新课标学习材料（数学）

2011-2012新课标网上培训内容（数学）

《义务教育阶段数学课程标准》修订的指导思想及进程

数学课程改革从2001年进入试验区，到现在有十年的时间，十年以后，课程标准又做了修改,

下面我们来回顾一下这十年实施的过程和取得的成效以及问题。

一、数学课程实施的基本历程

如果说，从2001年开始正式实施，从2000年开始就是作为数学课程改革实验的一个准备和

过渡时期，所以把第一个阶段叫做实施的准备和过渡阶段，该阶段做的主要事情就是对义务教育教

学大纲做了修改。

1992年公布的义务教育数学教育大纲是为了适应义务教育阶段的需要，经过了儿年的实施，

还需要进行改进，2000年就开始去做了义务教育阶段的数学课程标准的研制。到2000年的时候,

公布了标准的实验稿。但是，具体的实施还要从2001年开始，这时候教育部就希望把课程标准实

验稿里边的一些主要理念在中小学里体现出来，所以，就利用很短的时间把当时的教育大纲做了修

改，而这些修改把一些重要的东西很快的反应出来了。

比如说在小学里边，关于乘数、被乘数的问题，当时在小学里边困扰着大家的是，在列算式的

时候，乘数、被乘数不能颠倒。一个教室里面有八排桌子，每排有儿个，在列算式的时候，一定得

是7X8,如果学生列成8X7就是错的，这样的问题困扰着大家。标准修改，标准实验稿里

规定了列成算式7X8、8X7都叫做因数，两个因数相乘就可以了，不分顺序。所以在2000

年就修改了教材和大纲，把这个阶段叫做过渡阶段。一方面修改了一些内容，另一方面把标准的一

些主要思想，也做了宣传，这是第一个阶段。2001年开始在实验区里边正式推进标准实验稿、实

验教材.，当时国家级实验区有42个，来实施进行课程标准，培训各方面做的都比较深入，也比较

详细。然后2002年到2003年就是进入省级的实验区，两年之内有1400个省级实验区，占全国

的一半左右。到2005年的时候，儿乎所有的地方，都用了实验的教材，所以从这个进程上来看,

2003年开始实施的速度开始加快，到2005年全部进行实施.

