第一章线性空间与线性变换

h第一章线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F．加法运算：对于V中任意两个元素a,，总有V中一个确定的元素y与之对1)a+=+a；则称V为数域F上的一个线性空间，也称向量空间．V中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法．在不致产生混淆时，将数上的线性空间简称为线性空间．hnFn对于多项式f(x),g(x)F[x]，设nf(x)=axn1+axn2++ax+a，n1n210xbn1n210iif(x)+g(x)=(a+b)xn1+(a+b)xn2++(a+b)x+(a+b)F[x]，n1n1n2n21100nn1n210nn4数域F上的n维列(或行)数组向量的全体所构成集合记为Fn，它对运算构成数域F上的线性空间．a,b]上的实函数全体的集合V，对于函数加法、数乘运算构y3y+2y=01212hD1h定理1设V是数域F上的线性空间，则12r12r12kk+k，1122rrr12r12r12s,,,中每个向量都可由向量组,,,线性表示，则称向量组12r12s12r12s12r12s12r12s(2)对称性如果向量组,,,与,,,等价，那么向量组12r12s12s12r12r12s12s12t12r12th12r12r kkhrr12r12r．12r12r12rkkk0，1122rr12rrk1k2kr1，rk1k2kr1rrrr12r112rlll，rll1122l(1)0，r1r1rrrr1121EEEEEEEhkE+kE+kE+kE=0，212321422h即(kk) (k3k4)2 (k3k4)12341112123214221234定理3设V为数域F上的线性空间，如果V中向量组a,a,,a线性无12r12s证采用反证法．假设r>s，因为向量组a,a,,a可由向量组b,12r1b,,b线性表示，即2sijijj=1rrijijjiijijj=1i=1ss22srrss22srr12r12r12r1122rr因此，向量组a,a,,a线性相关，这与a,a,,a线性无关矛盾，于是12r12r．定理4设线性空间V中向量组a,a,,a线性无关，而向量组a,a,12r12abbaaa一的．r12r证向量组a,a,,a,b线性相关，故存在不全为零的数k,k,,12r12hrr+1kkhrrr+1并且k丰0；否则向量组a,a,,a线性相关，这与条件矛盾．从而r+112r12kkk1k2kk,a线性表示．rkr 假设b可由a,a,,a线性表示为12r1122rr1122rr则111222rrr12rii一的表示为a,a,,a的线性组合．12r定义5设a,a,,a是线性空间V中一组向量，如果a,a,,a中存12s12saaa12riiij12r任一向量都可由向量组a,a,任一向量都可由向量组a,a,ii线性表示，则称向量组a,a,ii,airr1irr1212量组a,a,,a的一个极大线性无关组，数r称为向量组a,a,,a的秩，12s12s记为rank{a,a,,a}=r．12s 12n12n12n12n使得nnh12nhc12n 12n12n一个线性无关的向量组．为证a,a,,a是基，只须证明V中任一向量a可12n由a,a,,a线性表示．此时，向量组a,a,,a中每个向量都可由基12n12n12na,a,,a，a线性相关．再由定理4，便知a可由a,a,,a线性表示，12n12n3123112233EEERR3．3(100)(010)(001)E=||,E=||,E=||,11(000)12(000)13(000)(000)(000)(000)E=||,E=||,E=||，21(100)22(010)23(001)hh(aaa)2)对于F2根3中任一元素A=|111213|，有 (aaa)2122232121313212122222323ij解V中一般元素可表示为(|ab)|，a,b,c=R，a,b,c所在位置各体现一 (bc)考虑V中向量组(10)(01)(00)A=||,A=||,A=||，1(00)2(10)3(01)123(a2)对V中任一矩阵，A=| (bb)b)c)12c)123于V中任一向量a，有数域F中惟一的一组数a,a,...,a，使22...nn22...nnn12n矩阵乘法的形式，记122hanhn (a)nnn-1n-210xna,a,...,a)T．