专题04 直线方程“对称性”综合应用-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题4直线方程“对称性”综合应用目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】点关于直线对称 1【题型二】直线关于点对称 3【题型三】直线关于直线对称 4【题型四】圆上两点关于直线对称 6【题型五】圆与圆关于直线对称 7【题型六】函数和曲线关于直线对称 9【题型七】光学性质 10【题型八】直线综合 13培优第一阶——基础过关练 16培优第二阶——能力提升练 18培优第三阶——培优拔尖练 20对称技巧：如果对称轴所在的直线斜率是，即直线是型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子。其中点是所给点坐标，点（x，y）是所求对称点坐标【题型一】点关于直线对称【典例分析】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2＝0，结合斜率关系列方程组，求得，从而求得m+n的值．【详解】∵A（1，﹣2）和B（m，n）关于直线x+2y﹣2＝0对称，∴线段AB的中点C（，）在直线x+2y﹣2＝0上，∴2+n﹣2＝0．∴m+2n＝7，而（）＝﹣1，得2m﹣n＝4，解方程组，可得m＝3，n＝2，∴m+n＝5.故选：C【提分秘籍】基本规律点关于直线对称：（1）点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(x，y)，根据中点坐标及垂直斜率列方程组（2）点关于直线的对称点，则有【变式训练】1.（2021·江苏连云港·高二期中）点关于直线对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设点关于直线对称的点的坐标，解方程，且，即得解.【详解】解：设点关于直线对称的点的坐标则中点的坐标为，，利用对称的性质得：，且，解得：，，点的坐标，故选：D2.（2021·江苏·高二期中）点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是（

）A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b) D．(－b，－a)【答案】B【分析】结合中点和斜率求得对称点的坐标.【详解】设对称点为，则.所以对称点的坐标为.故选：B.3.（2021·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，若点与点关于直线对称，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用任意角三角函数的定义求解即可．【详解】由题意，则故选：D【题型二】直线关于点对称【典例分析】（2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【答案】B【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．故选：B．【提分秘籍】基本规律直线关于点对称：（1方法一：可以取两个点，利用中点坐标公式求出对应点的坐标，再由两点求出直线方程）（2）方法二：对称直线和原直线是互为平行线，且到点的距离相等，所以可以待定系数法，利用点到直线距离公式求解（注意会有增根，增根对应的恰好是原直线方程）【变式训练】1.（2022·江苏·高二专题练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出.【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（），点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去），所以直线的方程是.故选：A.2.（2021·全国·高二专题练习）直线关于原点对称的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由直线上任意两点，求出其关于原点对称的点，再求出斜率，进而得出所求方程.【详解】点在直线上，则在所求直线上所求直线的斜率，则所求直线方程为故选：A3.（2020·河北·元氏县第一中学高一阶段练习）与直线关于点对称的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.【详解】解析：设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.故选:D.【题型三】直线关于直线对称【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.【详解】因为直线：与：，所以，又两条平行直线：与：之间的距离是，所以解得。即直线：，：，设直线关于直线对称的直线方程为，则，解得，故所求直线方程为，故选：A【提分秘籍】基本规律线关于线对称：①求交点； ②已知直线上取一个特殊点，并求其关于直线的对称点；③两点定线即可.【变式训练】1.（2022·江苏·高二专题练习）直线关于对称直线，直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可知直线与直线交于点，求出原点关于直线对称的对称点B，利用两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程即可得出结果.【详解】如图，直线与直线交于点，直线过原点，因为直线与直线l关于直线对称，所以原点关于直线的对称点为，且直线l过点A、B，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即.故选：C2.（2022·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先联立方程得，再求得直线的点关于直线对称点的坐标为，进而根据题意得所求直线过点，，进而得直线方程.【详解】解：联立方程得，即直线与直线的交点为设直线的点关于直线对称点的坐标为，所以，解得所以直线关于直线对称的直线过点，所以所求直线方程的斜率为，所以所求直线的方程为，即故选：C3.（2022·全国·高三专题练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出给定直线的斜率及与x轴的交点坐标，再利用对称的性质计算作答.【详解】直线的斜率为，与x轴交于点，直线关于轴对称的直线的斜率为，并且过点A，由直线的点斜式方程得：，即，所以所求直线的方程为：.故选：D【题型四】圆上两点关于直线对称【典例分析】（2020·全国·高二课时练习）若圆上存在两点关于直线对称，则ab的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知直线必过圆心，从而得，再利用基本不等式可求出ab的最大值【详解】解：由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以．所以，所以，当且仅当，时取等号，故选：B．【提分秘籍】基本规律则对称直线必过圆心且与两点所在的弦中垂【变式训练】1.（2022·全国·高三专题练习）若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由题意分析得知直线经过圆心求出b；由直线与直线垂直求出k即可.【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，所以直线经过圆心，且直线与直线垂直，所以解得：，故选：A.2.（2020·江西·南昌县莲塘第三中学高二期中）已知，，M，N是圆（是常数）上两个不同的点，P是圆上的动点，如果M，N两点关于直线对称，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据圆的对称性得直线过圆心，求得圆的方程，再求圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的距离的最大值是，即可得面积的最大值.【详解】因为M，N是圆（是常数）上两个不同的点，且M，N两点关于直线对称，所以圆心在直线上，得，解得：，即圆的方程是，直线，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最远距离为，所以面积的最大值为.故选：B3.（2021·全国·高三专题练习（文））如果直线与圆交于、两点，且、关于直线对称，则直线被圆截得的弦长为（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】C【解析】由题意推出圆心在直线上，求出，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长.【详解】因、关于直线对称，故圆心在直线上，.又因为直线与垂直，，，设圆心，到直线的距离为，，圆的半径为..故选：.【题型五】圆与圆关于直线对称【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）已知圆（a，b为常数）与．若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（