二、数学课程实施中取得的成效及进展

第一，教师对数学课程的改革有较高的认同感。

2003年到2005年分别进行了大规模的调研，2005年成立了数学课程标准修改组，修改组专

门编制了问卷，在全国十几个省进行了调研，两份调研的情况，都可以看出大多数教师认为课程改

革是有必要的，他们普遍认同课程改革所提出的课程标准里的一些理念、目标和它的整个结构，有

80%、90%左右的人表示对课程改革认同。在这个数据当中，尤其是对课程改革的理念，就是课

程到底应该给孩子们什么，通过数学课程应该给孩子带来什么样的变化，老师们还很认同的。当然

不排除在实施过程当中，老师们碰到一些困难和困惑，具体怎么实施，大家在探索、在摸索，在困

惑中，经过大家的研究，也能得出一些更好的办法。

第二，管理者和教师在观念上发生了很大的变化。

从观念上看，校长和教师对自身的责任认识发生了很多变化，就对于数学课程的这种责任来说,

校长们自己在课程设计实施过程中发挥了重要的作用。在这个调研中，发现很多校长领导教师开发

课程，把国家课程校本化，组织学校的课程计划，另外鼓励教师提供更多的课程资源等，这也是校

长的责任，就是说校长本身，不仅是一个管理者，而且是一个课程的领导者，从这个意义上来说,

校长发生的变化是比较大的，校长的领导力也增强了，原来校长是执行者，就是执行国家课程的这

样一种角色，现在校长有责任和义务去领导整个课程的实施。

第三，课程结构发生了变化。

比如说有校本课程，还有国家课程的校本实施，这要求校长都要担责任的，同时也要发挥主观

的能动作用，他们是一个课程的领导者。

第四，教师的课程观发生了很大变化。

在课程改革之前，一个很重要的特征就是绝大多数教师都是按照教材讲，教材上怎样写，包括

例题、包括习题的设计，教师就怎样讲，教师主动的改变比例非常少。现在调研的时候发现，经过

儿年的实验，多数教师能够根据学生和实际的情况来调整教材，应在教学中如何利用教材.，有将近

70%的教师选择了利用教材实施的实际情况做调整。过去教教材，现在叫用教材教，这个变化应该

是非常明显的。还有，过去老师对教学大纲基本上是不闻不问，但是现在越来越多的教师都看学习

标准，甚至有的地方标准是人手一册。

第五，对课程资源的利用的变化。

现在有将近50%的老师不把教材作为一个唯一的课程资源，老师会开发多种课程资源，这个

已经变成老师平时经常用的这样一种教学策略，所以老师的课程观发生了较大变化。

第六，教学方式的变化。

课程标准提出启发式、探索式、合作交流等新的教学方式。在实验的过程中，很多老师把这些

教学方式用到教学实践中，同时，在教学实践过程中也有很多创新。在2009年的时候，教育部课

程中心搞过一次全国优秀的课例评选，在课例评选表现出来的情况可以看出教学方式的变化。从教

学设计看，教学目标的确定，内容的选择，一些关键环节的表述等，都能体现出课程改革提倡的一

些理念。比如说目标设计中三维目标的体现，根据学生的实际水平进行内容的选择，适合学生发展

的需要，还有提出的一些新的活动任务和提出的一些问题，效度高，容量恰当，难度层次也比较好,

能够创造性的应用教材。从教学过程看，教学过程反应在教学方式上，就是注重知识和学生能力，

联系学生的实际生活，恰当的运用方法来指导学生进行有效的学习。很多教学内容在课堂中反应出

一种互动交流。另外从教学效果也可以看出一些变化。例如圆的周长的认识中，一个主要的内容就

是让学生来知道圆周率，老师设计了这样一个活动，让学生测量圆的周长，然后给出不同大小的圆，

然后让学生测量周长，并把测量的周长和直径记录下来，这就是学生动手测量的过程，圆的直径不

一样，周长就不一样，然后让算出周长和直径的比。这也是学生体验的过程。每一个小组汇报以后,

他们的测量方法可能不一样，但是直径不一样周长就不一样，最后得到周长和直径的比都是差不多

的，这就产生了一个问题：周长和直径的比是不是一个固定的数。学生们可以猜测，在这个基础上,

老师进行概括：把这个固定的数叫做圆周率。而圆周率出来以后，周长的计算方法就出来了。在这

个过程里，老师把重点放在怎么知道圆的周长和周长与直径的比，从而学生对数学的本质体验的比

较清楚。

这些变化，有一个最本质的东西，就是从关注教逐步的开始或者越来越多的关注学生的学，这

是数学教育一个根本性的变化。

另外，评价方式的变化。

这一点老师们感受比较深，课程标准里面提出发展性的评价，促进学生发展评价，促进教师发

展评价，想更多的就是评价方式的多元化。以前的评价方式以纸笔测验，为主要的评价方式，现在

这种评价方式，一个是改造了纸笔测验，现在出的问题更灵活，更能够启发学生的思考，而不是简

单的训练。除此之外，老师还创造性的用其它评价方式，比如说课堂观察、成长记录、数学日记等

i系列的评价方式，这种评价不仅评价学生知识的掌握情况，而且还评价学生的学生过程，同时也

评价学生情感态度的变化，经历过的老师在这方面都有体会。这个地方其实有提问方式的变化,

同时也有老师们对评价功能的认识，以前评价功能写的非常突出，结果考试就分出三六九等，现

在老师评价也是为了激励孩子，当然发现问题是一方面，反馈信息也是一方面，激励孩子们让自己

能够感到进步，老师们在这方面也还是有很大的变化。

还有，就是教材和课程资源的变化。

课程资源的变化，体现在老师们的教学活动之中，创造性的利用教材.、使用教材.，另外老师们

充分利用教科书之外的一些课程资源，也是很明显的，老师开发了很多课程资源，包括一些教具、

学具、身边的一些材料，即使农村的教师也能利用身边的一些材料运用课堂。

在刚才举的例子中，学生通过操作的一些材料，包括身边的一些小卡片，什么测量工具等等,

可以利用操作活动和各种资源，除了这个以外，教师还运用一些现代信息技术，现代化的教学资源,

有的老师利用网上的资源，有些地区条件比较好的，老师开可以让学生在网上搜集资料，学生根据

网上的材料自己出一个题目，或者汇报这样生动现实的一些材料，这个变化还是比较大的。

新课程实施之后，教材也改变了原来一-纲、一本的这样一种局面，现在有多套教材，在这种对

教材本身功能的定位上，大家有了新的认识，所以教材的多样化，其实也带来了创新。老师们也都

反应说，现在翻开教材.，其实看到的不是以前很死板的、很单•的那样i种公式、定理的呈现，现

在比如问题情境、习题，方方面面发生了很大的变化。现在也形成了教材的竞争，其实这是个好事,

