八年级上册数学教案全

八年级上册数学教案个性化调整

11.1全等三角形

教学目标

1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2.知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等;

3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.

教学重点

全等三角形的性质.

教学难点

找全等三角形的对应边、对应角.

教学过程

I.提出问题，创设情境

1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

这两个三角形是完全重合的.

2.学生自己动手（同桌两名同学配合）

取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照

图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样.

3.获取概念

让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对

应角、对应边，以及有关的数学符号.

形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.

要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两

个图形的形状、大小相同.

概括全等形的准确定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形.请

同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、

对应边的含义.仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求.

II.导入新课

将4ABC沿直线BC平移得aDEF；将4ABC沿BC翻折180°得到

△DBC；将ZkABC旋转180°得AAED.

甲

议一议：各图中的两个三角形全等吗？

不难得出：^ABC9aDEF,AABC^ADBC,AABC^AAED.

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、

大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也

是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.

观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对

应角呢？

(引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系)

得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等.全等三角形

的对应角相等.

［例1］如图，AOCA四△(»»,C和B,A和D是对应顶点，说出这

两个三角形中相等的边和角.

CB

一

AD

问题：^OCA之△(»口,说明这两个三角形可以重合，思考通过怎

样变换可以使两三角形重合？

将aOCA翻折可以使4OCA与△OBD重合.因为C和B、A和D是

对应顶点，所以C和B重合，A和D重合.

ZC=ZB；ZA=ZD；ZAOC=ZDOB.AC=DB；OA=OD；OC=OB.

总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、

翻转、旋转的方法.

［例2］如图，已知4ABE丝4ACD,ZADE=ZAED,ZB=ZC,指出

其他的对应边和对应角.

A

A

BDEC

分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将aABE

和4ACD从复杂的图形中分离出来.

根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依

据已知的对应元素找出其余的对应元素.常用方法有：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边

也是对应边.

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角

是对应角.

解：对应角为NBAE和NCAD.

对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD.

［例3］已知如图AABC丝2XADE,试找出对应边、对应角.(由学生

讨论完成)

A

BD

借鉴例2的方法，可以发现/A=NA,在两个三角形中NA的对

边分别是BC和DE,所以BC和DE是一■组对应边.而AB与AE显

然不重合，所以AB与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是

一组对应边了.再根据对应边所对的角是对应角可得/B与ND

是对应角，NACB与NAED是对应角.所以说对应边为AB与AD、

AC与AE、BC与DE.对应角为NA与/A、NB与/D、/ACB与/

AED.

做法二：沿A与BC、DE交点0的连线将4ABC翻折180°后，它

正好和4ADE重合.这时就可找到对应边为：AB与AD、AC与AE、

BC与DE.对应角为NA与NA、NB与ND、/ACB与/AED.

in.课堂练习

课本练习1.

IV.课时小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角

形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元

素.这也是这节课大家要重点掌握的.

V.作业

略

课后反思:

11.2.1三角形全等的判定

教学目标

1.三角形全等的“边边边”的条件.2.了解三角形的稳定性.

3.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得

数学结论的过程.

教学重点

三角形全等的条件.

教学难点

寻求三角形全等的条件.

教学过程

I.创设情境，引入新课

出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形.

已知△ABCZaA'B'C,找出其中相等的边与角.

A△

BCB'C

图中相等的边是：AB=A'B、BC=B'C'、AC=A'C.

相等的角是：ZA=ZAZ、ZB=ZB（、ZC=ZC,.

展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画•个三角形与

它全等吗？怎样画？

（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个

三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角

相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）.

这是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条

件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题.

II.导入新课

1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的

两个三角形一定全等吗？

2.给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作

出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做.

①三角形一内角为30°,一条边为3cm.

②三角形两内角分别为30°和50°.

③三角形两条边分别为4cm、6cm.

学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交

等.下面我们就来逐•探索其余的三种情况.

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm>10cm.你能画出这

个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，

它们全等吗？

1.作图方法：

先画一线段AB,使得AB=6cm,再分别以A、B为圆心，8cm、10cm

为半径画弧，两弧交点记作C,连结线段AC、BC,就可以得到三

角形ABC,使得它们的边长分别为AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm.