01n-1例13设V是二阶实对称矩阵全体的集合，对于矩阵加法与矩阵数乘运1121231232引理1在n维线性空间中，对于任一组基，向量a为零向量的充分必要a12n12n1122nn1122nn111222nnnh1122nnh12s12s12sFkkk12s3有数域F中不全为零的数k,k,...,k使12s1122ss12snlln1n12n2nnn|11|11AA|a21)|) (ani12n且是可逆的，把(1)式形式地表达为n12nn(2)式两端同时右乘A-1，便得n2nhnn12n(x)1x||(x)1x|||||||| (x)n (x)h究同一向量在两组基下的坐标间的关系．12n12n分别为(x,)1222，，n12n12nh例141=||2=||3=|-|例141=||2=||3=|-|5)5)2)ha,a,a下的坐标(x,x,x)T．123123解首先容易得到由基c,c,c到基a,a,a的变换公式为123123aaa)=(c,c,c)A，123123(–2 (3|||–1–2)0–5|(51 (2||||3–241–2 2–613123123T123(10)(00)(01)(01)(10|1234=1234|00即(A,A,A,A1234=1234|00|01h00|1|00B||| (00110h0)1||0)12341112212212341|||1 100-101100)1-11-1，|||0)341112212212|||2 (111001)，，|||0)1234111221222h12341234121h(1|=12=2|0 |=12=2|0 | (00011001-11)(11||-1||110||11||0)(1000)00)||||1=202 (01111100)定义8设V是数域F上的线性空间V的一个非空子集合，且对V中已有1条件111111因为线性子空间中不可能比整个线性空间中有更多数目的线性无关的向hdimVdimV(1)1设x,x,设x,x,m111mmi1子空间称为由x,x,,x生成(或张成)的子空间，记为12mm11mm12m(2) 1112m112m特别地，零子空间就是由零元素生成的子空间L(0)．ijiaA12n12n12n12n12n1122nn合，则h1122nn与A的列向量组的线性组合的集合L(a,a,,a)相同，从而有Aij123123ij因hVFVnm子空间，x,x,,x是12m1m+1m+2n12n证对维数差nm作归纳法．当nm=0时，定理显然成立，因为12m12m在Vn中至少有一个向量x不能被x,x,,x线性表出，把x添加进去，m12mm+112mm+112r12r12r式(3)知子空间L(x,x,,x,x)是m+1维的．因为2mm+112mm+112mm+1VVV间．121212121212V121212VV是V的子空间．hVV为子空间V,V的交．212VV=VV，1221(VV)V=V(VV)．123212所有x+y这样的元素的集合称为V与V的和，记为V+V，即121212定理10如果V,V都是数域F上的线性空间V的子空间，那么它们的和V+V也是V的子空间．证显然V+V非空．又对任意向量x+y,x+y=V+V，设x,x=V，112212121y,y=V，则有2(x+y)+(x+y)=(x+x)+(y+y)=VV，1122121212Vk=F,k(x+y)=kx+ky=VV，111112这就证明了V+V是V的子空间．，V+V=V+V，1221(V+V)+V=V+(V+V)．123123例如，在线性空间R3中，V表示过原点的直线l上所有向量形成的子空12212l与l交点(原点)形成的零子空间；V+V是在由l与l所决定的平面上全体向12121212121221212间WV,WV，那么WV+V．这就是说包含V与V的子空间W也包含21212V+V；或者说V+V是包含V及V的最小子空间．21212关于两个子空间的交与和的维数，有如下的定理．定理11(维数公式)如果V,V是数域F上的线性空间V的两个子空间，hlx+lxlx+lx++lx+qz+mm1122xxhdim(V+V)2dimV+dimV=dim(V+V)dim(V+V)221212m11221221121121122从而V+V=V，故122dim(V+V)=dimV=n+nm．21212时，设x,x,,x为VV的基．由定理8，将它依m121111m11122只要证明向量组1m122是V+V的一个基，这样一来，V+V的维数就等于n+nm，则式(10)成12121m1n1m12mnmnm122121m1nm12须证明这n+nm个向量线性无关．假定2kx++kx+22mmnmnm22令x=qz++qz=kxkxpypy，则由第一等式有x=V；由第二等式有x=V，因此有1x=VV，12即x可由x,x,,x线性表出，令12mx=lxlxlx，1122mm则有hmnm2222hl==l=0,q=m1kx++kx+py++py=0，111mm11nmn11m1nm1k==k=0,p==p=0．