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1.4矩阵的初等变换与初等矩阵定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:一、矩阵的初等变换定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换解方程组（1）：特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．

行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．例特点：

所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.

矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.二、初等矩阵的概念则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.一、概念的引入在数的运算中，当数时，有其中为的倒数，

（或称的逆）；

在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中

的1，那么，对于矩阵，如果存在一个矩阵,使得1.5逆矩阵二、逆矩阵的概念和性质

定义

对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵

则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.,使得例设说明

若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.若设和是的可逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的,即例设设是的逆矩阵,则解：利用待定系数法又因为所以定理

初等矩阵都是可逆矩阵。

可逆矩阵具有下列性质（1）

逆矩阵的运算性质定理

初等矩阵都是可逆矩阵。

证明证明（5）A为可逆矩阵的充分必要条件是A的等价标准形为E.

定理1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.三、初等矩阵的应用初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵

定理2设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵证即利用初等变换求逆阵的方法：

解例１即初等行变换例２解例4例5解给方程两端左乘矩阵给方程两端右乘矩阵得给方程两端左乘矩阵得给方程两端右乘矩阵解例6

例7四、小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质2.初等变换4.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换5.利用初等变换求逆阵的步骤是:思考题思考题解答解可以看成是由3阶单位矩阵经4次初等变换,而得.而这4次初等变换所对应的初等方阵为:由初等方阵的性质得思考题思考题解答答作业：

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