2.以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合.

这说明这些三角形都是全等的.

3.特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC,根

据前面作法，同样可以作出一个三角形A'B'C',使AB=A'B'、

AC=A'C'、BC=B'C'.将4A'B'C剪下，发现两三角形重

合.这反映了一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.

用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的

推理过程，叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等

的一个依据.请看例题.

［例］如图，△ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连结点A与BC中点

D的支架.

求证：AABD之AACD.

A

BDC

［分析］要证AABD丝AACD,可以看这两个三角形的三条边是否对

应相等.

证明：因为D是BC的中点

所以BD=DC

AB=AC

在aABD和aACD中（80=CO

A。=AD（公共边）

所以aABD丝Z\ACD（SSS）.

生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和

形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以

改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活

中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.例如屋顶的

人字梁、大桥钢架、索道支架等.

m.随堂练习

如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,

AD=FB.要用“边边边”证明aABC丝△「口£,除了已知中的AC=FE,

BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？

2.课本练习.

IV.课时小结

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全

等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.

V.作业

略

VI.活动与探索

如图，一个六边形钢架ABCDEF由6条钢管连结而成，为使这

一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种

方法？

本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活

中的应用.

结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，把这个六边

形划分成四个三角形.如图（1）为其中的一种.（2）也可以把这

个六边形划分成四个三角形.如图（2）.

⑴⑵

课后反思:

11.2.2三角形全等的判定

教学目标

1.三角形全等的“边角边”的条件.

2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得

数学结论的过程.

3.掌握三角形全等的“SAS”条件，了解三角形的稳定性.

4.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.

教学重点

三角形全等的条件.

教学难点

寻求三角形全等的条件.

教学过程

一、创设情境，复习提问

1.怎样的两个三角形是全等三角形？2.全等三角形的性质？

3.指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过

怎样的变换能使它们完全重合：

图(1)中：AABD^AACE,AB与AC是对应边；

图(2)中：AABC^AAED,AD与AC是对应边.

4.三角形全等的判定I的内容是什么？

二、导入新课

1.三角形全等的判定(二)

(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质.那

么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么

条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三

个角对应相等“？现在我们用图形变换的方法研究下面的问

题：

如图2,AC、BD相交于0,AO、BO、CO、DO的长度如图所

标，AABO和是否能完全重合呢？

图2

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO=CO,NAOB=ZCOD,BO=DO.

如果把aOAB绕着0点顺时针方向旋转，因为OA=OC,所以

可以使OA与OC重合；又因为NAOB=NCOD,OB=OD,

所以点B与点D重合.这样AABO与aCDO就完全重合.

(此外，还可以图1(1)中的4ACE绕着点A逆时针方向旋转/

CAB的度数，也将与4ABD重合.图1(2)中的aABC绕着点

A旋转，使AB与AE重合，再把4ADE沿着AE(AB)翻折

180°.两个三角形也可重合)

由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三

条边对应相等和三个角对应相等.而且，从上面的例子可以

引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相

等，那么这两个三角形全等.

2.上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实

验：

(1)读句画图：①画/DAE=45°,②在AD、AE上分别取B、

C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.③连结BC,得△ABC.④

按上述画法再画一个aA'B'C'.

(2)把4A'B'C剪下来放到aABC上，观察AA'B'C'

与aABC是否能够完全重合？

3.边角边公理.

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角

边”或“SAS”）

三、例题与练习

1.填空：

（1）如图3,已知AD〃BC,AD=CB,要用边角边公理证明△

ABC^ACDA,需要三个条件，这三个条件中，已具有两个

条件，一是AD=CB（已知），二是；还需要一个

条件（这个条件可以证得吗？）.

（2）如图4,已知AB=AC,AD=AE,N1=N2,要用边角边

公理证明aABD丝ACE,需要满足的三个条件中，已具有两

个条件：（这个条件可以证得

吗？）.

2、例1已知：AD〃BC,AD=CB（图3）.

求证：AADC^ACBA.

