信号和系统频域分析

信号和系统频域分析2.1引言

我们知道信号和系统的分析方法有两种：时域分析方法，频率分析方法。时域分析方法相当于用肉眼直接看水，频域分析方法相当于用化学分析方法间接看水。时域分析频域分析

f(t)F(Ω)x(n)X(ejω)

在模拟领域：系统用微分方程、拉普拉斯变换和傅里叶变换描述。在离散领域：系统用差分方程？、Z变换？和傅里叶变换？描述。

连续信号和系统的离散信号和系统的频域分析频域分析

2.2序列的傅里叶变换的定义及性质2.2.1序列傅里叶变换的定义

FT[x(n)]=

IFT[X(ejω)]=x(n)=序列的傅里叶变换序列的傅里叶反变换

例2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT。解：设N=4，X(ω)的幅度与相位随ω变化曲线如图所示。注意观察它的周期性？。

图2.2.1R4(n)的频谱的幅度与相位曲线2.2.2序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在定义(2.2.1)式中，n取整数，因此下式成立M为整数(2.2.6)它说明序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。在ω=0和ω=2πM附近的频谱分布是相同的。在ω=0，±2π，±4π，···点上表示信号x(n)的直流分量，在ω=±π，±3π，±5π，···点上表示信号x(n)的高频分量？。例如：信号x(n)=cos(ωn)，当ω=2πM时它没有变化，当ω=2πM+π时它变化最快，用图表示如图。图2.2.2cos（ωn）的波形2.FT的线性那么

设

式中a,b为常数。3.FT的时移与频移设X(ejω)=FT［x(n)］，那么证明方法：令l=n-n0(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)

例2.2.2试分析x(n)=ejωn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：

x*(-n)=ejωn

因此x(n)=x*(-n)，满足(2.2.10)式，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到

x(n)=cos(ωnJ)+jsin(ωn)

由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。

一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即

x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.16)式中xe(n)和xo(n)可以分别用原序列x(n)求出：(2.2.18)(2.2.19)

对于频域函数X(ejω)也有和上面类似的概念和结论：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)(2.2.10)

共轭对称部分Xe(ejω)=Xe*

(e-jω)(2.2.21)

共轭反对称部分Xo(ejω)=-Xo*

(e-jω)(2.2.22)

(2..23)(2.2.24)对称性(a)若x(n)=xr(n)+jxi(n)，对该式进行FT，得到

xr(n)→Xe(ejω)jxi(n)→Xo(ejω)(b)若x(n)=xe(n)+xo(n)，对该式进行FT，得到

xe(n)→XR(ejω)xo(n)→jXI(ejω)用途：加快DFT，节约计算机资源x(n)→X(ω)=x1+jx2→=X1+jX2X1=Xe=(X(ω)+X*(-ω))/2

X2=-jXo=-j(X(ω)-X*(-ω))/2

5.FT的时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),

则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(2.2.32)6.FT的频域卷积定理设y(n)=x(n)·h(n)(2.2.33)

则

2.3周期序列的离散傅里叶级数

定义设是以N为周期的周期序列,则离散傅里叶级数为物理意义周期序列可以分解成虚指数序列（俗称谐波分量，简称谐波）的线性组合。指数的表示谐波经过单位序号所转过的角度，所以是谐波的角频率，简称数字角频率。X(k)表示各次谐波的幅度和初始相角，简称频谱。因为计算机处理FT的正反变换同用一个程序，所以时域和频域的点数相同。

例2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求的DFS。解：按照定义例图习题2的解：1建立数学模型FT的反变换表达式为

x(n)=因为MATLAB是做数值计算的，所以改写表达式

x(n)=写成

MATLAB程序DSP7.mclear,N=200;%0到pi的频分点数dw=pi/N;w=[1:N]*dw;%角频率的间隔X=[ones(1,N/2),zeros(1,N/2)]*pi;%给出频谱函数ln=200;%给出序列的正长度n=0:ln;%给出序列的正序号x=X*exp(j*w‘*n)*dw/pi;%求X(w)的傅里叶反变换subplot(2,1,1),plot(w,X),gridtitle('频谱X(w)的波形图')xlabel(‘w/弧度'),ylabel('X(w)');subplot(2,1,2),stem(n,abs(x),'.'),gridtitle('序列x(n)的波形图')xlabel('n'),ylabel('x(n)');shg3程序运行结果频分点N=200时频分点N=100时习题6（2）的解：1建模从序列的傅里叶变换的定义出发为了计算，将连续频率w设置成离散频率，得到频谱X=x*exp(-j*n’*w)2MATLAB程序DSP8.mclear,n=-1:1;%建立序号x=[.5,1,.5];%给出序列w=linspace(0,2*pi,1000);%线性产生角频率w的1000个频点X=x*exp(-j*n'*w);%求x(n)的傅里叶变换plot(w,abs(X)),grid,shg%画频谱图title('序列x(n)的频谱图'),xlabel('w/弧度'),ylabel('X(w)的幅度')程序运行结果一种是w=0~2pi，一种是w=0~4pi，

