控制系统优化设计与仿真演示文稿

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两类优化问题

当被控对象的数学模型以及对控制系统的技术要求给定之后，为了确定控制器的结构和参数，需要进行大量的计算。通常的工作步骤是：设计者根据对实际系统的了解，先假设控制器参数的一组初始值，通过仿真或者直接在实际系统上做试验，求出系统对典型输入的响应特性；然后设计者分析所得结果，并依据理论分析和以往的经验修改控制器参数；接着再进行仿真计算（或试验）；再分析比较，再修改参数……。当记录了若干组不同控制器参数下系统的响应特性后，从中选择出一组参数，此时系统的性能最接近于预定的要求。上一页下一页返回当前3页，总共68页。当被控对象比较简单时以上做法可行。对于具有若干个输入的多回路的复杂系统，即使花费了大量的时间和精力，也不见得能够找到满足工程要求的最佳控制器结构以及相应的参数。为了获得最佳的设计效果，出现了最优化技术。为此，提出两类优化问题。上一页下一页返回当前4页，总共68页。1．函数优化问题函数优化问题也称为动态优化问题。在这类问题中，控制器的结构并不知道，需要设计出满足某种优化条件的控制器。

【例6.1】如图4.1所示。假设某运动物体的初始位置、初始速度、最终位置和最终速度已知，要求该物体在最优控制作用——力f(t)作用下从最初位置到达最终位置所需的时间tf为最小。当然，这个力应该是有界的，设其约束条件为|f(t)|≤1。图6.1上一页下一页返回当前5页，总共68页。上一页下一页返回系统满足的运动方程为初始条件和终止条件为tf是函数f(t)的函数，即泛函。取目标函数为要求在约束条件下，求函数，使泛函tf为最小。这个问题，所求的是一条关于f(t)的变化曲线，属于函数优化问题，可以将它转化为参数优化问题。当前6页，总共68页。令式中，是一些简单的已知函数。比如，可以取为这样，寻找一维最优函数的问题就转化为寻找m个最优参数的参数优化问题。上一页下一页返回当前7页，总共68页。2．参数优化问题参数优化问题也称为静态优化问题。在这类问题中，控制器的结构、形式已经确定，而需要调整或寻找控制器的参数，使得系统性能在某种指标意义下达到最优。【例6.2】对于如图6.2所示的PID控制系统，要求寻找理想的控制器参数，使系统性能指标为最优。图6.2上一页下一页返回当前8页，总共68页。

在该例中，被控对象数学模型G(s)已知，PID控制器的类型和形式已确定，为式中，Kp,Ti,

Td,为控制器参数。在某个给定信号r(t)作用下，测量系统输入量r(t)与输出量之间y(t)的偏差e(t)

。显然，e(t)是Kp,Ti,

Td的函数。选择作为指标函数。式中，tf为系统调节时间。上一页下一页返回当前9页，总共68页。

问题提法是：如何选择合适的参数值，，，使得目标函数Q为最小，即有本章讨论参数优化问题。上一页下一页返回当前10页，总共68页。

问题的提法及专用名词1.控制系统参数优化问题的一般提法当被控对象已知，控制器的结构形式也已确定，需要调整或寻找控制器的某些参数，使系统性能在某种指标意义下达到最优。如果目标函数用Q(α)表示，需要优化的一组参数用向量α表示，则对于数学模型为

（6.1）的控制系统（式中，t为时间，x为n维状态向量，F为n维系统运动方程的结构向量，为m维寻优参数构成的向量），要求在满足上一页下一页返回当前11页，总共68页。不等式约束hi(α)≤0,i=1,2,…,q

（6.2）等式约束gj(α)=0,j=1,2,…,p

（6.3）等式终端约束Sk(α,tf)=0,k=1,2,…,l

（6.4）（式中，tf为终止时间）的情况下，寻找一组参数α=α*，使目标函数满足

（6.5）称α*为极小值点，对应的目标函数值Q(α*)为极小值。

上一页下一页返回当前12页，总共68页。2.优化设计专用名词（1）寻优参数

α为m维寻优参数向量，也称之为设计变量（或设计参数）。（2）约束条件在优化过程中，寻优参数的某些组合情况，可能会产生一些明显不合理的设计，超出了某些允许范围。在数学上可以化为约束条件。例如，在PID控制器的设计中，三个参数应满足约束条件

