八年级数学上册17.3勾股定理（第3课时）（新版）冀教版

八年级数学上册17.3勾股定理（第3课时）（新版）冀教版第1页/共20页

小明找来了长度分别为12cm,40cm的两条线,利用这两条线采用固定三边的方法,画出了如图所示两个图形,他画的是直角三角形吗?复习巩固由32+42=52,82+152=172,你想到了什么?与勾股定理有什么不同?

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据说古埃及人用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.大家画一画、量一量,看看这样画出的三角形是直角三角形吗?学习新知

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画一画

再画画看,如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,满足下面的关系“2.52+62=6.52,那么画出的三角形是直角三角形吗?换成三边长分别为4cm,7.5cm,8.5cm的三角形,再试一试.

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下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.5,12,13;7,24,25;8,15,17.(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗?(2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

人类已跨入21世纪,建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”.“三四五放线法”是一种古老的归方操作.所谓“归方”就是“成直角”,譬如建造房屋,房角—般总是成90°,怎样确定房角的纵横两线呢?

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如图所示,如何过基线MN上的一点C作它的垂线,建筑工人用3,4,5作出了一个直角,能不能用其他的整数组作出直角呢?可由三名工人操作:一人手拿布尺或测绳的0和12尺处,固定在C点;另一人拿4尺处,把尺拉直,在MN上定出A点,再由一人拿9尺处.把尺拉直,定出B点,连接BC,则∠ACB=90°

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想一想：勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.它们的题设和结论有何关系?

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如图所示的是一个机器零件示意图,∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,∠ABC=90°.根据这些条件,能否知道∠ACD=90°?解:在△ABC中,∵∠ABC=90°,∴AC2=AB2+BC2(勾股定理),∵AB=4,BC=3,∴AC2=32+42=52,∴AC=5.在△ACD中,∵AC=5,CD=12,AD=13,∴AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169.∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理).所以根据这些条件,能知道∠ACD=90°.

牛牛文库文档分享第8页/共20页(1)勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得

到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理

的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直

角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的

方法之一.二者的条件和结论刚好相反.知识拓展(2)勾股定理的逆定理的延伸:如果三角形的三边长a,b,c(c为最长

边的长)满足a2+b2<c2,那么这个三角形是钝角三角形;如果满足

a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形.(3)勾股定理的逆定理的应用:应用勾股定理的逆定理可以判断一

个三角形是不是直角三角形,在实际应用时,可用较短两边长的

平方和与较长边长的平方作比较,若它们正好相等,则三角形为

直角三角形,较长边所对的角为直角.

牛牛文库文档分享第9页/共20页课堂小结1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.它是判断一个三角形是不是直角三角形的重要方法.2.勾股定理与其逆定理的联系与区别联系:①两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关;②两者都与直角三角形有关.区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得

到这个直角三角形的三边数量关系,即a2+b2=c2;勾股定理

的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,

进而得到这个三角形是直角三角形,是判别一个三角形是不

是直角三角形的有效方法.

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检测反馈1.以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形

的是(

)A.3,4,6 B.9,12,15C.5,12,14 D.10,16,25B解析:A.32+42≠62,故不是直角三角形,故不正确;B.92+122=152,故是直角三角形,故正确;C.52+122≠142,故不是直角三角形,故不正确;D.102+162≠252,故不是直角三角形,故不正确.

牛牛文库文档分享第11页/共20页2.△ABC的三边为a,b,c,在下列条件中,△ABC不是直角三角形的是

(

)A.a2=b2-c2B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3C.∠A=∠B-∠CD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D解析:A.∵a2=b2-c2,∴a2+c2=b2,故本选项正确;B.∵a2∶b2∶c2=1∶2∶3,∴令a2=x,则b2=2x,c2=3x,∵x+2x=3x,∴a2+b2=c2,故本选项正确;C.∵∠A=∠B-∠C,∴∠B=∠A+∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2(∠A+∠C)=180°,即∠A+∠C=90°,故本选项正确;D.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴3x+4x+5x=180°,解得x=15°,∴5x=5×15°=75°<90°,故本选项错误.

牛牛文库文档分享第12页/共20页3.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为(

)A.72 B.36C.66 D.42B解析:∵AB2+BC2=32+42=25=52=AC2,∴△ABC是直角三角形.∵AC2+CD2=52+122=132=AD2,∴△ACD是直角三角形,∴S四边形ABCD=AB·BC+AC·CD

=×3×4+×5×12=36.

牛牛文库文档分享第13页/共20页4.有一个三角形的两边长是4和5,要使这个三角形成为直角三角形,则第三边长为

.

解析:①当第三边为斜边时,第三边长②当边长为5的边为斜边时,第三边长

牛牛文库文档分享第14页/共20页5.已知△ABC的∠A,∠B和∠C的对边分别是a,b和c,下面给出了五组条件:①∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;②a∶b∶c=3∶4∶5;③2∠A=∠B+∠C;④a=6,b=8,c=13.其中能独立判定△ABC是直角三角形的条件的序号是

.

解析:①∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∴∠C=90°,故是直角三角形;②设a=3k,则b=4k,c=5k,(3k)2+(4k)2=(5k)2,故是直角三角形;③∵2∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=60°,∠B+∠C=120°,不能判定△ABC是直角三角形;④∵62+82≠132,∴不能判定△ABC是直角三角形.能独立判定△ABC是直角三角形的条件是①②.故填①②.①②

牛牛文库文档分享第15页/共20页解:在△ABD中,∵AB=26,AD=24,AD是BC的中线,∴2BD=2CD=BC=20,满足AB2=AD2+BD2,∴△ABD为直角三角形,即AD⊥BC,∴AC=AB=26.6.如图所示,在△ABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线

AD=24.求AC的长.

牛牛文库文档分享第16页/共20页解析:由非负数的性质可求出a,b,c的值;(2)以a,b,c为边能否构成直角三角形?解析:利用勾股定理的逆定理即可判断以a,b,c为边能否构成直角

三角形

牛牛文库文档分享第17页/共20页8.一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,请你判断这个三角形的形状.解析:先根据题意设中间长的边长为x米,则较长边的长为

(x+1)米,较短边的长为(x-7)米,然后根据周长为30

米,求出三边长,再根据勾股定理的逆定理即可判断

这个三角形的形状.解:设中间长的边长为x米,则较长边的长为(x+1)米,较

短边的长为(x-7)米,∵三角形周长为30米,∴x+x+1+x-7=30,解得x=12,则x+1=13,x-7=5,∵52+122=132,∴这个三角形为直角三角形.

牛牛文库文档分享第18页/共20页9.如图所示,某探险队的A组由驻地O点出发,以12km/h的速度行进,同时,B组也由驻地O出发,以9km/h的速度向另一个方向行进,2h后同时停下来,这时A,B两组相距30km.(1)此时,A,B两组行进的方向成直角吗?请说明理由;解析:根据题意可以知道OB和OA的长度,又知A和B的距离,利用勾股定理的逆定理判定三