北师大版高中数学必修5第一章 数列等差数列习题教案

北大高数必第章列差列题案【入【识拨一、数列定义及通公式1、定义：按照一定顺排成的一列数（注意顺序不等同于规律，有顺序不一定有规律）2、通项公式：用来表示数列的项与项数之的关系的式子，通常可看作是关于n的数：一些基本数列的通项公式：

af(n)①1,2,3,4„

a

②„

an③2,4,6,8„

an

④1,4,9,16„

⑤2,4,8,16.32„

⑥-1,1,-1,1„

⑦„

⑧a,b,a,b,a„

a

b22【例题】观察下列数列的前几项，写出它们一个通项公式：⑴

41625,,...51726

⑵2,22,222,2222，„⑶

210172634,,,,...⑷1,4,...37363、前

项和：

，通常可看作是关于n的数：

f(n前

项和Sa

之间的关系：(na=S(n【例题】⑴已知数列

{a}前项S2nn

，求它的通项公式

a

⑵已知数列

{a}前项S

，求它的通项公式

a

二、等数列、相关质等数的义通公、和式性等————————————————————————————————————————————————————————

11奇2nn奇2nnn11奇2nn奇2nnn奇定义

等差数列{a}为等差数列a-a=d（常数∈2a=a+an≥2，∈1）a=a（n-1d=a+（n-k）；a=dn-dkn通项公式

2）推广：+（n－）d.3）变式a=a－n－dd=

a1d=n，此联想点列，a）在直线的斜.n1）

Sn

na)n(dd1na)A222求和公式

2）变式：==

d=a+（－=（n－）2等差中项

1）等差中项：若、b、c成差数列，则称与c等差中项，且=

a2

；、、成差数列是2=c的充条件.）广：2a=

重要性质

增减性

(反之不定成)别当m,有a；nlk特例：a+a+a=a+a=„1n2n-13n-2下数差列且公差为的a„成数列仍为等差数列为’mdm片段和（连续几个n项,s成差数列。2nnadn1m()nmdndn其1a=a+（－）它性质

若数列a}公差为d的等差数列，则数{λ+b（λ、为数）是公差λd等差数列；若}也是公差d的等差数列{λ+λ（λ为常数也是等差数列且公差λdnλd.a=an+b，a是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；S=an+bn，即S是n的含常数的二次函数；、补的条质n1）项数为奇数2n的等差列有：s，na偶中偶a2）项数为偶数2n的差数列有：n，nds()偶3）若等差数列

a

与

b

的前n项分别为

S

，

则：

Snn2等差列判：}为等差数列

d（义）annAnB关于的一次函数）SAn2（常数的“次函”）即a为常数2(n2,*)nn三个成差设aa＋，＋2或ad，，a＋；

knsn

Bn；四数等可：－，－，＋，＋.————————————————————————————————————————————————————————

解方一：∴15＝即a＝－5而d＝11．等数与数1等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的解方一：∴15＝即a＝－5而d＝11a+(n-1)d=dn+a-d,a是于的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点a）均匀排列在一条直上，aa由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数.k=d=nd=nm，此联想点列nn（，）在直线的斜.2）(n,S)在没有常数项的二次函数Spnn等差列n项最的法结二函数图与质解1）若等差数列，差d，前项有大值。

上。其中，公差不为0.（ⅰ）若已知通项，S最n

aa

；（ⅱ）若已知

，则当

取最靠近

的非零自然数时

S

n

最大；2）若等差数列

a1

，公差

，则前

项和

S

n

有最小值（ⅰ）若已知通项

an

，则

S

n

最小；a（ⅱ）若已知pn2则当n取靠【题讲题1等数的基运例等差数列a}中，(1)已知a＝，＝，求a(2)已知S＝，＝，S(3)已知a＝，＝，a和．

的非零自然数时S最。n10d908d3

∴a＝＋59d＝．方法2

8453

，＝＋－m)d

a＝＋－45)d＝＋15×＝130．(2)不妨设S＝＋Bn，∴

84

∴S＝2n－17n∴S＝2×28－17×28＝1092(3)＝＋＝＋10＝，又S＝

6(a)6(a6(a26

∴a＝＋2d＝＝

8()

变训1设a}为等差数列，数{}前项，已知=7=75，T为列{nn

nn

}的前项，求T解设等差数列的公差为，则S=+n

n（）.∵=7，=75，∴

7,d即1510575,a11

解得2，=1.∴∴

S=+（－）=－（－）.2Sn－n=.∴列}等差数列，其首项为2，公差为.nn22————————————————————————————————————————————————————————

2nd222∴T=2nd222

9n－n.小与展基本量的思想：常设项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素，，，，中任意三个，便可求出余两.nn题型2等数列的判定与证明例知数列a}满2＝a＋(∈N)它的前和为S，且a＝，＝36.nn求数列}的通公式；解∵＝a＋，∴a是等差数列，{a}首项为，差为d，nn由＝，＝得36

，解得a＝，＝∴2n－a变训2在列}中＝，a＝＋2.设b＝，明：数列{b}是等差数列；证：已知＝

a2a＋a得b＝＝＝＋＝＋1.222又b＝＝，因此{b}是首为1公差为1等差数列．小与展证明列}等差数列的两种基本方法是：）用定义，证明－（≥2）为常数；2）利用n等差中项，即证明2a=+（≥）题3等数的性例设等差数列差均是正整数，前n项和为，a，ann，=___．答：402032010变训3在差数列}中，已知log(＋＝3，则等差数{的前13的和S＝________.答案：52解∵log(＝，∴＋＝2＝13×a＋)13×(aa13×8∴＝＝＝＝52.222小与展解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化关和（）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一地，运用数列的性质，可化繁为.题4等数的前n项和最问例设等差数{a}的前项为S，已知a，S＞，＜0.n（）公差的值范围；（）出，，„中一个最大，并说明理.解a=12，a=12－d，解得a=12+9=12+10.由＞S＜0，即

12())＞，2

＜0，解之得－

247

＜＜－（）知＜，＞，S最大变训4设差数列a的n项和为S,若a,a则当S取最小值,n等于A)n1A．6B．．．【析设数列的公差为，a2d，得d2，4(n所以S2，以，取最小值。小与展等差数列的前

项和为S在n

时有最大值.如确定使取大值时的nn

值有两种方法：一是求使aa

，立的n

值；二是由)利二次函数的性质求nn

的值.2.等差数列a}中，当a＜，d＞0时，数列{a}为递增数列，有小值；当a＞，＜时数{为递减nn数列，有大值；当=0时，{}常数列3.注意方程思想、整体思想、分讨论思想、数形结合思想的运.变训5有个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和16

，第二————————————————————————————————————————————————————————

个数与第三个书的和是12

，求这四个数．解：设这四个数为：

a,

()