《勾股定理》同步检测与评价

《勾股定》例题精讲同步练习【础识讲勾股定理是指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方建立了直角三角形三边的等量关系，是求线段长度的又一重要工具，同时，在一般三角形中求线段长时，可考虑通过高转化为直角三角形利勾股定理来计算相关线段.用勾股定理解决问题时常用到分解因式、列方程计算等代数解.【点点析本节重难点在于熟练掌握定理内容并运用定理解决有关线段的计算问.例1直三角形两直角边长为5，12求斜边上的.分析利用勾股定理先求斜边，用面积公式求斜边的.解设角边a=5,b=12,斜边为c，斜边高为h,∵+b=c.∴

5

2

2

=13.又

1ab60ab=ch∴h=2c1313

.例2直三角形三边长为连续数，求三边的.分析三边长为连续偶数可别设为a,a+2,a+4显a+4为斜边再利用勾股定理列方程.注意a为数若出的结论中可以奇数值，则舍.解设边长为a,a+2,a+4(a为数且a0),斜边最长为a+4.由勾股定理a+(a+2)=(a+4)a-4a-12=0.(a-6)(a+2)=0∵＞∴a+20,a-6=0a=6.三边为6,8,10.例3等三角形顶角为120°求底与腰的.图图3.16-1分析合理的作高，将斜三角形问题转化到直角三角形中，再利用勾股定理来解决问题是一种常用的方法，也是本题的基本思.解△中，AB=AC∠°求

BC

.∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°，作AD⊥于，∴BD=DC.Rt△ABD中，B=30°∠ADB=90°∴

12

AB.1BD=AB-AD=AB-AB=AB4∴BD=

32

BCAB,BC=3AB,∴.例4已CD为eq\o\ac(△,Rt)ABC斜边的(图3.16-2)，求证1)CD=AD·DB(2)AC=AD·AB(3)BC=BD·AB1

图3.16-2分析本题中有三个直角三角形eq\o\ac(△,Rt)ACD,RtBCDRt△ABC,理利用这些直角三角形，用勾股定理建立边的关系，再利用代数变形得结论是本题的基本思.证(1)∵CD为eq\o\ac(△,Rt)ABC斜上.∴△ACD，△均直角三角形∴+CD=AC①+CD=BC②①②AD+BD+2CD=AC+BC=AB=(AD+DB)=AD+BD+2ADBD.∴2CD=2AD·BD∴=AD·BD.(2)∵AC=AD+CD由1)CD=AD·DB.∴=AD+AD·DB=AD(AD+DB)=ADAB.(3)BC=BD+CD由1)CD=AD·∴=BD+AD·BD=(BD+AD)·BD=AB·BD.注本的三个结论又称“射影定理”【题解拨例1eq\o\ac(△,Rt)的条直角边长BC=5两边为自然数为平分线AD的3.16-3)图3.16-3分析本例首先要求eq\o\ac(△,出)ABC的边，考虑到ABAC为然数，求三边即求方程AC+25=AB的正整数解，直接求不好着手，可将上式变形(AB+AC)(AB-AC)=25，用两自然数的和、差同奇偶来求出AB，，出三边后，再求AD，考虑AD角平分线到角两边距离相等，作DE⊥于E则DC=DE，利用eq\o\ac(△,Rt)，eq\o\ac(△,Rt)ACD，eq\o\ac(△,Rt)AED，eq\o\ac(△,Rt)BED中的三边关系，利用勾股定理合理列方程来求出AD的长解设AC=bAB=c.则b,c为然数且-b=5(c+b)(c-b)=25.∵25=25×1=5×∵＞∴且c+b,c-b为正整数25∴c

13b

.过D作⊥AB于E.∵为角分线∴DE=DC.在eq\o\ac(△,Rt)ADE和eq\o\ac(△,Rt)中，DE=DCDA=DA∴AC=AE=12.AB=13∴BE=1.设BD=y.∴xy

y)y

1y5y

12x5∴13y2

2222AD=AC+CD=(

121212)+12=()×∴AD=555

.本题综合性强，先利用AC，自然数，利用勾股定理求出另两边，再利用角平分线性质作出DE⊥AB于E.制Rt△进到方程求出AD的.例2△ABC中BC=a,CA=bAB=c∠°(3.16-4)，求证a=b+c+bc.图3.16-4分析将斜三角形问题通过作高妙地转化为直角三角形用勾股定理解决有关边的计算问题是常用办法之.证作CD⊥交BA延线于D∠BAC=120°∴CAD=60°∠D=90°∴AD=