）A．内含 B．相交 C．相切 D．外离【答案】B【分析】根据条件求出的圆心，再根据圆心的距离即可判断.【详解】依题意，所以，又，，，，，所以两个圆相交；故选：B.【提分秘籍】基本规律圆关于线对称：圆心对称，半径不变【变式训练】1.（2023·全国·高三专题练习）圆关于直线l：对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；【详解】解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，所以对称圆的方程为；故选：A2.（2021·浙江·吴兴高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，若圆上存在点M，且点M关于直线的对称点N在圆上，则r的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得圆关于直线的对称圆的方程，转化为两圆有公共点，结合两圆的位置关系，即可求解.【详解】解：由题意知，圆圆心，半径，圆圆心，半径，关于的对称点设为，则，解得，所以圆关于的对称圆，由题意知，圆与圆有公共点，因为，所以，解得，故选:D.3.（2021·天津市咸水沽第二中学高二期中）已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为（

）A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1【答案】B【解析】本题首先可以设出圆的圆心，再根据圆的方程得出它的圆心与半径，然后通过圆与圆关于直线对称得出圆的圆心与半径，最后得出结果．【详解】设，圆：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(－1，1)，半径为1．易知点(－1，1)关于直线x－y－1＝0对称的点为，则，解得，所以，所以圆的圆心为，半径为1，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1．故选：B．【题型六】函数和曲线关于直线对称【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在函数y＝f（x）的图象上取点（x，y），则关于直线y＝﹣x对称点为（﹣y，﹣x），代入y＝2x+a，结合题目条件可得答案．【详解】因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，令f（﹣2m）＝p，f（﹣2n）＝q，则p+q＝2；故（﹣p，2m），（﹣q，2n）在y＝2x+a的图象上，所以2m＝2﹣p+a，2n＝2﹣q+a，即，两式相加得m+n＝﹣（p+q）+2a，所以2a＝m+n+p+q＝2020+2＝2022，解得a＝1011，故选：A．【提分秘籍】基本规律曲线关于直线对称：（1）对称轴直线多为特殊直线（竖直，或者斜率为），可以特殊化处理（2）可以利用函数点，利用对称轴特殊性，寻找对称点，代入计算化简（3）如果对称轴不特殊，则转化为“求轨迹题型”【变式训练】1.（2021·全国·高二专题练习）若函数的图象关于直线对称，对任意的实数都有，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数的图象关于直线对称，得关于对称，即为偶函数，根据已知条件赋值可求，可得，所以函数是以为周期的周期函数，计算化简可得所求和．【详解】函数的图象关于直线对称，由函数图象的平移可知函数关于对称，即函数为偶函数，对任意的实数都有，令可得，所以，，，，即函数是以为周期的周期函数，，，．故选：B2.（2021·内蒙古·赤峰二中高二期末（理））设函数与的图象关于直线对称，其中，且.则，满足（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知函数图象上任意一点关于对称点在函数的图象上，代入利用对数的运算性质即可求解.【详解】解：设是函数图象上任意一点，则它关于直线对称的点在函数的图象上，所以，即，故选：C.3.（2020·湖南·雅礼中学模拟预测（理））若曲线关于直线的对称曲线是，则的值为（