2.4时域离散信号的FT与模拟

信号的FT之间的关系模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换用下面公式描述（）（）而采样信号的傅里叶变换用下面公式描述（）（）公式（）描述了模拟信号和采样信号的频谱关系离散信号x(n)的一对傅里叶变换用下面公式描述

（）（）

如果时域离散信号x(n)是由我们对模拟信号xa(t)的采样产生的，即x(n)=xa(nT)，那么，X(ω)与Xa(Ω)之间有什么关系？这在模拟信号DSP处理中是个很重要的问题。由公式（）得到

为了得到离散信号和连续信号的频谱关系，令Ω=B+Ωsk，Ωs是采样角频率，则当Ω=－∞到∞时，B=－Ωs/2到Ωs/2，k=整数，所以注意:B=ΩΩT=ω它与式（）对比得到

（）公式（）描述离散信号与连续信号的频谱关系。

公式（）和（）的共同特点是序列的频谱和采样信号的频谱都是模拟信号的频谱的周期延拓，延拓周期是Ωs

。它们频率轴上取值的对应关系用ΩT=ω表示。图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系采样规律：函数采样(I)FT

周期延拓没采样函数变换的采样间隔Δ(I)FT

延拓的周期是(1/Δ)

例2.4.1设xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50Hz，以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，求xa(t)、和x(n)的傅里叶变换。解：根据FT对称性和频移性令2πf=Ω按照(1.5.2)式，与xa(t)的关系式为的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，即以Ωs为周期，将Xa(Ω)周期延拓形成：

x(n)的傅里叶变换用(2.4.7)式确定，注意：ΩT=ωΩ0=100π，ω0=π/2?下面是连续信号、采样信号和离散信号的频谱图：

/T

图2.4.2例图

2.5序列的Z变换

2.5.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换是式中z是一个复变量，相当于FT中的虚指数ejω，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n在±∞之间求和的ZT，可以称为双边Z变换。对n在0~∞之间求和的ZT，可以称为单边Z变换的定义，如下式(2.5.1)(2.5.2)

使(2.5.3)式成立的Z变量取值范围称为收敛域。一般收敛域用环状域表示：

对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。

(2.5.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即(2.5.3)令z=rejω带入上面不等式就可以得到Rx－＜r＜Rx+，它说明收敛域是以Rx－和Rx+为半径的两个圆圈围成的圆环，

Rx－和Rx+称为收敛半径。图2.5.1Z变换的收敛域

常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界？。对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：(2.5.4)

式中z=ejω表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。

(2.5.4)式表明单位圆上？的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(2.5.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例2.5.1x(n)=u(n)，求其Z变换。解：

X(z)存在的条件是|z-1|<1，因此收敛域为|z|>1，

|z|>1X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用式(2.5.4)求它的FT。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。2.5.2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的基本关系，对使用Z变换是很有帮助的。

1.有限长序列其它其Z变换为

设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除z=0与∞两点ZT是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。具体情况具体分析：当n1<0和n2≤0时，0≤z＜∞；当n1<0和n2>0时，0<z＜∞；当n1≥0和n2>0时，0<z≤∞。

例2.5.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域解：由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极点和零点对消，所以X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ejω代入X(z)得到。2.右序列右序列是在n≥n1时，序列值不全为零，而在n<n1时，序列值全为零的序列。它的Z变换为第一项为有限长序列，设n1≤-1，其收敛域为0≤|z|＜∞。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-<|z|≤∞，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-<|z|<∞。如果是因果序列，收敛域为Rx-<|z|≤∞。

例求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解：

在收敛域中必须满足|az-1|<1，因此收敛域为|z|>|a|。

3.左序列左序列是在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n2，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为