大家都争着要编出适合于学生的教材.，在不同的方面进行创造，要体现出不同教材的特点，老师的

视野就随之拓展了。

三、课程实施过程中反应出的一些问题

(-)老师们对标准中的某些核心概念的认识和理解，还有一些不到位的地方。

比如说，标准实验稿提出一些数感、符号感、合情推理这样的一些概念，这些概念对数学教育

和对学生全面的提高数学素养都是非常重要的，但是这些概念对老师来说也是新的，怎么理解这些

概念，怎么样在实际的课堂中体现出来，很多老师也感到一些困惑。

(-)标准中涉及的一些新内容的处理。

数学课程标准实验稿里提出了四个领域，四个领域就是：数与代数、图形与儿何、统计与概率、

实践与综合，在这些领域里有增加新的内容。比如说统计与概率，概率的内容原来在中小学里边几

乎没有，这是一个新的内容，这对中小学老师也是新的内容，怎么样让学生理解概率的概念，还有

一些位置、平移、旋转这样一些新的内容，对狠多老师来说还是新的东西，老师们在运用的过程中，

又出现了一些困惑。其实这些内容增加也对教师的学科素养提出了新的挑战。比如说这些内容，从

数学上怎么理解它，怎么样能够理解标准当中的定位，老师们都要不断的去琢磨，去学习。

另外，在标准里提出了过程性目标，在标准里面，有很多这样的话，如经历什么、体验什么、

探索什么，这些都是过程性目标。以前的教学大纲里没有这样的过程性目标，都是具体的结果性目

标，对这些过程性目标，怎样体现，怎样操作，怎样考核，老师也出现一些困惑。比如说经历讲一

些实际问题，抽象数与代数问题的过程，这个问题怎样去体现，老师做了一些探索，但是有一些老

师还对这个问题怎样去落实，以及落实到什么程度，而感到有一些困惑。

这个也是一个比较正常的现象，因为一直存在着这样的争论，结果是对于目标，大家没有什么

争论，没有什么不同的意见，能不能从过程到目标，怎样把过程当目标，这是新课程改革一个非常

具有挑战性的问题，需要有一个探索的过程,也需要课程的改革者和课程的实践者不断的积累经验。

老师们要为更好的解决这些问题提供一些创造性的思考。

（三）新的教学方式的运用和把握。

老师在运用一些新的教学方式方面，也有很好的效果，但是在教学方式运用的过程中，也有一

些老师说这种形式化的或者理解上的一些建议。

为了活动而活动，这样的现象也存在。比如说每一节课，都要学生操作，每一节课都要学生讨

论，学生活动的越多越好，这样的问题，也有一些在实际操作中的一些困惑或者理解上的一些偏差。

比如合作学习，也有一些形式的做法，这些只是说明在做的过程中，还需要不断的完善，并不意味

着这些东西本身是不好的，所以应该用一种积极的态度来对待这些问题，需要不断的积累在实践中

一些经验。

（四）评价上改革的困难。

评价要求过程性评价和结果性评价相结合，特别是过程性评价，老师应该如何评价学生学习过

程，如何去体现情感评价，这个也在老师们的探索过程之中。刚才说老师在应用不同的评价方式已

经有了一些探索，包括成长记录带，观察等等，但是大多数老师如何在实际中取得更好的效果，这

还有很长一段路需要我们去做，这也会让老师感到有一些困难。

现在一些利害性的考试，也面临着很大的挑战。比如说，综合与实践能不能进入书面考试，比

如说，学生的学习过程能不能进入书面考试，学习能力能不能考，现在国外也都在做这方面的探索，

比如说，很多题目和传统的题目有很大的的变化。目前评价改革方面的探索是整个世界的课题。所

以希望老师们用积极的态度来对待这些问题,相信经过不断地努力，在这些方面还会有很大变化的。

《义务教务阶段数学课程标准(20H年版)》的理念及总体目标

话题一、课程标准的基本理念

课程标准的理念和目标，是非常重要的两部分内容，课程标准的理念，从五个方面来阐述，分别从数学教

育，课程内容，教学方式，评价还有新技术，这儿个方面来阐述。

(-)数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使

得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

课程标准基本理念的第一条，是一个总的论述。

这一条是对义务教育阶段数学教育做了总体的阐述，就是义务教育的阶段的数学，在这个阶段的数学教育

使学生获得一个什么样的数学教育，使他在数学方面，获得什么样的发展，这里边强调的要根据义务教育阶段的

培养目标，义务教育阶段的学生的成长，是整个人发展的一个重要阶段，是它为学生打基础的阶段，在打基础的

阶段，要面向全体学生，使学生在各个方面打好基础，而数学是学生应该掌握基础知识、基本能力和基本素养的

非常重要组成部分。

正因为是义务教育，所以强调要面向全体学生，义务教育阶段是面向所有学生发展的阶段。

这里强调两个要点，第一，人人都能获得良好的数学教育，面向全体学生，使每一个学生都接受良好的数

学教育。每个学生都要提高数学素养，进而提高学生的公民素养，数学素养是学生公民素养的一个重要组成部分。

义务教育重要的任务就是使学生将来能够成为一个社会需要的、具有良好的素养、各方面能够健康发展的公民。

他们有良好的数学素养是非常重要，所以良好的数学教育就是让每一个学生获得他所需要的良好的数学素养。

第二，不同的人在数学上得到不同的发展，这个是针对学生的差异，因为每一个学生都要接受义务教育，

而在学生的发展和学生原有的基础存在很大的差异。良好的数学教育，使每一个学生都得到一样的教育，得到一

样的机会，但最后的发展可能是有差别的。根据学生的智力的差异，根据兴趣的不同，标准特别强调要照顾到学

生的个别差异，使每一个学生都能获得他所应该得到的发展。

在任何国家，数学教育都是•个具有基础性、发展性的一个学科，一般在很多国家都把它叫做核心课程，

或者说它在某种意义上，和语文、外语等成为一个人发展的非常重要的一个基础。所以在义务教育阶段，要保证

人人都得到发展。才能保证一个国家的基本教育水平.不是有人可以学数学，有人可以不学数学，而是所有的人

都必须接受一个良好的数学教育。因为义务在某种意义上，带有一定“强迫性”。

良好的数学教育并不是要以分数为目标的。当然希望学生具有一定的考试能力，也能考出一个好分数，但

是这不是数学教育的全部，所以怎样营造一个良好的数学教育氛围是特别重要的。在知识技能方面，在过程与方

