2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册课时分层作业：1.3.1空间直角坐标系91

课时分层作业(四)(建议用时：40分钟)一、选择题1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()A．关于C．关于z轴对称B[纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y轴对称．]x轴对称B．关于y轴对称D．关于原点对称2．已知A(1,2，－1)，B(5,6,7)，则直线AB与平面xOz交点的坐标是B．(0,1，－D．(－1,0，－()A．(0,1,1)3)C．(－1,0,3)5)D[设直线AB与平面xoz交点坐标是M(x，y，z)，则AM→＝(x－1，－2，z＋→＝(4,4,8)，1)，AB又AM→与AB→共线，x＝λAB，即－2＝4λ，－1＝4λ，→→∴AMz＋1＝8λ，解得x＝－1，z＝－5，∴点M(－1,0，－5)．故选D.]3．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝()534532A．B．532132C．D．3，3，32253.]CM||＝＋－1＋＝49，2C[M2214.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，BE＝AB，4111则BE→等于()1A．0，，－141B．－，0，141C．0，－，141D．，0，－14→→→→→→1→→→，DC，DD1}为单位正交向量，BE＝BB＋B＝－＋DD，∴BEC[{DAEDC41111，.]＝，－0145．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(其中)A．(12,14,10)C．(14,12,10)B．(10,12,14)D．(4,3,2)A[依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________．(0，2，3)[过P的垂线PQ⊥面yOz，则Q点横坐标为0，其余不变，故Q(0，2，3)．]7．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7)[由题意可知a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．]8.如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB→1的坐标为(4,3,2)，则AC→1的坐标为________．→→→→(－4,3,2)[由DB1＝DA＋DC＋DD，且DB＝(4,3,2)，∴|DA→→|＝4，|DC→|＝3，|DD→111→→→→→＝－DA＋DC＋DD，∴AC＝(－4,3,2)．]|＝2，又AC111三、解答题9．已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解]如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，1223.，OB＝∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝∵A，B，C均在坐标轴上，1，0，23，0，01，0，.C0，－∴A0B，22∵点A1与C1在yOz平面内，111，1，，1，－，C0.∴A0221∵点B1在xOy平面内的射影为B，且BB1＝1，1B221，0，，C033，0，0，2，0，1，即各点的坐标为A0，0，，－∴B211，1，B211，1，C0.213，0，1，，－0A2110．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，→→→BC的中点，以{AB，AD，AA1}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE→，AF→，AG→；(2)EF→，EG→，DG→.→→→[解]在正交基底{AB，AD，AA1}下，→1→→→＝＋AD＋AA，(1)AFAB21→→1→＝AD＋AE，AA12→→1→＝AB＋，AGAD2→12→，AF＝，1，1，AG→＝11，.＝，，∴AE011，022→→→1→1→→1212＝AF－AE＝(2)EF＋ABAA，∴EF＝，0，；221→＝AG→－AE→＝AB→－1→1→→－，∴EG＝ADAA211212→→→→，－；DG＝AG－AD＝AB，－1EG21→2－，AD→12＝0，.，－∴DG111．(多选题)下列各命题正确的是A．点(1，－2,3)关于平面xOz的对称点为(1,2,3)11y轴的对称点为－，1，32()B．点，1，－3关于2C．点(2，－1,3)到平面yOz的距离为D．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，若－2,4)．1m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，ABD[“关于谁对称谁不变”，∴A正确，B正确，C中(2，－1,3)到面yOz的距离为2，∴C错误．根据空间向量的坐标定义，D正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，→→→→若AP＝xAB＋yAD＋zAA，且0≤x≤y≤z≤1.则点P所有可能的位置所构成的几何1体的体积是()A．1B．12C．D．1316D[根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD-A1C1D1内；满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1-BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1,0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥113216A-A1C1D1，其体积是××1×1×1＝.]13．三棱锥P-ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以{BA→→→，BC，BP}为基底，则MN→的坐标为________．1→→→21＝BN－BMMN，0，－[21→→1→→＝＋BC＋BC)(BA)－(BP221→1→，BA2BP＝－2→121.]故MN＝，0，－214．已知O是坐标原点，点A(2,0，－2)，B(3,1,2)，C(2，－1，7)．(1)若点P满足OP→＝OA→＋OB→＋OC→，则点P的坐标为________；(2)若点P满足AP→＝2AB→－AC→，则点P的坐标为________．→＝OA→＋OB→＋OC→＝(2i－2k)＋(3i＋j＋2k)＋(1)(7,0,7)(2)(4,3，－3)[(1)中OP(2i－j＋7k)＝7i＋0j＋7k，∴P(7,0,7)．(2)中，AP→＝2AB→－AC→得OP→－OA→＝2OB→－2OA→－OC→＋OA→，∴OP→＝→→－OC2OB＝2(3i＋j＋2k)－(2i－j＋7k)＝4i＋3j－3k，∴P(4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设AB→＝a，AD→＝b，AP→＝c.(1)用向量a，b，c表示BM→.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM→的坐标．→＝BC→＋CM→，BC→＝AD→，CM→＝1→，CP→＝AP→－AC→，AC→＝AB→＋AD→，[解](1)∵BMCP2→→1→→→1→1→→1→1→1→＝AD＋－AC＋－＋AD＋＋＝－)＝－ABADAP22212∴BM(AP)＝ADAP(AB22211a＋b＋c.22(2)a＝AB→＝(1,0,0)，b＝AD→＝(0,1,0)．1111→→→1122，，0，，，1，