序列，以N=6为周期的延拓序列为x((n))6，将它左移n0得x((n+n0))6，取其主值得循环移位序列x((n+n0))6R6(n)，也叫圆周移位。MATLAB:clear,closealln=0:20;x=[1,2,3,4,zeros(1,17)];subplot(4,1,1);stem(n,x);a=x(1+mod(n,4));subplot(4,1,2);stem(n,a);b=x(1+mod(n+2,4));subplot(4,1,3);stem(n,b);c=b.*(1-[n>=4]);subplot(4,1,4);stem(n,c);3.2.2循环卷积设有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2

］。定义循环卷积为：循环卷积的直线坐标图解法：画出x1(l)和x2(l)，周期化x2(l)得x2((l))N，反转x2((l))N得x2((-l))N，移位x2((-l))N得x2((n-l))N,x1(l)和x2((n-l))N在l=0~N-1上求积和。循环卷积的圆圈坐标图解法：画出x1(l)和x2(l)，反转x2(l)得x2(-l)，移位x2(-l)得x2(n-l),x1(l)和x2(n-l)在圆坐标上求积和。

3.2.3卷积定理设时域里循环卷积为：则频域里X(k)=X1(k)X2(k)。注意：X(k)、X1(k)和X2(k)都是N点的DFT。！！！因为DFT是DFS的代表，！！！所以DFT具有与DFS类似的性质。3.3频率域采样

设任意序列x(n)的Z变换为且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到

实际上X(k)的反变换是有限长的序列xN(n)，

xN(n)=IDFT［X(k)］，0≤n≤N-1

请问，原序列x(n)和它的频谱采样后恢复的序列xN(n)一样吗？频率采样定理：如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数N≥M时，才有

xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n)

即可以由频率采样恢复原序列，否则xN(n)会产生混叠失真现象。3.4DFT的应用举例DFT的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。各种应用一般都是以卷积和相关运算为依据，或是以DFT作为连续傅里叶变换的近似为基础。这两种理论是DFT应用的基础。例如：Thereareapplicationswhereitisnecessarytocompareonereferencesignalwithoneormoresignalstodeterminethesimilaritybetweenthepairandtodetermineadditionalinformationbasedonthesimilarity.Forexample,indigitalcommunications,asetofdatasymbolsarerepresentedbyasetofuniquediscrete-timesequences.Ifoneofthesesequencesistransmitted,thereceiverhastodeterminewhichparticularsequencehasbeenreceivedbycomparingthereceivedsignalwitheverymemberofpossiblesequencesfromtheset.Similarly,inradarandsonarapplications,thereceivedsignalreflectedfromthetargetisthedelayedversionofthetransmittedsignalandbymeasuringthedelay,onecandeterminethelocationofthetarget.Thedetectionproblemgetsmorecomplicatedinpractice,asoftenthereceivedsignaliscorruptedbyadditiverandomnoise.Ameasureofsimilaritybetweenapairofenergysignals,x(n)andy(n),isgivenbythecross-correlationsequencerxy(l)definedbyTheparameterlcalledlag,indicatesthetime-shiftbetweenthepair.Thetimesequencey(n)issaidtobeshiftedbylsampleswithrespecttothereferencesequencex(n)totherightforpositivevaluesofl,andshiftedbylsamplestotheleftfornegativevaluesofl.Theorderingofthesubscriptsxyintheabove-mentionedequationspecifiesthatx(n)isthereferencesequencewhichremainsfixedintimewhereasthesequencey(n)isbeingshiftedwithrespecttox(n).3.4.1用DFT计算线性卷积因为有所以处理信号时，希望利用DFT的卷积定理。但是，可以吗？设x(n)长N1，h(n)长N2。对于，长(N1+N2-1)，，长L，还有周期性；若(N1+N2-1)>L时，包含的后面部份，若(N1+N2-1)<=L时，包含的全部份。所以，当L>=(N1+N2-1)时，可以等于，可以用计算。这种做法称为快速卷积。当x(n)很长，而h(n)较短时，怎么计算循环卷积呢？（1）重叠相加法将x(n)分成几段，每段的长和h(n)相当，对它们分别求循环卷积，然后将结果相加。（2）重叠保留法将x(n)分成几段，每段的长和h(n)相当；每段连上前一段的一部份后与h(n)分别求循环卷积，然后去掉循环卷积重叠失真的部份；最后将结果相加。例如：设信号s=2[n(0.9)n]，用M点的moving-averagefilter对被噪声污染的信号进行滤波处理。用M-可以执行上述方法。clear,closeallr=70;m=0:r-1;%噪声和信号的长M=3;%滤波器的长d=rand(r,1)-0.5;%产生噪声s=2*m.*(0.9.^m);%产生信号x=s+d';%信号受干扰h=ones(1,3)/3;%moving-averagefilter的系数y=fftfilt(h,x,4);%重叠相加法输出plot(m,s,'-r',m,x,'b--',m,y,'k');legend('s','x','y')3.4.2用DFT对信号进行谱分析信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析不能用计算机计算。而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合计算机计算。因为：

1对连续信号xa(t)采样近似得x(n)；

2对连续信号xa(t)的频谱Xa(jΩ)采样近似得Xa(kF)，F=fs/N称为频谱分辨率；

3对比Xa(kF)和X(k)可以得到

Xa(kF)=T*X(k)

所以：用DFT可以近似地分析连续信号的频谱。

例3.4.1对实信号进行谱分析。设信号最高频率fc=2.5kHz，要求谱分辨率F≤10Hz。请问最小的记录时间TPmin，