m1nm这就证明了x,,x,y,,y,z,,z线性无关，因而它是V+V的121m1nm1nm112式(10)表明，和空间的维数往往要比空间维数的和小．给出和空间V+V时，只知道其任一向量z均可表示为xV与yV的和，2121221y=(3,1,2)所生成的子空间．则其和V+V中的零向量0，一方面可表示为21212为xxyy，1221这就说明零向量的表示法不惟一．针对这种现象，作如下定义．VV中的任一向量只能惟一地表示为子空间V的一个向量121与子空间V的一个向量的和，则称V+V为V与V的直和或直接和，记为21212V中V(或VV)．212定理12和V+V为直和的充要条件是VV=L(0)．12证充分性设VV=L(0)，对zV+V，若有1212即z=x+x,xV,xV；121122z=y+y,yV,yV，121122(xy)+(xy)=0,xyVxyV，1122111222(xy)=(xy)VV12212hxy=0,xy=0,1122112212h1212121212121212121212k1l2121k1l12l12k1l11kk11ll1k1故c=1cx+kk11ll12k1l1k1liVxsVxxxx，i1sii12s 都有V中一个确定元素a,与之对应，则称(为线性空间V的一个变换，并把hh定义14设,T都是线性空间V的变换，如果对于任意的a=V，总有k*(k=F)：k*(a)=ka，a=V．(k)(a)=k(a),a=VaFk，总有h2线性变换保持线性组合关系不变，即对V中任何向量a,a,...,a及数域F中任何数k,k,...,k总有12sa1122ss1122ss3线性变换把线性相关组化为线性相关组．s12s2ss1122ss1122sss证对任意的a,V及任意的kF，有p数域F上的数k，l，总有(kl)=k(l);(k+l)=k+l;h 又，对于V中任意向量a及数域F中的任意数k，nDft)=f,(t),nnaba首先说明线性空间V的一个线性变换(，可以由它对基的作用完全确定．即已知(将e化为((e)(i=1,2,...,n)，则对V中任意向量ii1122nn122nn这说明((a)被完全确定．由a的任意性，知线性变换(被完全确定了．i12n|(|(c)=ac+ac+n1n12n2hn2nnnn (an2 (an2a)Ah|||||||，，引进记号G(:,:,...,:)用来表示(G(:),G(:),...,G(:))，故(4)又可表示n12n为G(:,:,...,:)=(:,:,...,:)A．(5)n12nnAGn显然，当G确定时，它在取定基:,:,...,:下的矩阵A是被G惟一决定i12ni1i12i2nin对于V中向量令1122nn1122nn1122nnl1122nn1122nn22nnh111222nnn111222nnn 122nn 1122nn1122nn 1122nnai1i一1ii+1n i1i一1ii+1ni1i12i2ninii换(是惟一的．n31231212123h(|010)|3iii)(k)k|||)||)||||k，k，n12n ( (ii1122nn122nn1122nnnhn12n123hn2nn12n1122nn12n12nnn12nn矩阵恰是A1．n反之，若线性变换在基,,...,下的矩阵A是可逆的，可设在基31231323的向量f(x)=2x2，求出1[f(x)]．0)0)|0)0)||||h(0 (0|||1002，因为恒等变换1*是线性变换并且在任一基下的矩阵都是单位矩阵．故知o(作为两个线性变换之和)为线性变换，根据定理13又知o=T+1*在基ccc下的矩阵为123因为B可逆，由定理14知o为可逆线性变换．3113123313112323cccVo基下的矩证n221122nnnn(x)112n2 ( (x)nnh (x)12n23坐标为(2)(1-1B-1|0|2)(2)(0)-2||0|=|2|．123Vc,c,...,c及n,n,...,n下的矩阵分别是A和n2nn12n证12n12nnn12n12nn2nn12nn线性变换的特征值与特征向量对于线性变换的研究，起着十分重要的作用，而且在物理、力学和工程技术中具有实际的意义．h000x1(,,...,)212n1xn111x.,)2x12nx(,,...,)A2x12nx(,,...,)2x12n,)(12nx)xxxxxnnnnnxx11A2A22，xxxnnn1这说明特征向量的坐标xx2满足齐次线性方程组xnhn222n 例8设线性变换装在基c,c,c下的矩阵是A(||，求装的特征21h2322nRx]中，线性变换nD[f(x)]f(x)22x(n1)!000D．0000EDED 量所组成的集合，记为V，即h然nnn,n下的矩阵4h