Kp>0,Ti≥0,

Td≥0

在许多工程问题中，约束条件往往不能写成寻优参数的显函数形式，只要是“可计算”的函数就可以了。例如，在PID控制系统中，超调量δ%是控制器参数Kp,Ti,

Td的函数，但是不一定能具体写出来。

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（3）目标函数在控制器的所有可行设计中，有些设计方案比另一些“要好些”。好的设计比差的设计肯定具有更好的某种（或某些）性质。如果这种性质可以表示为寻优参数的一个可计算的函数，那么只需要寻求这个函数的极值，就可以得到“最优”的设计。这个用来使设计得以优化的函数就称为目标函数，为了强调它对寻优参数的依赖性，将其写成Q(α)

。同样，在工程问题中，Q(α)不一定能写成显函数形式，只要求是“可计算”的函数。

在前面的问题描述中，假定了使目标函数为极小的设计为最优设计，而在工程问题中有时要求使目标函数为极大的设计方案，此时只需要将目标函数变成-Q(α)即可。因为当-Q(α)达到极小时，Q(α)就达到了极大。

上一页下一页返回当前14页，总共68页。（4）约束优化问题的无约束处理在工程问题中，寻优参数的取值范围总是要受到限制的，即要在一定的约束条件下来求目标函数的最优解。若约束对于寻优参数的限制是很宽的，以至于可以确信在α*附近约束都能满足的话，则把它看成是无约束优化问题来处理。若在α*附近约束条件可能被破坏，就需要将约束优化问题转换成无约束优化问题来处理。例如,取

（6.6）式中，Q0(α)——不考虑约束条件时的目标函数；gi(α)=0,i=1,2,…,p是p个等式约束条件；Ci——正数权因子，表示第i个约束条件的重要性；Cigi2(α)——第i个约束条件不满足时的罚函数。

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寻优途径及优化方法的评价解决参数优化问题的途径分为间接寻优和直接寻优。1．间接寻优法间接寻优法是按照普通极值存在的充分必要条件来进行寻优的方法。目标函数Q(α)在α=α*处为极小的充分必要条件为

（6.7）和

（6.8）为正定阵。

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由于在控制系统的参数优化问题中，目标函数Q(α)一般很难写成解析形式，并且Q(α)的求导也不易实现，所以间接寻优法一般很少采用。

2．直接寻优法直接寻优法是按照一定的寻优规律改变α，并且直接计算目标函数Q(α)的值，然后判断Q(α)是否达到极小。若是，则停止搜索；否则再改变α，并计算Q(α)，如此反复迭代直到满足要求为止。搜索过程如下:1º

预置寻优参数α的初始值α0，对系统的运动方程进行仿真，得到目标函数Q(α0)；

上一页下一页返回当前17页，总共68页。2º

按照某种寻优规律或方法改变α，使α(1)=

α(0)+

h(0)P(0)式中，h(0)是一个实数，称为寻优步距；P(0)是一个m维向量，称为在α(0)处的寻优方向。一般地，对于第i步，其一般形式为

α(i+1)=α(i)+

h(i)P(i)

（6.9）确定α(i+1)后，对进行仿真并计算Q(α(i+1))。

3º

判断是否已搜索到极小值点，是则停止迭代的搜索过程；并有α*=α(i)，否则，置α(i):=α(i+1)，重复2º，继续迭代计算。上一页下一页返回当前18页，总共68页。3．优化方法的评价在直接寻优法中，不同的确定h(i)和P(i)的方法，对应了不同的优化方法。评价一种优化方法的优劣，主要考虑下列因素。（1）收敛性寻优过程就是逐步搜索满足Q(α*)=minQ(α)的α值的迭代过程。迭代过程的收敛性好坏，表示某种优化方法适用范围的大小。（2）收敛速度为了求出同样精度的极小值点，不同的优化方法所需要的迭代次数不同。上一页下一页返回当前19页，总共68页。(3）每步迭代所需的计算量在控制系统的参数优化设计过程中，往往需要对α进行许多次迭代计算才能搜索到极小值点α*，而每次迭代都需要重新计算h(i)和P(i)，还需要对系统的运动方程进行仿真并计算目标函数。每步迭代所需的计算量也是决定寻优速度的另一重要因素。上一页下一页返回当前20页，总共68页。