如果n2<0,z=0点收敛，z=∞点不收敛，其收敛域是在某一半径为Rx+的圆内，收敛域为0≤|z|<Rx+。如果n2>0，则收敛域为0<|z|<Rx+

。2.5.3逆Z变换的定义已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。序列的Z变换和逆Z变换表示如下：

Ｚ逆变换的求法留数法长除法部份分式法(2.5.5)1.长除法按照Z变换定义(2.5.1)式，可以用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)。要说明的是，如果x(n)是右序列，级数应是负幂级数；如x(n)是左序列，级数则是正幂级数。例2.5.8已知用长除法求其逆Z变换x(n)。解由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展开成负幂级数。

因为

所以最后得1-az-1

例2.5.9已知，求其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数

-az-1+1

所以2.部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。设Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式(2.5.11)(2.5.12)

求出Am系数(m=0,1,2,…N)后，利用变换对很容易求得x(n)序列。

例2.5.10已知，求逆Z变换。解：因为收敛域为2<|z|<3，第一部分极点是z=2，因此收敛域为|z|>2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|<3。根据前面两个公式得到

x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)题14的MATLAB答案：clear,formatcompact%格式紧凑symsxn%说明x和n是符号x=2^(-n)X=ztrans(x)%对序列做单边z变换pretty(X)%使公式更好看题18（2）的MATLAB提示：z=iztrans(Z)%对序列做单边z反变换2.5.4Z变换的性质和定理

1.ZT的移位设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

则ZT［x(n-n0)］=z-n0X(z),Rx-<|z|<Rx+(2.5.16)2.ZT的卷积定理设则

W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。

例2.5.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|<1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解：求y(n)=h(n)*x(n)可用两种方法，（1）直接求解线性卷积

m≥0，n-m≥0n≥0(2)用Z变换法用部份分式法2.5.5用Z变换表示差分方程这种方法可以将差分方程变成代数方程，使求解过程简单。设N阶线性常系数差方程为1.求稳态解如果输入序列x(n)是在n=0以前∞时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对(2.5.30)式求Z变换，得到用ZT的移位性质(2.5.30)移项后得令则所以2.求暂态解对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始条件y(-1),y(-2)…y(-N)。对(2.5.30)式进行Z变换时，注意这里要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换是相同的。下面先求移位序列的单边Z变换。设则令p=n-k，则上式可以变成按照(2.5.33)式对(2.5.30)式进行单边Z变换，有零状态响应零输入响应(2.5.33)(2.5.34)

例2.5.13已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n)，y(-1)=2，求y(n)。解：将已知差分方程进行Z变换式中，于是

收敛域为|z|>max(|a|,|b|)，式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。2.6利用Z变换分析信号和系统

的频域特性

2.6.1传输函数与系统函数传输函数表示系统的频谱。它是系统的单位脉冲响应h(n)的傅里叶变换H(ejω)：(2.6.1)

系统函数表示系统的结构。它是系统的单位脉冲响应h(n)的Z变换H(z)：对N阶差分方程(1.4.2)式进行Z变换，可以得到系统函数的一般表示式(2.6.2)

如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ejω)与H(z)之间关系如下式：(2.6.3)2.6.2系统函数的极点影响因果性和稳定性因果(可实现)系统的单位脉响应h(n)一定满足当n<0时，h(n)=0；所以其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点。因果系统的极点只能在某个圆的圆内，收敛域在这个圆外。系统稳定要求，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆？。如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可表示为

r<|z|≤∞，0<r<1

例2.6.1已知，请分析其因果性和稳定性。解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，。

(1)如果收敛域a-1<|z|≤∞，对应的系统是因果不稳定的，因为系统的收敛域不包含单位圆。其单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)，是一个因果序列，但不收敛。

(2)如果收敛域0≤|z|＜a，对应的系统是非因果不稳定的，因为系统的收敛域不包含单位圆。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，是一个非因果序列，而且不收敛。(3)如果收敛域a<|z|<a-1，对应的系统是一个非因果稳定的，因为系统的收敛域包含单位圆。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，是一个非因果序列，但是收敛的，如图2.6.1(a)所示。

图2.6.1例图示2.6.3系统函数的零极点影响频率特性如果对(2.6.2)式因式分解，可以得到式中A=b0/a0，cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响传输函数的幅度大小，零点cr和极点dr影响系统的频率特性。让我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。

(2.6.4)将(2.6.4)式分子分母同乘以zN+M，得到如果系统稳定，则可以将z=ejω带入上式，得到传输函数（）开动脑筋，在z平面上用矢量表示传输函数的分子分母，可以吗？如图