）A．2 B． C．1 D．不确定【答案】C【分析】本题首先可以在曲线上任取一点，然后设出点关于直线的对称点，再然后根据线段中点以及两条直线相互垂直的性质求出点坐标，最后将点坐标带入中即可得出结果.【详解】在曲线上任取一点，设点关于直线的对称点为，则中点在直线上，即，因为直线与直线垂直，所以，联立，解得，，，因为点Q在曲线上，所以，对一切恒成立，故，，，故选：C.【题型七】光学性质【典例分析】（2021·广东·广州市真光中学高二阶段练习）已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接､交与点，连接､分别交为点､，则，之间即为点的变动范围.再求出直线，的斜率即可.【详解】∵，，，∴直线方程为，直线方程为，如图，作关于的对称点，∵，∴，再作关于的对称点，则，连接､交与点，则直线ME方程为，∴，连接､分别交为点､，则直线方程为，直线方程为，∴，.连接，，则，之间即为点的变动范围.∵直线方程为，直线FH的斜率为，∴斜率的范围为.故选：D.【提分秘籍】基本规律涉及到最短距离，可以利用“光学性质”：光走的路径最短，借助对称性来求解【变式训练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解.【详解】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，由得点，由得点，而，，于是得，而表示动点到定点与的距离的和，显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，从而得取最小值，所以，当直线l3方程为：时，取最小值.故选：C2.（2022·重庆南开中学高二期末）平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据光线反射的性质，利用解三角形可得坐标，再由求解即可.【详解】由题意，，则,，，，即，，解得.故选：A3.（2021·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（理））已知两点，点在直线上，则的最小值为（

）A． B．9 C． D．10【答案】C【分析】根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.【详解】依题意，若关于直线的对称点，∴，解得，∴，连接交直线于点，连接，如图，在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，则有，当且仅当点与重合时取等号，∴，故的最小值为.故选：C【题型八】直线综合【典例分析】（2021·江苏·高二专题练习）在中，，，，D是边上的点，关于直线的对称点分别为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得为直角三角形，则以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系，根据直线方程以及点到直线的距离表示出三角形的面积，利用导数结合函数的单调性即可求得最值得选项.【详解】解：在中，，，可得为直角三角形，且，则以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立如图所示的直角坐标系．则，，，设，则直线，即．设与AD交于点E，则，又因为直线，即．此时C到直线BE的距离为，所以，到的距高为，则所求面积，因为，所以当时，，当时，．所以当时，，故选：A．【变式训练】1.（2021·山东省日照实验高级中学高二阶段练习）将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（