控制系统优化设计中目标函数的构成

控制系统参数优化设计中的目标函数一般可分为两大类：加权性能指标型目标函数和误差积分型目标函数。

1．加权性能指标型目标函数这一类目标函数是根据经典控制理论设计系统的性能指标建立起来的，如系统在阶跃信号作用下的上升时间、调整时间、超调量以及振荡次数等。对这些性能指标的要求往往存在矛盾性，此时可以采用加权的方法建立目标函数。例如，

（6.11）上一页下一页返回当前21页，总共68页。式中，、为加权系数，满足表示超调量在目标函数中的成份，其具体取值为

（6.12）、和分别为系统上升时间、调整时间和超调量的期望值。2．误差积分型目标函数对于一般随动系统，误差e(t)定义为输入信号r(t)和系统输出c(t)之差，即

e(t)=r(t)-c(t)

（6.13）上一页下一页返回当前22页，总共68页。常用的目标函数有如下几种：误差绝对值的积分（IAE）（6.14）误差平方的积分（ISE）

（6.15）时间乘以误差绝对值积分（ITAE）

（6.16）时间乘以误差平方的积分（ITSE）（6.17）时间平方乘以误差绝对值的积分（ISTAE）（6.18）时间平方乘以误差平方的积分（ISTSE）（6.19）上一页下一页返回当前23页，总共68页。

上面所有的积分，只有在t→∞时，e(t)→0的情况下才是收敛的。在实际计算时，t不可能取无穷大，而是根据系统的过渡过程时间，即一个足够反映系统响应的有限值来确定。

上一页下一页返回当前24页，总共68页。6.1.5数字仿真在优化设计中的作用上一页下一页返回

一般控制系统参数优化设计中的目标函数Q(α)，很难用寻优参数α的解析形式表示，只是隐含着这些参数，所以目标函数一般只能在对系统瞬态响应进行仿真的过程中计算出来。控制系统参数优化设计一般采用直接寻优法。直接寻优法在寻优过程中需要进行两部分计算，确定寻优步距h(i)及寻优方向P(i)和对系统的瞬态响应进行仿真并计算Q(α)。当前25页，总共68页。

整个优化设计过程就是以参数向量α作为试验点（或试验条件）进行的一系列数字仿真，获得使目标函数Q(α)为极小的最优试验点。这种试验优化方法是沿着一定的优化路径逐渐在整个规定的参数空间中寻找最优试验点。后面的试验点是在前面试验点的基础上求得的，并且是单向运算过程（即α(i+1)一旦求出后，在后续迭代计算中就不需要α(i)了）。所以，这是一种单向优化过程，后一段优化是在前一段优化基础上进行的，通常又将其称为序贯优化。

通过数字仿真进行寻优的过程如图6.3所示。上一页下一页返回当前26页，总共68页。

为了提高仿真寻优速度，应该从三个方面加以考虑。选择收敛性好的优化算法，以减少在整个寻优过程中计算目标函数的次数，从而减少仿真试验的次数；选用快速仿真算法，以加快仿真计算速度；选择合适的参数初始值（这一点通常是依据工程经验来确定的）。

图6.3上一页下一页返回当前27页，总共68页。6.2

单纯形法

单纯形法原理

单纯形的构成

改进单纯形法上一页下一页返回当前28页，总共68页。6.2.1单纯形法原理

单纯形法的基本思路预先计算出在若干个点处的目标函数值，然后根据它们之间的大小关系，可以看出Q(α)变化的大致趋势，为寻求Q(α)的下降方向提供参考信息。单纯形法的寻优过程(二维情况，见图6.4)