问题：如果把图3中的AADC沿着CA方向平移到4ADF

的位置（如图5）,那么要证明△ADFgACEB,除了AD〃BC、

AD=CB的条件外，还需要一个什么条件（AF=CE或AE=

CF）?怎样证明呢？

例2已知：AB=AC、AD=AE、/1=N2（图4）.求证：△

ABD^AACE.

四、小结：

1.根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角

对应相等的三个条件.

2.我使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出

图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学

过的定义、公理、定理.

五、作业：

1.已知：如图，AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.求

证：△ABEgZXACF.

2.已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,BE〃

DF,BE=DF.

求证：Z\ABE丝Z\CDF.

A

（第1题）（第2题）

课后反思：

11.2.3三角形全等的判定

教学目标

1.三角形全等的条件：角边角、角角边.

2.三角形全等条件小结.

3.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.

4.能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题.

教学重点

已知两角一边的三角形全等探究.

教学难点

灵活运用三角形全等条件证明.

教学过程

I.提出问题，创设情境

1.复习：(1)三角形中已知三个元素，包括哪儿种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边.

(2)到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各

是什么？

三种：①定义；②SSS；③SAS.

2.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，

今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

II.导入新课

问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？

1.两角和它们的夹边.

2.两角和其中一角的对边.

问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,

你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，

与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全

等.

提炼规律：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以筒写成

“角边角"或"ASA”）.

问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三

角形ABC,能不能作一个AA'B'C',使/A=NA'、/B=/B'、

AB=A'B'呢？

①先用量角器量出/A与NB的度数，再用直尺量出AB的边长.

②画线段A'B',使A'B'=AB.

③分别以"、B'为顶点，A'B'为一边作/DA'B'、ZEB;A,

使/D'AB=ZCAB,ZEB'A'=ZCBA.

④射线A，D与B'E交于一点，记为C'

即可得到4A'B'C.

将4A'B'C与AABC重叠，发现两三角形全等.

ED

ARBA'AB'

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边

角”或“ASA”）.

思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定.我们是不

是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等

的两三角形全等”呢？

探究问题4：

如图，在AABC和4DEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF,△

ABC与aDEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？

AD

BCEF

证明：VZA+ZB+ZC=ZD+ZE+ZF=180°

ZA=ZD,ZB=ZE

.\ZA+ZB=ZD+ZE

，ZC=ZF

在AABC和ADEF中

ZB=NE

<BC=EF

/C=NF

.,.△ABC^ADEF(ASA).

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写

成“角角边”或“AAS”).

［例］如下图，D在AB上,E在AC上,AB=AC,ZB=ZC.

求证：AD=AE.

［分析］AD和AE分别在AADC和AAEB中,所以要证AD=AE,只需

证明aADC丝4AEB即可.

A

证明：在AADC和aAEB中人

Z=NA/\

<AC=AB

7c

所以AADC丝ZXAEB(ASA)

所以AD=AE.

ni.随堂练习

（一）课本练习1、2.

（二）补充练习

图中的两个三角形全等吗？请说明理由.

答案：图（1）中由“ASA”可证得4ACD岭ZXACB.图（2）由“AAS”

可证得4ACE丝△BDC.

IV.课时小结

至此，我们有五种判定三角形全等的方法：

1.全等三角形的定义

2.判定定理：边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角

角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而

获得解题途径.

V.作业

课本习题5、6、题.