）A．1 B．2023 C．4043 D．4046【答案】C【分析】设，，进而根据题意得过点与点的直线与直线平行，再根据斜率公式计算求解即可.【详解】解：设，，则所在直线的斜率为，由题知过点与点的直线与直线平行，所以，整理得故选：C2.（2022·全国·高二课时练习）已知平面上任意一点，直线，则点P到直线l的距离为；当点在函数图象上时，点P到直线l的距离为，请参考该公式求出的最小值为__________．【答案】##【分析】令，将问题转化为函数图象上的点到直线、的距离之和的倍，即可求得最小值．【详解】令，，∴表示函数图象上的点到直线的距离，表示函数图象上的点到直线的距离，∴目标式几何意义：半圆上的点到直线、的距离之和的倍，∴最小值为．故答案为：.3.（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.【答案】4【分析】设点，则，求出点B关于直线的对称点为，问题转化为要使最短，则需最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.【详解】设点，则，点B关于直线的对称点为，则，解得，所以要使最短，则需最短，而，又，设，所以，所以，所以当时（满足），取得最小值，最小值为，所以的最小值为4，故答案为：4.分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.（2023·全国·高三专题练习）点关于直线的对称点是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出对称点，根据对称关系列出式子即可求解.【详解】解：设点关于直线的对称点是，则有，解得，，故点关于直线的对称点是.故选：B.2.（2022·江苏·高二专题练习）直线关于点对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.故选：D.3.（2022·吉林·抚松县第一中学高二阶段练习）与直线关于y轴对称的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出已知直线和轴的交点，再求出要求直线的斜率，用斜截式求出要求直线的方程．【详解】解：直线，即，它与轴的交点为，它关于轴对称的直线的斜率为，故要求直线的方程为，即.故选：C．4.（2022·浙江·高三开学考试）若圆（为圆的半径）关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知直线过圆心，由此可求得实数的值.【详解】由题意可知直线过圆心，所以，，解得.故选：A.5.（2022·陕西渭南·高二期末）若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由对称性得出的圆C圆心坐标，进而写出方程.【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为因为关于直线对称的点为，所以圆C的方程为即故选：C6.（2021·全国·高二专题练习）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调减区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的图象与的图象关于直线对称，可得的解析式，代入化简，利用对数函数的单调性求解即可．【详解】的图象与的图象关于直线对称，则，单调减区间为故选：C7.（2022·全国·高二）已知直线恒过点，点的坐标为，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出定点M，作出图像，求出M关于直线对称后的点，||为的最小值，求出直线的方程，与直线方程联立，即可解出P的坐标﹒【详解】直线：，即，令，求得，，可得该直线恒过点直线：上有一动点，点的坐标为，故､都在直线：的上方.点关于直线：的对称点为，则||为的最小值：直线方程为，即.把直线方程和直线：联立方程组，求得，可得当取得最小值时，点的坐标为.故选：B8.（2022·全国·高二专题练习）已知直线：（），：，若，则与间的距离为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由直线平行的结论列方程求，再由平行直线的距离公式求两直线的距离.【详解】由得，解得，所以直线：，即，所以与间的距离为，故选B．培优第二阶——能力提升练1.（2022·全国·高二课时练习）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.【详解】直线即，故，设点关于的对称点坐标为．则解得．点关于的对称点坐标为．故选：A．2.（2022·全国·高二专题练习）与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（

）A．3x+4y=0 B．3x+4y+5=0C．+4y=0 D．+4y+5=0【答案】B【分析】关于轴对称的两直线斜率是相反数，过轴上同一点，由此可得．【详解】直线的斜率是，与轴交点为，因此它关于轴对称的直线方程是，即．故选：B．3.（2022·江苏·高二专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【答案】B【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.【详解】设对称直线方程为，，解得或（舍去）.所以所求直线方程为.故选：B4.（2023·全国·高三专题练习）若直线y＝kx与圆的两个交点关于直线对称，则k，b的值分别为（

）A．k＝2，b＝－1 B．k＝－2，b＝1C．， D．，【答案】A【分析】分析可知过圆心，且与y＝kx垂直，然后可得.【详解】由题意可知，直线过圆心，且直线y＝kx与直线垂直，所以，，解得.故选：A5.（2021·江苏·高二专题练习）已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于直线3x-2y-4=0对称，则圆C2的方程是（

）A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25【答案】B【分析】圆C2与圆C1关于直线对称，则圆心与圆心关于直线对称，设，则关于直线的对称点为，利用点点关于线的对称可解出点的坐标.【详解】解：圆C2与圆C1关于直线3x-2y-4=0对称，则圆心与圆心关于直线对称，，关于直线3x-2y-4=0对称的点为，则有解得：，所以，又则圆的方程为(x-5)2＋(y+1)2＝25.故选：B.6.（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象与的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在函数的图象上任取一点，由对称性的知识可知，点关于直线的对称点在函数的图象上，然后计算即可得解.【详解】在函数的图象上任取一点，则点关于直线对称的点为，且点在函数的图象上，所以.故选：C.7.（2021·全国·高二专题练习）已知点为直线上一动点，点，当取得最小值时为坐标原点），直线的斜率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】计算关于直线的对称点为，计算直线方程为，计算交点得到斜率.【详解】设关于直线的对称点为，则，解得，即，，当三点共线时等号成立，，直线方程为：，，解得，直线的斜率故选：A.8.（2021·河南·漯河高中高二期中）若函数的图象恒经过的定点在直线（，）上，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出的图象所过定点坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值．【详解】由题意，所以定点坐标为，所以，即，因为，，当且仅当，即时等号成立，故选：C．培优第三阶——培优拔尖练1.（2022·全国·高二课时练习）已知点与关于直线对称，则的值分别为（

）A．1，3 B．， C．-2，0 D．，【答案】B【解析】点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求