法方面，在理解数学的基本思想和积累数学活动经验方面，在情感态度、价值观方面，都需要为学生营造一个良

好的氛围。这样的想法，也是制订课程标准的一个基点。

（二）课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包

括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思

考与探索。

课程内容的组织要重视过程、处理好过程与结果的关系，要重视直观、处理好直观与抽象的关系，要重视

直接经验、处理好直接经验与间接经验的关系。

课程内容的呈现应注意层次性和多样性。

这一条对课程内容做了一个描述，课程内容要反应社会的需要，数学的特点要符合学生的认知规律，这是

课程内容选取的一个基本原则。另一个基本原则是社会的需求，比如说，为什么在课程要增加统计，原来没有，

现在有了，一个非常重要的原因，就是因为社会的需求。当学生迈入社会以后，他所碰到的大量的数据，怎么样

能从这些数据里得到对自己有用的信息。而不上当受骗，这就需要有一种能力，需要有一种识别和判断的能力。

这样的需求就使得数学课程，在内容上要做调整，要把统计作为数学课程的一个主要的内容。所以现在小

学、初中、高中、大学，都需要学习有关统计的知识。

另外就是数学课程要符合数学本身的特点，数学发展的非常快。一个发展的标志就是数学应用的广泛性，

数学自身的发展很快，在不同的领域都能得到应用，在经济、在社会等等方面，所以就出现了一些新的数学，比

如说，经济数学、金融数学、社会数学、生物数学等等。数学本身的这些变化，势必会反应到课程的内容。所以

在课程里就增加了关于数学的应用，培养学生的应用意识。特别是设置了综合与实践活动，综合的利用数学知识

去解决问题。符合学生的认知规律是确定课程内容重要原则。

课程内容不仅要包括数学的结果，也要包括数学结果的形成过程和它蕴含的数学思想方法。

从学生的需要，从数学本身的需要，从数学的结果和过程这两个方面，在选择课程内容时都要重视。标准

里后•段在讲述课程内容的组织和内容的选择，怎样组织方面，包括在教材中如何去组织，在教学过程中如何组

织，在内容组织上，强调了三个方面，一个是过程和结果，一个是直观和抽象，一个是直接经验和间接经验，在

标准里边，特别强调了在课程组织上，内容的组织上，要重视过程，处理好过程和结果的关系，重视直观，处理

好直观和抽象的关系，重视宜接经验，要处理好直接经验和间接经验的关系，这三对是呈现表述和教师在具体的

教学中，应该重视，重视结果数学要有结果，要有精辟的结果，要得到一个答案，这个没有问题，但是还要重视

过程，重视学生的学习过程，在内容的选择上，在内容的呈现上，在例题、习题的选择和呈现上，重视过程是非

常重要的，使学生在知识形成过程中理解数学。

直观和抽象也是数学中•个非常重要的一对关系，数学是抽象的，这个没有问题，抽象的思维能力，抽象

能力，要在数学中培养，但抽象能力的培养，要有直观作为铺垫，作为一个学生，这是思考抽象问题的一个支柱,

所以说，重视直观的作用是非常重要的，而学习的内容，多半是间接经验，这个是没有问题，但是这种间接经验

的形成，也需要一些直接经验的积累，所以课程里边特别强调活动经验的积累，其实也是处理好直接经验和间接

经验这样的关系。

（三）教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一•,

学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。

数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重

培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。

学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作

交流同样是学习数学的重要方式。应当使学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等

活动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。

教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理

解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。

有效的教学活动，应该是学生学和教师教的统一，进一步阐述了刚才说的这个过程，学生是学习的主体，

教师是学习的组织者、引导者和合作者。这样一个理念，现在很多老师也都能琅琅上口，但真正要实践它的，也

不是一件很容易的事情，但是标准这样明确的提出来，也值得老师进一步的思考，怎样在实践中去践行。

另外这个标准谈到了教学活动，除了刚才谈到的这几个方面，这样一个过程特点，还应该注重激发学生的

兴趣，包括调动学生的积极性，引发学生思考，鼓励学生的创造性思维，培养学生良好的学习习惯，使学生掌握

恰当的数学学习方法。这一点也应该是教学设计或开展教育活动首先要想到的一条。教学活动的目的是要让学生

对数学感兴趣，希望通过的努力，让学生不要失去对数学学习的兴趣，帮助学生养成良好的习惯，有了好的习惯,

才能够学好数学，才能够有信心。

接下来要讲学习方式的重要性。

数学的学习，应该是有多样的方式，这里强调一点，学生学习应该是一个生动、活泼的、主动和赋予个性

的过程。就是要使教学过程、学习过程更加生动活泼。在这个标准里边列举了一些学习的方式，比如说接受学习，

动手实践，探索合作交流，同样都是学习数学的堇耍方式，让老师在实际的教学活动中，应该灵活的根据实际需

要，选择多种学习的方式，既有一定的接受式的学习，同时更应该重视动手操作，自主探索与合作交流。

近些年来老师在实践中，其实已经探索了很多改进学习方式的很好案例，他们在教学中，开发了各种课程

资源，让学生动手操作，设计很好的教学情境，让学生自己探索，让学生合作交流。这样的多种教学方式运用，

合理的运用，在数学教学的改革过程中应该引起重视。重要的就是像标准说的，要给学生足够的时间和空间去展

现他的学习，在足够的时间空间中，去经历观察实验猜测计算推理验证等等各种活动，这样就使数学的学习活动