课后反思：

11.2.4三角形全等的条件

直角三角形全等的判定

教学目标

1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳

获得数学结论的过程；

2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条

理的思考并进行简单的推理。

教学重点

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学过程

I.提出问题，复习旧知

1、判定两个三角形全等的方法：、、、

2,如图，Rt△ABC中，直角边

是、,

斜边是上二-------1

BC

3、如图，AB_LBE于C,DE_LBE于E,

（1）若NA=/D,AB=DE,

则4ABC与ADEF（填

A

“全等”或“不全等”）\

根据（用简写法）I\一F___E

（2）若/A=/D,BC=EF,\

则4ABC与4DEF（填D

“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（3）若AB=DE,BC=EF,

贝lj△ABC与△DEF

（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（4）若AB=DE,BC=EF,AC=DF

贝IJAABC与ADEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

II.导入新课

（一）探索练习：（动手操作）：已知线段a,c（a<c）和一个直

角a利用尺规作一个RtaABC,使NC=Na,

AB=c,CB=a

1、按步骤作图：

①作/MCN=/a=90°，

②在射线CM上截取线段CB=a,

③以B为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A,a

④连结AB

2、与同桌重叠比较，是否重合？

3、从中你发现了什么？

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角B

形全等.（HL）

（二）巩固练习：

1.如图，ZXABC中，AB=AC,AD是高，

则4ADB与4ADC（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

2.如图，CE1AB,DF1AB,垂足分别为E、F,

(1)若AC//DB,且AC=DB,则ZXACE丝△BDF,根据

(2)若AC//DB,且AE=BF,则4ACE之ZXBDF,根据

(3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACEgaBDF,根据

(4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF«WJAACE^ABDF,根据

(5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),WljAACE^ABDF,根

据

3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等

（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等

4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF1BC于F,DEXBC

于E,AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理

由

答：A

理由：：AF1BC,DE1BC（已知）/

：.ZAFB=ZDEC=____________°尸口、-

（垂直的定义）/

在RtA________和RtA_________中/

：.丝（）

AZ_______=Z（）

•••（内错角相等，两直线平行）

5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，

经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这

两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。

（三）提高练习：

1、判断题：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全

等。（）

（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形

全等（）

（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）

（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）

（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）

（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）

（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等

（）

2、如图，/D=/C=90°,请你再添加一个条件，使△ABDgA

至此，我们有六种判定三角形全等的方法：

1.全等三角形的定义

2.边边边(SSS)

3.边角边(SAS)

4.角边角(ASA)

5.角角边(AAS)

6.HL(仅用在直角三角形中)

作业1.课本习题

课后反思：

11.3.1角的平分线的性质

教学目标

1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.

2.会用尺规作一个已知角的平分线.

教学重点

利用尺规作已知角的平分线.

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼.

教学过程

I.提出问题，创设情境

问题1：三角形中有哪些重要线段./c

问题2：你能作出这些线段吗？

II.导入新课

在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

在NAOB的两边0A和0B上分别取OM=ON,MC10A,NC10B.MC

与NC交于C点.

求证：ZMOC=ZNOC.A

通过证明入△MOCgRt^NOC,即可证明

ZMOC=ZNOC,所以射线0C就是NAOB/

的平分线./

受这个题的启示，我们能不能这样做：、,

在已知NAOB的两边上分别截取OM=ON,E

再分别过M、N作MC_LOA,NC±OB,MC与NC交于C点，连接OC,

那么0C就是NAOB的平分线了.

思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为

可行）

议一议：下图是•个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A

放在角的顶点,AB和AI）沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,

AE就是角平分线.你能说明它的道理吗？

要说明AC是/DAC的平分线，其实就是证明NCAD=/CAB.

ZCAD和/CAB分别在ACAD和ACAB中，那么证明这两个三角形

全等就可以了.

看看条件够不够.

AB=AD

<BC=DC

AC^AC

所以aABC且Z\ADC(SSS).

所以/CAD=NCAB.

即射线AC就是NDAB的平分线.

作已知角的平分线的方法：

已知:ZAOB.

求作：NAOB的平分线.

作法：

(1)以0为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、0B于M、N.

(2)分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧.两弧在/

2

AOB内部交于点C.

(3)作射线0C,射线0C即为所求.

A

uN

议一议：

1.在上面作法的第二步中，去掉"大于‘MN的长”这个条件行

2

吗？

2.第二步中所作的两弧交点一定在NAOB的内部吗？

总结：

1.去掉“大于」MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，

2

所以就找不到角的平分线.

2.若分别以M、N为圆心，大于的长为半径画两弧，两弧的

2

交点可能在/AOB的内部，也可能在ZAOB的外部，而我们要找

的是/AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就

不是/AOB的平分线了.

3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，所以第

二步中的两个限制缺一不可.

4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.

练一练：

任意画一角NAOB,作它的平分线.