1AC=b.CD=2

3(b=b.eq\o\ac(△,Rt)CDB中a=(

3b)+(b+c)=b+b+bc+c=b+c+bc.24【本题答P116复题三B组3如图3.16-5，折叠长方形的一边AD使在BC上的点，已知AB=8BC=10求EC.图3.16-5解∵落F处∴ADE≌AEF.DE=EF.AF=AD=BC=10AB=8∴BF=6FC=4.设EC=x则FE=DE=8-x在eq\o\ac(△,Rt)CEF中，∠C=Rt∠+FC=EFx+16=(8-x)x=3∴EC=3.【题势析本节定理常结合三角形及直角三角形相关知识加以运算.将股定理作为求线段长度的重要方法一，利用特殊直角三角形(30,60,90°的直角三角形等腰直角三角形的三边特殊的比例关系，通过作高来解决含特殊(30,4560,75等)的斜三角形问题是试中经常出现的题【型点题例1已Rt△ABC中∠∠.证：(1)∠A=30°则BC∶∶AB=1∶3∶2;3

(2)若∠°则BC∶∶∶∶2.解(1)∵∠C=Rt∠∠A=30°∴BC=

12

ABBC+CA=AB∴CA=

AB2BC

2

=

4BC

2

=BC∴∶∶AB=1∶

3

∶2.(2)∠C=Rt∠∠°∴B=45°CA=CB.AB=CA+CB=2BC∴

2

CB∴∶∶∶∶

2[点评上两特殊三角形中的三边的特殊比在以后解决线段长问题中经常运用请大家记住这两组比例2如3.16-6，△中∠C=90°在，且DBC=30°,求

.图3.16-6分析可某个量为单位1，如设AC=BC=1，利用直角三角形勾股定理及特殊直角三角(30°°90°°,45°,90°的三边特殊比，求出所需线段长，最后得出结论，是一种用的方法解设AC=BC=1,∠C=90°∴AB=

.∵∠DBC=30°∴BC=DC=AC,AD=AC-DC=AC-3

33AC=33∴

ADDB

.例3如3.16-7AC、BD交于，且相互垂直平分，若ACAB=48∶求BD∶DC.图3.16-74

解∵AC∶AB=48∶25,设AC=48k,AB=25k(k0).∵AC,BD相互直平分于O∴OA=OC=24kOB=OD=

12

BD.CD=OC+OD=OA+OBCD=25keq\o\ac(△,Rt)中OC=24k,DC=25k∴

(25k)

k)

=7k∴BD=14k∴∶∶25k=1425点评遇到线段比时，常利用设个参数k将线段进行量比，以方便有关线段的计.【步纲习一判(分6=24分)()1.直角三角形直角边长为68，则斜边上的高为()2.直角三角形两边为1，另一边为3.()3.两直角边的比为∶的角三角形三内角比为12∶3.()4.等腰直角三角形斜边中与直角边的比为∶1.()5.面积为12，边为6的腰三角形腰长为5.()6.高为h的边三角形面为

23

3

h

.二选(分6=30分)1.周为24，斜边长为10的角三角形面积(A.12B.16C.20D.24eq\o\ac(△,2.)中C=90°∠A=30°为AB中⊥AB交AC于若则BC长()A.7B.14C.7

3

D.14

33.直三角形锐角平分线分对边15和25部分，则斜边长()A.50B.60C.70D.804.三形内角比为1∶∶三边长度比(A.1∶∶B.1∶

3

∶C.1∶

2

∶

3

D.1∶

2

∶5.直三角形斜边上的高分斜边∶2两部分，则三条高的比()A.1∶2∶B.2∶3∶6C.1∶∶3D.∶∶6.顶为150°的等腰三角形，上的高与腰的比(A.1∶B.1∶

3

C.

3

∶D.1∶三填(分6=30分)1.已线段a,求作线段13a时可别以2a和5

为直角边作直角三角形边即为所

求2.等直角三角形直角边长为1则斜边长为3.等三角形边长为2，面积为.4.CD为eq\o\ac(△,Rt)ABC斜上的高AB=13AC=12则CD=.5.周为30，面积也为30的角三角形斜边中线长为.6.两角边之和为14，斜边长12的角三角形斜边上的高是.四、解答题8分2=16分1.计算:eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠∠⊥于，AB中，MD=CD，求∠eq\o\ac(△,2.)中D为BC上一，且AB=AD，求证AC-AB=BCDC.【质化练1.若a,b,c,为eq\o\ac(△,Rt)三的c为斜长，斜边上的高为h.求c+h＞a+b.eq\o\ac(△,2.)中AB=18BC=17，AC=18P为形内一点PD⊥BC于D.PE⊥于E.PF⊥于F，且BD+CE+AE=27，BD+BF的值【活际用(如图3.16-8)某A与直线公距离为3000米与公路上某车站D的距为5000米要在公路边建一个小商店C，之与学校A及车的距相等，那么，该店与车站D的距离是少米？图3.16-8【识究习利用勾股定理求线段长若直三角形的边长可由勾股定理列出含待求线段的等式即含待求线段的方程，设法解这个方.参答：【步纲习一、××√×√×二、DCABBA三、1.3a2.

3.

4.

6013135.6.13四、1.∵⊥CD=MD∴∠CMB=45°又CM=MB∴∠B=67.5°2.作⊥于，∵AB=AD∴∴-AB=(EC+AE)-(EB+AE)=(EC+EB)(EC-ED)=BCDC6

【质化