更加丰富多彩，而不是单调的去听，自己去练，改变这种单调的这种学习方式。

（四）学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。

应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数

学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自、建立信心。激励不只

是表面的表扬一下，在学习过程中，不仅是对学生学习成绩的评价，也包括对学生学习过程的评价，对学生学习

态度的评价，都是一个激励的过程。改进教师的教学，不仅是看学生学的怎么样，还应该通过学生学的怎么样，

来看教师教学的组织和教学的效果，透过学生的学来看教师的教，反应了教学过程的效果和效率。

有效的教学，其实更重要的看学生的学习效果怎么样，所以说，这种评价还要看教师，通过学生的表现，

折射出教学过程是否需要改进，所以说，改进教学这个作用，这个功能是评价中最重要的。这个意义上来说，评

价不仅是对学生，而且是对教师，特别是对教师改进教学起了重要的作用，所以说，应该特别重视这种评价的目

标和功能。

我们强调要建立目标多元、方法多样的评价体系，评价目标的多元，不仅要指向于基础知识和知识技能，

还应该重视学生的学习过程，重视学生的情感态度，重视学生思维能力和数学思考等等方面的评价，评价应该指

向多元的课程目标，所以说评价目标应该是多元的，方法也应该是多样的。

评价的方法不仅是充分的利用纸笔测验，考试当然要保留，但要改进，同时，用多元的评价方法，包括过

程性的评价，包括智力的评价，成长记录带，课程观察，学生的活动过程的记录等等，这些都应该做一种评价的

方法，近些年在评价方法的改革与创新这方面，的重点其实做了很多好的探索，这方面其实有非常多的案例，供

老师去参考。

（五）信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计

I，实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信

息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和

解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。

信息技术的发展，对于数学教育的价值、目标、内容，以及教学方式产生了很大的理解，实际上信息技术

在某种意义上改变了的生活，到底会对教育产生多么大的影响，现在来评价还有点为时过早。希望老师能够充分

的认识到信息技术可能会给教育带来的潜在的好处。

信息技术不仅在教学中，而且在评价中，在学生的交流中，在老师和学生互动的过程中，都可能会发挥作

用。

孩子对于信息技术，特别是网络技术，有特殊的敏感性。在某种意义上来说，他们很快就能掌握，所以建

议尽量采取疏导的方式，让信息技术在教学的发展中，发挥更大的作用。

从信息技术的角度来说，一个是搜集信息的能力，一个是利用信息的能力，在数学教学里面，不仅是演示

一个PPT,最主要的是学生利用现在技术去搜集信息，去利用信息，数学的学习有很多方面是需要学生搜集社

会上的、生活中的一•些信息，这个搜集信息的方式手段有很多，可以简单的去观察一些信息，观察一些数据，这

也是搜集。然后还可以利用现代的互联网去搜集些信息，然后就是利用这些信息解决问题，然后把它变成•种

资源，用到学习过程里，感受不只在书本上学习，在日常生活中也可以学习。利用信息技术的作为工具，在标准

里面，也强调了把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有利工具，就是体现了这样一点。要运用各种手

段去搜集和利用各种信息来学习数学，解决数学问题。

信息技术还帮助学生进行探究活动，它还是能够发挥很大的作用，使用图形计算机，使用「Pad,已经进

入了美国某些学校的高中课堂，去做些探究活动等等的。使用信息技术这么几个阶段，一个就是Cal,计算机

辅助教学，就是做PPT演示，第二个是作为工具。就是作为一种探究工具的使用，这个在数学教育中，也发挥

了一些作用。第三个层次就是作为一个搜集、整理信息的一个工具，这个是大大开拓了学生的视野，包括数学学

习。比如说得到的数学定理，到底有哪些证明，上网一点，马上就会搜集很多，学生就可以进行研究，可以提升

自己的认识。

另外还有一点就是信息技术可以作为一个交流，交流就意味着可以相互评价，可以师生互动，可以把学生

和老师的某些问题的看法放在同一个平台上，进行交流，互相帮助。所以总的来说，信息技术会给提供帮助的领

域，应该还会不断的发展和开拓，所以希望老师能够关注这些。

小学数学数与代数1

专题1:数的认识、数的运算、常见的量的内容分析与建议

在这个模块中我们主要和大家交流数与代数领域中的数的认识、数的运算和常见的量的内容，关于这部分

内容，我们一线教师作了交流，主要集中在以下四个问题。

1.如何建立“数”的概念？

2.如何处理运算教学中的算理与算法的关系？

3.如何落实新课标对估算的要求？

4.如何依托现实情境帮助学生体现和理解常见的量。

问题一：如何建立“数”的概念

一、《课标》中“数的认识”有何变化

数的概念是学生认识和理解数学的开始，理解数的意义伴随着学生学习数学的整个过程，从自然数逐步扩

展到有理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。在小学阶段数的认识包括整数的认识、分数、小数和

百分数的认识、负数的认识、数的整除性相关的内容、数的简单应用等。在教材的安排中，整数的认识中分为10

以内认识、20以内的认识、100以内的认识、万以内的认识、大数的认识等；分数和小数的认识都为两个阶

段、一个是初步的认识，另一个分数和小数的意义。整体来说新课标中对数的认识的要求变化和调整不大，主要

有以下几点，在教学中我们要加以注意。

学

内容《标准》要求的调整和变化

段

第“知道用算盘可以表示多位数”。

“能结合具体情境比较两个一位小数

的大小，能比较两个同分母分数的大小。”

学

数的段

认识

第

不再要求“比较百分数的大小”和

学“探索小数、分数和百分数之间的关系”