探索活动

按以下步骤折纸

1.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、Co把角A

对折，使得这个角的两边重合。2、在折痕（即平分线）上任意找

一点C,

3、过点C折0A边的垂线，得到新的折痕CD,其中，点D是

折痕与OA的交点，即垂足。4、将纸打开，新的折痕与0B边交

点为Eo

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

下面用我们学过的知识证明发现：

如图，已知A0平分NBAC,OE±AB,OD±AC»

求证：OE=OD。

ni.随堂练习

课本练习.

练后总结：

平角ZA0B的平分线0C与直线AB垂直.将0C反向延长得到直线

CD,直线CD与AB也垂直.

IV.课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平

分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进

一步探究到角平分线的性质.

V.课后作业课本习题<v新课堂>>

思考?

1.在一节数学课上，老师要求同学们练\

习一道题，题目的图形如图所示，\\

图中的BD是NABC的平分线，在同\\

学们忙于画图和分析题目时，小明同\\E

学忽然兴奋地大声说：“我有个发L---------\

CDA

现！”原来他自己创造了一个在直角

三角形中画锐角的平分线的方法.他的方法是这样的，在AB

上取点E,使BE=BC,然后画DELAB交AC于D,那么BD就

是NABC的平分线.

有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请

你来说明理由.

课后反思：

11.3.2角的平分线的性质

教学目标

1、角的平分线的性质

2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平

分线上”.

3.能应用这两个性质解决•些简单的实际问题.

教学重点

生甲生乙

结论：同学乙的画法是正确的.同学甲画的是过角平分线上一点

画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，

所以他的画法不符合要求.

问题1:如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？

［生］角平分线上的点到角的两边的距离相等.

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的

由已知事项推出的事项：PD=PE.

于是我们得角的平分线的性质：

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

［师］那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出

示投影）

问题3：根据下表中的图形和己知事项，猜想由已知事项可

推出的事项，并用符号语言填写下表:

由已知事

图形已知事项项推出的

事项

PD1,OB,

PE±OA,

垂足为

D、E

PD=PE

1以

［生讨论］已知事项符合直角三角形全等的条件，所以RtAPEO^

△PDO(HL).于是可得NPDE=NPOD.

由已知推出的事项：点P在/AOB的平分线上.

由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的

平分线上.这两个性质有什么联系吗？

分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距

离相等，离公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处

(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?

1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一

个性质可以解决这个问题？

2.比例尺为1：20000是什么意思？

结论：

1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形

成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处.

2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是

以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了.lm=100cm,所以比

例尺为1:20000,其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思.作

图如下：

第二步：在射线OP上截取0C=2.5cm,确定C点，C点就是集贸后

场所建地了.

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤,

使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问

题，我们可以直接利用性质解决问题.

III例题与练习

例如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

A

BEC

分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到

三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是NB、

ZC的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个

问题.

证明：过点P作PDJ_AB,PE1BC,PF1AC,垂足为D、E、F.

因为BM是AABC的角平分线，点P在BM±.

所以PD=PE.

同理PE=PF.

所以PD=PE=PF.

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

练习：

1.课本练习.

2.课本习题

强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证

三角形全等.

IV.课时小结

今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点

到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分

线上.它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便

了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以

直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线

段相等.

V.课后作业

1、课木习题

课后反思：

12.1.1轴对称

学习目标：

1、知道什么样的图形是轴对称图形。

2、会找出轴对称图形的对称轴。

3、知道两个图形满足什么样的条件时，成轴对称。

4、会找出两个图形成轴对称时的对称轴、对称点。

5、知道轴对称图形与轴对称的区别与联系。

知识要点：

1、基本概念：轴对称图形、对称轴、两个图形关于一条直线

对称（轴对称）、对称点

学习方法：在教师的指导下，学生自主小结、归纳。

学习过程：

一、轴对称图形、对称轴

1、观察下列图形，你把每个图形对折试

一试，你能发现它们有什么共同的的特点

(1)(2)(3)

小结:如果一个图形沿一条直线,直线两旁的部

分能够互相,这个图形就叫做.这条

直线就是它的.我们也说这个图形关于这条直线

（成轴）对称.