寻优参数为α1和α2，图中的实线为Q(α)=C（C为常数）的等高线族。先取1、2、3点并计算这3点处的目标函数值，对它们的大小进行比较，C1最大，故将1点抛弃，在1点的对面取一点4，构成一个新的三角形。计算4点处的目标函数值，再比较三点处的函数值的大小，C2最大，上一页下一页返回当前29页，总共68页。将2点抛弃，在2点的对面取一点5，3、4、5点又构成一个新的三角形。如此不断重复上述过程，直至最后找到极小值点。图6.4上一页下一页返回当前30页，总共68页。

单纯形的构成

在一切几何图形（或超几何图形）中以单纯形（参数空间内简单的规则形体）的顶点为最少，所以寻优所用的几何图形以单纯形为最合适，在m维空间中，其顶点个数为m+1。求出正规单纯形各顶点的坐标的方法

若已选定α(0)和任意两点之间的距离a（即正规单纯形的边长），于是（m+1）个点的坐标为上一页下一页返回当前31页，总共68页。

显然，α(0)-α(1)，α(0)-α(2)，…，α(0)-α(m)为m个线性无关的向量。（6.20）（6.21）

（6.22）有上一页下一页返回当前32页，总共68页。6.2.3改进单纯形法改进单纯形法的基本思想是：给定初始点α(0)和步长a，产生初始单纯形S0，通过反射、扩张、收缩和紧缩等一系列动作将单纯形翻滚、变形，从而产生一系列的单纯形S1，S2，S3，…,逐渐向极小值点靠拢。当满足精度指标时，迭代停止，取当前单纯形的“最好点”作为极小点的近似。上一页下一页返回当前33页，总共68页。

改进单纯形法的迭代规则:

假设当前单纯形为Sk,对组成单纯形的(m+1)个顶点，记αL为“最好点”,αH为“最坏点”,αG为“次坏点”,即首先，计算当前单纯形的(m+1)个顶点中去掉最坏点αH后的形心

(6.26)

判别是否满足终止条件，即计算

(6.27)上一页下一页返回当前34页，总共68页。如果error<ε(ε为给定的精度指标),则停止迭代,取当前单纯形的“最好点”αL作为所极小值点α*的近似。否则,计算“最坏点”αH关于形心

的反射点αR

（6.28）对二维单纯形，如图4.5所示。

图4.5根据反射点的目标函数值的大小,共有四种可能：1º

Q(αR)<Q(αL),即αR比“最好点”αL还要好。2º

Q(αL)≤Q(αR)<Q(αG),即αR虽不优于“最好点”αL,但优于“次坏点”αG。上一页下一页返回当前35页，总共68页。3º

Q(αG)≤Q(αR)<Q(αH),即αR虽不优于“次坏点”αG,但优于“最坏点”αH。

4º

Q(αR)≥Q(αH),即αR比“最坏点”αH还要坏。

下面对各种情况给出处理措施。情况1º

计算扩张（6.29）

式中，γ>1为扩张因子。如图6.6所示。

图6.6上一页下一页返回当前36页，总共68页。

如果Q(αE)<Q(αL)，则扩张成功，以αE作为新顶点，取代“最坏点”αH，构成新单纯形Sk+1,，如图6.7所示。图6.7

反之，扩张失败，以αR作为新顶点，取代“最坏点”α，构成新单纯形Sk+1，如图6.8所示。

图6.8上一页下一页返回当前37页，总共68页。

情况2º

以αR取代“最坏点”αH，构成新单纯形Sk+1，如图6.8所示。情况3º

计算收缩点 （6.30）式中，0<β<1为收缩因子。如图6.9所示。图6.9上一页下一页返回当前38页，总共68页。

如果Q(αC)<Q(αH)，以αC作为新顶点，取代“最坏点”αH，构成新单纯形Sk+1，如图6.10所示。否则，将当前单纯形的各个顶点向“最好点”αL紧缩，即

(6.31)如图6.11所示。图6.10图6.11上一页下一页返回当前39页，总共68页。

情况4º

计算收缩点αC

（6.32）式中，0<β<1为收缩因子。再按情况3º同样处理。产生新单纯形Sk+1后，继续下一轮迭代。改进单纯形法的程序框图如图6.12所示。图6.12上一页下一页返回当前40页，总共68页。6.3