段

在数的认识中要关注数的意义、数的表示、数与数的关系、数的应用。其中我们要特别关注数的意义，也

就是数的概念的建立。在教学中如何建立数的概念是教学的重点，面对数的认识这一重要内容，我们又该怎样

帮助学生建立清晰的数概念，理解数的意义呢？

二、在建立数概念中要注意的问题

(-)在整数的认识中要注意的问题

建立正确的数的概念是认数教学的任务，也是学生学习数学的起点。理解数的意义一般有两个角度，

是从数的组成去理解，通过组成理解数的大小和多少，加强对数的感知。二是联系生活实际来体会，通过在具

体的现实情境中，理解数在生活实际中的意义，使抽象的数和具体的量有机的结合，进一步理解数的意义。在实

际教学中我们要把这两种方式有机地结合起来，这样更有利于学生体会数的意义，建立数的概念。在整数数

概念的建立过程中要注意以下几点：

1.依托多种形式建立整数数概念

(1)在具体情境中理解数的意义

学生对数并不陌生，在入学之前，学生已对具体的数有了比较丰富的感知，他们会读、会写，会说一些具

体的数。我们在教学中就要关注从现实情景抽象出数的过程，例如从具体的2匹马，2棵树，2头牛，2个

人，抽象为2这个数。这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体

含义去掉，抽象为数“2”。反过来，2可以表示任何具有2这样数量特征的事物，例如2只铅笔，2个

人、2只小动物……，随着教学的深入，还要引导学生认识到数的丰富含义，比如计数的数、数量的数、度量

的数和计算的数。

(2)用操作帮助学生具体感知

自然数的认识的教学重点在于使学生从数量抽象到数，抽象离不开直观的支撑和操作，例如：计数器、

小棒、图形等等，让学生亲自的数一数，摆一摆，圈一圈、画一画，学生数的过程也是一•对应的过程，同时感

受具体的数量。

(3)多种模型的表征

在数的认识过程中，我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义建立数的概念，比如说：计数器、数

位桶，方格图、数位顺序表等，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且能够知道这个大小

和现实中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。例如，一位老师在教学《万以内的数的认识》时，

就运用方块模型帮助学生建立•万的概念，理解数的意义。

通过方格模型的演示，让学生体会10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一

万……，通过几何图形的点、线、面、体，使学生在头脑中建立“一、十、百、千”的映像，同时建立十个千就

是一个万，在学生的头脑中建立一•个清晰的模型“满十进一”，对于学生理解基数单位和位值制是有很大好处的。

2.把握核心概念，重视数位和位置值的理解

为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。数位的含意是不同位置上的数字表示不同大小的数，

没有数位的规定就没有办法表示更大的数。认识个、十、百、千、万等不同的数位，理解不同数位上的数字表示

不同大小的数，是理解整数概念所必须的。学生必须清楚地了解，同样一个数字“3”，在个位上表示3个

一；在十位上表示30,即3个十；在百位上表示300,即3个百。第一学段完成整数万级的认识，第二学

段认识万以上的数，进而整理十进制计数法。我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千

位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。我国计数单

位是四位一级，在国际上普遍使用的是三位一级，在学习时可以让学生了解。在历史匕曾经出现过以2、3、

4为原始的数基，比较多的是以5、20、60为数基，即五进制、二十进制、六十进制。当然，最多的是以10

为数基，即现在世界各国通用的十进制，即重要的“满十进一”的方法。

在古代文明中，世界各国大多数都是采用十进制，例如中国、古罗马。但十进位记数法，离十进位值制还

有关键的一步“位置值制要走。所谓“位值制”，是指相同的计数符号由于所处的位置不同可以表示大小不同的

数目。有了位值制，就可以用有限的数字表示出无限的自然数，这是记数历史上的一个创造，一个奇迹。因此马

克思在他的《数学手稿》一书中称十进位值制记数法为“最妙的发明之一”。

(1)重视10的概念的建立

一个十和儿个一是十儿，这就是位值制的基础，这样10个数字就可以表示出生活中无限多的物。

教学中建立好概念非常重要。在教学10的认识忖要让学生亲自感受到由9再加1变成10的过程，可以通过

数、撰、捆、拨、说等活动，让学生感受10个一是1个十。在11-20各数的认识中仍然要关注10的概念的

建立，让学生体会满十进一的过程。

(2)重视数计数单位：

为帮助学生了解十进制计数法利位值制。要重视数计数单位逐步建立新的计数单位，10个一是1个十,

10个十是一百，10个百是一千，10个千是一万，10个万是十万，10个十万是一-百万，10个百万是一千万，

从而引出新的计数单位十万，在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分体会每数满10个单位就产生一个

新的计数单位，感受了两个相邻计数单位间的进率是屋

(3)重视数位顺序表的使用

随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善数位顺序表，从认识20以内的数起就让学生了解个位和十