2、试一试：下面的图形是轴对称图形吗？如果是，

指出它的对称轴。

轴对称、对称轴、对称点

⑸(6)

图14-6

1、观察下列每对图形，你把每对图形沿虚线对折试一

试，你能发现它们有什么共同的的特点吗？

(4)

小结:如果把一个图形沿某条直线,如果这个图

形能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这条

直线,这条直线叫。折叠后重合的点是

对应点，叫做o我们也说这两个图形关于这条

直线轴对称.

2、试一试：下面的两个图形是轴对称的吗？如果是，

指出它的对称轴和对称点。

三、轴对称图形、轴对称的区E

别与联系

区别：轴对称图形指的是个图形沿条直线折叠，直线

两旁的部分能够互相。

轴对称指的是个图形沿一条直线折叠，这个图

形能够与另一个图形。

联系：把成轴对称两个图形看成一个整体，它就是一个

;把•个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这

两个图形关于这条直线轴对称(简称轴对称)

四、练一练

1、在图14—17中，从儿何图形的性质考虑，哪一个与其他

三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由.

A①A@A③A④

图14-17

答：图形一；理由是：.

2、如图14—18所示，下列图案中，是轴对称图形的是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(4)D.

(2)(3)

(1)②⑶(4)

图14-18

3、如图14-19所示，下列图案中，是轴对称图形的是()

爨与泰自

g

⑴(2)⑶(4)

图14-19

A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(：2)(3)

D.(1)(4)

五、小结：

你今天学了什么？

六、课外练习：略

课后反思：

12.1.2轴对称

学习内容：教材P31—33

学习目标：1、探索轴对称图形性质的过程，进一步体验

轴对称的特点，发展空间观察

2、探索线段垂直平分线的性质，培养学生认

真探究、积极思考的能力

学习重点：探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线

的性质

学习难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用

其性质解答简单的儿何问题

学习方法：探索、归纳、交流、练习

学习过程：

一、学习新知

(­)轴对称的性质

1、如图14.1—4,△ABC和4A'B'C关于直线MN对称,

点A'B'C'分别是点A、B、CV

41A

的对称点，线段AA，、BB，、COAA

与直线MN有什么关系？\\

(1)设AA'交对称轴MN于点P,T--\~yB，

将4ABC和AA'B'C'沿MN折

叠后，点A与A，重合吗？看

于是有PA=__________,NMPA=_________=______度

(2)对于其他的对应点，如点B、B',C、C'也有类似

的情况吗？_____________

(3)那么MN与线段AA',BB',CC的连线有什么关

系呢？

2、垂直平分线的定义：

经过线段______并且_________这条线段的直线，叫

做这条线段的垂直平分线

3、轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么___________是任

何一对对应点所连线段的

类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线

段的垂直平分线。

4、练习：教材P32图12.1-5

（二）线段垂直平分线的性质

1、探究：教材P32

2、归纳，线段垂直平分1।

线的性质：线段垂直平分P1

线上的_______与这条线

段----------八//

的距离__________CB

3、思考：反过来，如果।

PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？

探究：教材P33

4、归纳：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线

段的____________________上.

（三）应用

12.2.1作轴对称图形

学习内容：教材P39—42

学习目标：1、能够作轴对称图形

2、能够用轴对称的知识解决相应的数学问题

学习重点：作轴对称图形

学习难点：用轴对称知识解决相应的数学问题

学习方法：操作、归纳、交流、练习

学习过程：

一、创设情境

1、阅读教材P39的四辐图

2、操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，

描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再

试一次，你又得到了什么？

3、归纳：

（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线1成轴对

称的图形，这个图形与原图形

的_________、__________完全相同

（2）新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线

1的_________点

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴_____________

二、作轴对称图形

1、如图，已知△ABC和直线/,你能作出△ABC关于直

线/对称的图形。

A

I

2、归纳：教材P41

3、练习：教材P41练习第1题

三、用轴对称知识解决相应的数学问题

1、探究：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A,

B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气

管线最短？

B镇

A镇

♦

।=■燃气管

四、总结匚,二

五、作业匚L

1、把下列图形补成关于L对称的图形。口

L

2.2.2用坐标表示轴对称

教学目标

（一）教学知识点

1.在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐

标规律.