控制系统参数优化设计的实例

电机电压控制系统的数学模型

两种寻优参照对象

寻优程序与Simulink模型之间的信息传递

仿真运行与结果分析上一页下一页返回当前41页，总共68页。

电机电压控制系统的数学模型电机电压控制系统如图6.13所示。

图6.13

其中，K为系统开环增益；0.185，0.033，0.021为系统元件时间常数。在阶跃输入信号作用下要求的性能指标为开环增益K≥20；超调量δ%≤20%；上升时间tr≤0.16s。上一页下一页返回当前42页，总共68页。

当K=18时，系统已接近等幅振荡。要满足以上系统的性能指标要求，必须加入校正环节。采用串联校正环节

接入校正环节后，系统结构如图6.14所示。图6.14上一页下一页返回当前43页，总共68页。

两种寻优参照对象1．误差积分型目标函数选用的是误差平方积分型目标函数(ISE)式中系统的Simulink模型如图6.15所示。图6.15上一页下一页返回当前44页，总共68页。2．参考模型法目标函数建立一个理想的参考模型，它在给定的输入信号作用下能够产生期望的输出响应，即它能满足所研究系统的所有性能指标要求。以该模型作为参考，将系统的输入信号同时加到实际系统和参考模型上，如图6.16所示。图6.16然后，将参考模型的输出与实际系统的输出进行分析、比较，并根据它们之间的偏差对系统的参数进行调整，使得在某种意义下偏差尽可能小，即

上一页下一页返回当前45页，总共68页。式中选择如图6.17所示的典型二阶系统作为参考模型。图6.17

取阻尼系数ζ=0.7。由

（6.33）

有（6.34）上一页下一页返回当前46页，总共68页。

根据系统性能指标要求，近似地取tr=0.15s，有取ωn=20，则图6.17中参考模型的开环传递函数近似地取为 （6.35）

图6.16的Simulink模型如图6.18所示。

图6.18上一页下一页返回当前47页，总共68页。6.3.3寻优程序与Simulink模型之间的信息传递1．M文件中调用Simulink模型将数据传送至控制系统模型中的某一个模块可以使用set_param函数,其调用格式为

set_param(‘模型名称/模块名称’,‘参数’,‘参数值’)

其中，模型名称为Simulink构模的.mdl文件，模块名称为.mdl文件中所需传送参数的模块，在载入参数值时，应使用num2str函数将其转换成字符串才行。上一页下一页返回当前48页，总共68页。

当参数传递完毕后，就可以对Simulink模型进行仿真，仿真的命令可以用以下语句来实现

sim(‘模型名称’,仿真时间,仿真参数,外部输入)

上一页下一页返回当前49页，总共68页。2．Simulink模型的数据传到工作空间以便M文件访问仿真结束后，为了能将模型中的数据传送至工作空间去以便M文件访问，必须要用到输出模块ToWorkspace，如图6.19所示。ToWorkspace模块能够接受向量输入，在返回工作空间的变量中，每一个输入元素的轨迹都保存在一个列向量中。该模块的设置如图6.20所示。

图6.20图6.19上一页下一页返回当前50页，总共68页。3．模块的重新封装例如，有一个校正模块（corrector）需要重新封装，其中a，b为寻优参数，该模块的参数设置如图6.21所示。重新封装模块的步骤如下：