位，认识百以内数时补充认识百位，在认识万以内数的时候第一次出现了数位顺序表，在认识整数的最后一个单

元里学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级，再扩展到亿级。

数位顺序表有助于学生了解十进制计数法，理解数的意义并掌握读、写数的方法。

3.关注对大数的感受

在第一、二学段都提出感受大数意义和对大数进行估计的要求。第一学段是要求在生活情境中感受大数的

意义，第二学段情境的范围有所扩大，要求在现实情境中感受大数的意义。其本质是相同，都是希望通过具体的

情境对大数加以感受，增加学生的数感。感受大数与情境的具体内容有关，1200张纸大约有多厚？你的1200步

大约有多长？1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？这些具体的情境学生可以通过实际操作和观

察感受。有时还要加入想象的成份，1200名学生需要多大场地，许多学校可能没有这么多人，学生就需要了解

自己的学校有多少人，占多大地方，再想象1200人会占多大地方。

这个抽象过程在小学•年级开始认识数时就强调，直到认识较大的数。学生逐渐认识数的抽象表示，逐步

建立数概念。

(-)在建立分数概念中要注意的问题

教师在数的认识的教学中普遍认为分数的认识是数认识教学中的一个难点。分数起源于分，当平均分出

现不是整数结果的时候，逐渐有了分数的概念。后来，在土地测量、产品分配等过程中，常常得到不是整数的

结果，便产生了分数。分数的产生经历了一个漫长的过程，分数的真正来源在于自然数除法的推广。

1.加强对分数丰富意义的理解

教师要了解分数意义的多重多元性，才能引导学生深刻理解分数的意义。对分数意义的理解应关注以下两

个主线和四个层面：

两个主线

即“比的线索”和“数的线索”。“比”指的是一部分与另一部分之间的关系；“数”指的是以有理数形

式出现的分数，此时的分数表现的是一个结果。

分数意义理解的四个层面

“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。其中部分与整体的关系更多地体现在真分数的含义

11

中。例如一个圆平均分成4份，每一份是整体的ao又例如I,长方形中的一部分是整个长方形的3,整体图

11

形的面积应该是多少？显然，整体图形的面积应该是这样的三份。这里的工和3所反映的就是取的份数与整体

份数之间的关系。而部分与部分之间的关系更多地表现为是一种“记号”。例如小红有5个苹果，小丽有3个

5

苹果，小红的苹果是小丽的3倍。对比率维度的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等

相关知识的正确认识。

311

“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的累积。例如*里面有3个工,就是用分数*作为单位度

量3次的结果。著名数学家华罗庚曾经说过：“数起源于数，量起源于量。”对度量维度的研究，可以大大丰

富学生对分数的认识。度量维度的体验也可以直接作用于分数加（减）法的学习中。

2

“运作”主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。例如，求6张纸的3是多少张纸，学生将

22

3理解为整体6张纸的3,即将6张纸这个整体平均分成3份，取其中的2份，列出算式就是6+3X

2

2,也就是6x3。

“商”这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对

象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。

以上这四个维度没有先后之分，主次之别，它们对学生多角度认识分数都发挥着重要的作用。它们相辅相

成，共同承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。

2.利用多种模型帮助学生理解分数的意义

在小学阶段教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念。例如把一个月饼平均分为

11

两份，其中的份是5个，把一张纸平均分为为四份其中的一份是4,这仅仅是从“面积模型”的角度来理解

分数，学生理解分数可以借助于多种“模型”。

（1）分数的面积模型：用面积的“部分一整体”表示分数

儿童最早是通过“部分一整体”来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个“正方

形”或者“圆”取其中的一份或几份（涂上“阴影”）认识分数的，这些直观模型即为分数的“面积模型”。

（2）分数的集合模型：用集合的“子集一全集”来表示分数

这是“部分一整体”的另外一种形式，与分数的面积模型联系密切，但学生在理解上难度更大，关键是“单

位1”不再真正是“1个整体”了，而是把儿个物体看作“1个整体”，作为一个“单位”，所取的“一份”

也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，例如，把4个桃子看作“单位1”平均分成2份，每份2

1

个占整体的2O分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看作“整体1”。

（3）分数的“数线模型”：数线上的点表示分数

J__3_J__6__L13

3336666

把上愿中的分数月幅线上的点交示出来.

3.把握好每一阶段完成的任务

在小学阶段，对于分数意义的学习，教材一般“显性”地分为两个阶段：第一学段分数的初步认识和第二

阶段分数的意义。但实际上，基于对于分数意义内涵丰富性的理解，我们逐步认识到，对于分数意义的学习，决

不是一两次教学所能全部承载和实现的，需要通过系列设计，逐步渗透、多维度建立，将教材中的“显性”和“隐

性”结合起来。我们应该如何把握每一阶段的教学呢？

第一阶段：认识平均分。

第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生初步建立部分与整体关系的认识，感受分数。

第三阶段：在分数意义和分数基本性质的教学中，重点使学生发展对于分数理解的比率、度量的维度。

第四阶段：在分数与除法关系的教学中，重点使学生发展对于分数理解的运作、商的，第五阶段：在分数

的运算及解决问题的教学中，鼓励学生综合运用对于分数意义理解

的多个维度。

必须指出的是，这五个阶段不是相对孤立的，更不是线性排列的，不能僵化地理解为到了某一阶段就必须

或者只能达成对某维度的学习，其他维度将不再涉及。这四个阶段在完成对分数意义丰富认识方面各有侧重，相

互渗透，相互补充，共同帮助学生实现对分数意义理解的不断发展和整体建构。

总之分数的认识是个循序渐进的过程，需要系统的进行教学设计，才能使学生真正理解熟练运用。

（三）在建立小数数概念中要注意的问题

在分数初步认识学习的基础匕教材安排了小数的初步认识。小数的出现标志着十进制记数法从整数（自

然数）扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。山此可见小数和整数、分数有着密切的联系。

1.利用知识迁移建立小数概念

分数的学习对小数的学习特别是小数意义的理解有直接显著的影响，后者的学习对前者也有促进作用，

例如8分米是十分之八米是学生已有的知识，只要通过提问，引起学生的回忆和思考，还可以写成0.8

米，也就是同一对象的两种不同形式，使小数和分数建立起直接的联系，使学生进一步体会到：十分之

几和一位小数，百分之几和两位小数之间的关系。

再如把正方形平均分表示其中的若干份，以及用数轴表示数，这是认识整数、分数时常用的模型，可以

将其拓展到小数。例如：把一个正方形平均分成10份100份，其中的若干份既可以用分数表示，也可

以用小数表示，这样能够帮助学生理解的小数意义，建立小数的模型，培养学生的数感«

2.沟通整数、小数、分数之间的关系

(1)沟通整数和小数的关系。整数与小数的计数方法是一致的，相邻两个计数单位间的进率都是

10,小数的计数方法是整数计数方法的扩展，教学中要设计相应的教学环节将整数的计数方法迁移到小数，

为学生在计数的经验和方法上建立联系，不仅如此，还要利用这些活动帮助学生整理认数系统，把原来认

识的整数数位表扩充到小数。

(2)沟通分数和小数的关系：小数和分数上的沟通，主要是意义上的沟通，使学生理解小数是十进分

数。

(3)沟通分数、整数、小数之间的关系。

关于小数和整数、分数有着密切的联系，在整数学习的基础上，学习了小数，小数的表征形式与整数相似,

数位顺序表得到补充，都是十进制。如果以个位为基础，向右扩展就是十位、百位、千位；如果向左扩展就是

十分之一位(十分位)，百分之一位(百分位)等。换句话说：以个位为对称轴，两边的数位呈现了对称的关

系，只是小数部分在位前增加了“分”；这样“每相邻的两个计数单位之间的进率都是10”得到了全面的概括;

小数是十进分数。从这个意义上说，对小数的理解比对分数的理解更容易一些。

整数可以数，一个一个地，一十一十地数，一百一百地数，小数可以数：0.1、0.2>0.3、0.4、

12345678

0.5,0.6>0.7.......分数可以数：8'8'8'8'8'8'8'8.......

