数列求和的常用方法

数列求和的常用方法1．直接法：直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：Snn(a1an)na1n(n1)d22na1(q1)（2）等比数列的求和公式Sna1(1qn)(q1)（切记：公比含字母时一定要讨论）1qnk2122232n2n(n1)(2n1)2．公式法：k16nk3132333n3n(n1)2k123．错位相减法：比如an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1①解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn②（设制错位）①--②得:(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x1xn1(2n1)xn1x∴Sn(2n1)xn1(2n1)xn(1x)(1x)2练习1：（07高考全国Ⅱ文21）设{a}是等差数列，{b}是各项都为正数的等比数列，且nna1b11，a3b521，a5b313（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn．bn14．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：11)11；11(11)n(nnn1n(n2)2nn2(2n11)1(111)；nn!(n1)!n!1)(2n22n2n1例：求数列1,1,,1,的前n项和.12nn231解：设an1n1n（裂项）nn1则Sn111（裂项求和）1223nn1＝(21)(32)(n1n)＝n11练习 2：（06湖北卷理 17）已知二次函数 y f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)6x2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,S)(nN)均在函数yf(x)的图像n上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn1是数列{bn}的前n项和，求使得TnmN都成立的，Tn对所有nanan120最小正整数m；5.倒序相加法求和求证：Cn0 3C1n 5Cn2 (2n 1)Cnn (n 1)2n思路分析：由 Cnm Cnnm可用倒序相加法求和。证：令Sn Cn0 3Cn1 5Cn2 (2n 1)Cnn (1)2则Sn(2n1)Cnn(2n1)Cnn15Cn23Cn1Cn0(2)CnmCnnm(1)(2)有:2Sn(2n2)Cn0(2n2)Cn1(2n2)Cn2(2n2)CnnSn(n1)[Cn0Cn1Cn2Cnn](n1)2n等式成立练习3：求sin21sin22sin23sin288sin289的值.答案练习1：解：（Ⅰ）设a的公差为d，b的公比为q，nn则依题意有q12dq421，0且q214d13，解得d2，q2．所以1(1)21，n1n1．anndnbnq2（Ⅱ）an2n1bn2n1．Sn1352n32n11222n22n1，①22Sn2352n32n122n32n2，②②-①得Sn222222n12222n22n111112n112n12n3221222n162222n22n112n12n1．12小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列 cn的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前 n项和的公式求和.练习2：解：（Ⅰ）设这二次函数 f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b, 由于f`(x)=6x2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n,S)(nN)均在函数yf(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n.n3当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－31)22(n1)＝6n－5.（n112n（nN）当n＝1时，a＝S＝3×1－2＝6×1－5，所以，a＝6n－5bn33111)，（Ⅱ）由（Ⅰ）得知anan1＝＝((6n5)6(n1)526n56n1n11111111故T＝bi＝)（1－）.n277136n56n126n1i1因此，要使1（1－1）<m（nN）成立的m,必须且仅须满足1≤m，即m≥26n12022010，所以满足要求的最小正整数m为10.ann1评析：一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：i1aiai1n1n111)则n1111)n。下列求和：首先考虑(ai1=(an1a1an1i1aiai1i1daii1aiai1da1n

1也可用裂项求和法。i1 ai ai1练习3：解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289①.将①式右边反序得Ssin289sin288222sin3sin2si