图6.21上一页下一页返回当前51页，总共68页。

重新封装模块的步骤如下：在对应的Simulink模型窗中，选定该模块，在Edit菜单栏中选择Createsubsystem进行模块化，并将生成的模块取名为corrector，然后再选择Masksubsystem，在Parameters选项卡中添加参数的名称，如图6.22所示。图6.22上一页下一页返回当前52页，总共68页。其中，Prompt为标签名，可以根据实际情况进行设置；Variable为参数名，必须设置成待调优的参数名称a，b。重新封装后的模块及参数设置对话框如图6.23所示，这样参数值就能传送至参数a和b中。

图6.23上一页下一页返回当前53页，总共68页。4．控制系统参数寻优软件简介

本软件是一个自编的服务于控制系统仿真和CAD教学软件，通过对MATLAB/Simulink函数的调用，实现对控制系统的仿真和优化设计。软件由图形界面程序（main.m）、单纯形法优化程序（simplex.m）、系统仿真程序（simulate.m）及用户自编的控制系统仿真模型（*.mdl）组成。使用前需要将这些程序文件放入同一文件夹中。软件程序可以从华信教育资源网（或）上下载。各程序的功能如表6.1所示。上一页下一页返回当前54页，总共68页。

名称

功能

相关文件或函数

备注图形用户界面程序建立用户界面，获取有关数据，调用优化程序。main.m(main.fig)由main.m调用main.fig单纯形法优化程序对控制器参数进行寻优。simplex.m

程序为M文件

系统仿真程序将有关数据送入仿真模型，计算目标函数值。simulate.m

程序为M函数Simulink模型建立控制系统仿真模型。*.mdl用户根据实际系统自行设定表6.1软件模块的组成上一页下一页返回当前55页，总共68页。

启动MATLAB6.5，在CurrentDirectory中选择上述的文件夹为当前目录，并运行程序（main.m），进入如图6.24所示的图形用户界面。

图6.24上一页下一页返回当前56页，总共68页。

通过系统模型参数中的选择文件栏，或通过菜单栏文件选项中的打开系统模型来选择用户编写的系统模型文件，如图6.25所示。此时，软件会自动打开用户选择的系统模型，方便用户的修改。系统模型设置要求的输出包括：时间输出t，系统输出y，目标函数值输出Q。输出需要使用ToWorkspace模块，并按照图6.19和图6.20设置参数。图6.25上一页下一页返回当前57页，总共68页。本软件提供了四种类型的误差积分型目标函数（IAE、ISE、ITAE和ITSE）。如果用户希望抑制响应曲线的超调量δ%，可在图6.24中选择抑制超调，并设置抑制的常数k，目标函数修改为 （6.36）式中，Qerror为上述误差积分型目标函数中的任意一种。显然，常数k值越小，超调量δ%抑制得越明显。系统模型参数与优化参数的初始值设置完成后，用户可以点击“开始仿真”按钮进行仿真，仿真曲线及每一步优化得出的结果会显示在如图6.24所示的用户界面的左侧。

上一页下一页返回当前58页，总共68页。

仿真运行与结果分析

以图4.15所示Simulink模型为例详细介绍仿真寻优的实现过程。

1.仿真结构图建立如图6.26所示的控制器封装后的Simulink模型，并将该模型以文件ccontroller.mdl存盘。图6.26(ccontroller.mdl)注：实际中采用的是包含多种形式的目标函数封装模块(下同)上一页下一页返回当前59页，总共68页。其中，寻优参数的设置和corrector模块内部的结构分别如图6.27和图6.28所示。

图6.27图6.28上一页下一页返回当前60页，总共68页。2．仿真运行在MATLAB命令窗口中运行指令>>main

后，显示如图6.24所示的空白界面。点击选择文件栏，选择系统模型名称：ccontroller。在系统模型参数栏中填入对应的参数，控制器名称：corrector；待调参数个数：2；待调参数名称：T1，T2；待调参数初始值：55；仿真时间：1.5；目标函数：ISE。选择精度指标：0.0000001。点击“开始仿真”按钮，经过一段时间的运行后得到如图4.29所示的仿真寻优结果。

上一页下一页返回当前61页，总共68页。图6.29上一页下一页返回当前62页，总共68页。3．运行结果分析一般而言，如果将任意选定的参数初始值的控制器直接