以此类推。这列数是按照一个单位进行数数的，无论是整数、小数、分数它们都是计数单位的累加。

3.把握好小数认识的两个阶段的教学

我们知道关于小数的初步认识可以从学生熟悉的计量单位：元、角、分和米制系统(米、分米、厘米)来

帮助学生学习。并不涉及到小数的计数单位和数位；到了第二学段学习小数的意义时，才抽象出小数的计数单位

和数位，以及完善数位顺序表……两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应当有区别。要根据学生

的实际选择合适的学习方法，帮助学生理解小数的意义。

三、建立数概念教学的具体建议

(-)在数认识中体现数感。数感的建立非常重要，教师要设计多种活动培养学生的数感。

（二）整体把握内容之间的联系：两个学段相关内容的整体把握和递进与衔接。

（三）鼓励学生进行数学交流，关注数的应用。关于数的认识包括从数的意义、数的表示、数和数之间的

关系、数的应用；其中数的应用不仅仅是一条主线，而且渗透在整个学习中。教学中要提供机会鼓励学生运用数

来表示日常生活中的一些事物，并进行交流。

问题二：如何处理运算教学中算理与算法的关系

一、《课标》对“数的运算”有什么新要求

新课程标准中明确指出，在数学课程中，应当注重发展学生的运算能力。运算能力主要是指能够根据法则

和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问

题。同时在《课标解读》中也强调“应当淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算方法，准确地得到运算

结果，比运算的熟练程度更重要0应当重视学生是否理解了运算的道理，是否能准确地得出运算的结果，而不是

单纯地看运算的速度。”这一目标的提出就要求教师在数的运算教学中，不能仅仅关注于学生运算技能的掌握，

更要注重学生理解算例、掌握算法的学习过程，也就是在教学中要注重将算理与算法有机的结合在一起，从而发

展学生的运算能力。

学习数的运算的过程就是发展逻辑思维能力的过程，数的运算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联

系，存在着严密的逻辑性。每个概念、性质、法则、公式的引入与建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思

维过程。学生学习、理解和掌握“数的运算”内容时都要经过从具体到抽象、从感性到理性的过程，学生把这些

应用到实际中去，还要经过由般到特殊的演绎过程。因此，数的运算的学习有利于发展学生的思维能力。这

就需要教师在教学的过程中不仅仅关注结果、关注方法更要关注得到结果、得到方法的思维过程，这个思维过程

就是学生理解算理、掌握算法的过程。小学生仍然以宜观形象思维为主，而算理、算法又十分抽象，因此如何结

合学生的思维特点处理好运算教学中算理与算法的关系，往往就是教学的难点所在。我们可以结合学生的年龄特

点借助生动有趣的童话情境、借助直观模型、借助学生已有的认知基础和生活经验，处理好运算教学中算理与算

法的关系。

二、如何处理运算教学中算理与算法的关系

（-）借助生动有趣的童话情境，处理好运算教学中算理与算法的关系。

小学生，尤其是低年级的学生，他们更多的是以形象思维为主，因此创设生动有趣的童话情境，不仅能够

很好地调动他们的学习积极性，更能够借助童话情境帮助他们理解算例、掌握算法。

北京小学魏来红老师在教学《20以内进位加法》一课中，就是为学生创设了学生喜爱的小动物上车的

童话情境（PPT）。首先魏老师通过让学生在第一站帮助9个小动物上车，来复习十加几的口算，学生的枳

极性一下子就被调动了起来，为他们能够运用学过的知识帮助小动物而感到高兴。接下来再通过第二站帮助5个

小动物上车，复习连加，并通过追问“有什么好方法能让我们算得又对又快？”使学生感受到先凑“十”再算“十

加几”简便快捷，为理解“进位加”的算理做好了孕伏。5个小动物上车后，与在第•站上车的9个小动物合

起来，这时车上一共有多少个小动物？从而引出了9+5=?这一进位加法。如何计算9+5=?学生结合生动、形

象、具体的现实情境，很快就想到把5分成1和4,1和9组成10,10加4等于14。就这样学生在

轻松、愉悦的童话情境中，顺利的理解和掌握了进位加的算理与算法。

通过这节课我们看到，魏老师正是能够很好的结合学生的年龄和心理需求以及他们的思维特点，创设了学

生感兴趣、喜爱的童话情境，使枯燥的数学变得生动有趣，使抽象的算理变得直观形象，使学生在明理中顺利、

自然的掌握了算法。

（-）借助直观模型，处理好运算教学中算理与算法的关系。

在皇城根小学史冬梅老师上的《两位数乘两位数》•课中，史老师结合三年级学生的思维特点，借助直观

模型较好地处理了算理与算法的关系。史老师在这节课上没有将会写“竖式”作为最终的教学目标，而是在学生

已经能够初步掌握竖式计算方法的基础上，引导学生探寻方法背后的道理。并提供给学生直观的点子图作为研究

素材，在研究中，学生们呈现了丰富多彩的成果。虽然学生们的分法不完全相同，但“先分后合”的思路是一致

的，这一点恰恰就是乘法竖式运算的基本思路。在这之后，史老师再次将分点子图与竖式中的四句口诀进行了对

应，引导学生一步步深入地理解竖式计算中每一个细节背后的道理。“分点子图”不仅给学生创造了积累活动经

验的宝贵机会，同时又使学生能够借助直观模型，较好的理解了两位数乘法算法背后的道理。

在我们以往的教学中，不少老师或者不重视引导学生探索计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，就

立即引导学生学习竖式，在学生对竖式运算的每个环节没有真正理解的情况下就开始追求计算方法。这就很可能

造成学生在没有真正理解道理的情况下，只能靠记忆法则来习得方法和技能。这显然对学生的发展是不利的，史

老师这节课恰恰是为学生真正地、扎扎实实地经历理解的过程提供了鲜活而典型的案例。在教学中教师要舍得拿

出时间让学生有机会经历，有机会感受，有机会理解，有机会创造。新的课程标准中也明确提出了学生活动经验

的目标，它背后深远的意义还需要广大教师在自己的实践中开动脑筋，深入挖掘，潜心感悟。

（三）借助学生已有的认知基础和生活经验，处理好运算