2.利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于

x轴、y轴对称的图形.

（二）能力训练要求

1.在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，发展

学生数形结合的思维意识.

2.在同一坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形的

轴对称变换之间的关系.

（三）情感与价值观要求

在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心.

教学重点

1.理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的

关系.

2.在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意

识.

教学难点

用坐标表示轴对称.

教学方法

探索发现法.

教具准备

课件，坐标纸.

教学过程

I.提出问题，创设情境

[活动1]

1.如图：

(1)观察上图中两个圆脸有什么关系？

(2)已知右边图脸右眼的坐标为(4,3),左眼的坐标为(2,

3),嘴角两个端点，右端点的坐标为(4,1),左端点的坐标为(2,

1).

你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两

端点的坐标吗？

2.在平面直角坐标系中，将坐标为(2,2),(4,2),(4,4),

(2,4),(2,2)的点用线段依次连结起来形成一个图案.

(1)纵坐标不变，横坐标分别乘以-1,再将所得的各个点用

线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有何变化？

(2)横坐标不变，纵坐标分别乘以-1,再将所得的各个点用

线段依次连结起来，所得的图案又与原图案相比有何变化？

设计意图：

通过有趣的轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点的好

奇心，是一种形到数的探究，接着又从对坐标实施变化，引起图

案的变化，使学生在坐标的变化中产生对每对关于x轴、y轴对

称的点的坐标规律的探究.

师生行为：

［生］1.(1)观察可发现图中的两个圆脸关于y轴对称.

(2)我们可以设右脸中的左眼为A点，右眼为B点，则A

(2,3),B(4,3),嘴角的左右端为D(2,1),C(4,1).根

据轴对称的性质，A与A1关于y轴对称，则A1到y轴的距离和

A至Uy轴的距离相等，A|、A到x轴的距离也相等，「Ai在第二

象限，；.A1的坐标为(-2,3).

同理，Bi、G、D］的坐标分别为(-4,3)、(41)、(-2,1).

2.师生共同完成

［生］在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图.A

(2,2),B(4,2),C(4,4),D(2,4).

5■

•一一1A4一口

B

1・

■a1■■

1n2345X

(1)纵坐标不变，横坐标乘以-1,得到相应四个点为A,(-2,

2),BI(-4,2),C,(-4,4),D,(-2,4).顺次连结所得到

的图案和原图案比较，不难发现它们是关于y轴对称的.

(2)横坐标不变，纵坐标乘以-1,得到相应的四个点为A2

(2,-2),B2(4,-2),C2(4,-4),D2(2,d).顺次连结所得

到的图案和原图案比较，可得它们是关于x轴对称的.

［师］A(2,2)与Ai(-2,2)关于y轴对称，

B(4,2)与日(-4,2)关于y轴对称，

C(4,4)与Ci(-4,4)关于y轴对称，

D(2,4)与D1(-2,4)关于y轴对称.

那么关于y轴对称的点具有什么规律呢？

A(2,2)与A2(2,-2)关于x轴对称，

B(4,2)与B2(4,-2)关于x轴对称，

C(4,4)与C2(4,-4)关于x轴对称，

D(2,4)与D2(2,-4)关于x轴对称.

那么关于x轴对称的点有何规律呢？

这节课我们就来研究关于X轴，y轴对称的每对对称点坐标

的规律.

II.导入新课

［活动2］

在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，

并把坐标填入表格中.看看每对对称点的坐标有怎样的规律.再

和同学讨论一下.

已知点A(2,-3),B(-1,2),C(-6,-5),D(-,1),

2

E(4,0).

关于x轴的对称点A'(,)B'(,)

C'(,)D'(,)E'(,).

关于y轴的对称点A"(,一)B"(,)

C”(,)D"(___,)E"(,).

设计意图：

通过学生动手操作，分别作A,B,C,D,E关于x轴、y

轴的对称点A',B',C',D',E'；A",B",C",D",

E",并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐标之间的关系.

师生行为：

教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对

称点坐标的规律.