一元二次方程竞赛训练题一

9一元二次方程竞赛训练题91方

x

2

(k13)xk

2

k2(k

是实数有个实根0＜112那么k的值范围是（）（）＜＜；（）2＜k－；（C3＜＜或－＜＜－1

（）解。2．方程

(a8)10

，有两个整数根，则

3．方程

2

的解是（）（）

151555；（））或；（）222

．4．已知关于的元二次方程

20

没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，么，

ca

．5

0

是一元二次方程

2bx0(

的根,则判别式

2ac

与平方式

M(2ax)0

2

的关系是()(A)

>

M

(B)

=

M

(C)

<

M

;(D)不确定.6．若方程

(x

2

x

2

有四个非零实根且它们在数轴上对应的四个点等距排,k=____________.7．如果方程

(x

2

x0

的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的值范围是（）（）

0

；（）

；（）

3m；（）4

8．设

xx

是二次方程

x

的两个根，那么，

1

3

x

2

2

的值等于（）（）

（）；（）；（）0..9．已知m，是理数，并且方程

x

2

mx

有一个根是，么m+n值______10．求所有正实数a，使得方程

xa

仅有整数根。11．已知

且，则＝。12．已知：a，，三满足方程组

2

，试求方程+cx-a=0的根。13．设m是整，且方程

x

的两根都大于而于，则m．5714．已知实数a，满足(a（）（）

2

3(a，3(（）（）

2

.则

b

baab

的值为（）15．如果x和y是非零实数，使

和xy

3

，那么x+y等于）.1

（）（）

（）

1132

（）

16．已知实数a、、、满

xy

，

ax

，则

(a

2

2

)(

2

y

2

)

.17．实数x、、满足x+y+=5，++=3，则z的最大值是.18．已知a，是数，关于x，的方程组3,ax有整数解

(y)

，求，满的关系式.19．已知b是元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个实数根，则ab的取范围为（）(A)

ab

111(B)ab(C)ab(D)ab884420．在

ABC

中，斜边AB=5，而直角边BC，之长是一元二次方程

x4(m

的两根，则m的值是（）A、4B、C、4或-1、-4或21．已知a为实数，且使关于x的次方程是。

x22

有实，该方程的根x所取的最大值22．设a，c为互不相的实数，且满足关系式

2

2

a

2

a①及

2

a

，②求a取值范围．2

f(2)k3k040x一元二方程竞赛f(2)k3k040x

：1解：记

fx)x(kk2由

f(0)kf(1)k

k283或28原方程整理为设xx为2aa方程都是整数。故由原方程知±1)∴所以

的两个整数根，由x+a，知a为整数，因此，-和x-83

设x是方程的解，则—也是方程的解，排除（A值必是方程的解，否则方程的解也不是（00将

代入方程，左边≠0排除（C4６设甲将a看为a′，由韦达定理得bc6，a'b3于是c4a由于一次项系数b符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a的符号．于是a’由①②得b2bc．a

．5(B)x是方程的根,则0

ax0

2

0

.所以

ax

a

abx

().

ac67

设

x

2

y

方程变为

y

2

y0

.此方程有根

原方程的四个根为

.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列，∴

，故

.由韦达定理

19，得22

，于是

4

94

，∴

k

.7）因2有两根4m≥0m≤原方程的三根为x≤x≤x.意x21x，由此得.

1

，

x1

.然，8∵x,x二次方程x的个根，∴，，即，.由根与系数的关系知，从而有2x

(3)4(3)x(3xxx)93因为m、有理数，方程一根5，那么另一个根为

，由韦达定理。得m=4,n=-1,∴m+n=310．两整数根为xy（x≤则

x,xyax2ya,48.可推出x由为整数∴x=5，a=25时，y=20；时，a=18时，y=12；x=7时，a是整数，时；y=8于是a=25或18均为所求。11解即，，，

，，12．由方程组得a、b是方程x2-8x+c-2c+48=0的两根△=-4(c-)2≥0，c=4

a=b=4所以原方程为x2+

x-1=03

代入，得，正根舍去，从而时，13.25xxx2m代入，得，正根舍去，从而时，13.25xxx2mx=

2，x213．解：这是一个次方程的区间根问题，可根据二次函数图象的特点建立关于m不等式，先求出的值范围，再由m是整数确定m的．设＝3x+mx-2由二次函数的图象，得209f(-)-m03f()77499m3--7

解得

3

821

1345

∵是整数，∴只有m=4．14答：（B∵

a、b是关于x的程

0

的两个根，整理此方程，得

2x

，∵∴

故a均为负数因此b

baaababaabab

ab

ab

15答：（D将

yxxy

.（1当>0时

，方程

无实根；（2当<0时

3

2

x，得方

2

解得

131

.于是

1713y2

.故

y

.因此，结论（D是在正确的.16答：解由y∵by.，∴bx

，()(xyaxbyaybx

，因而(

)xy(x

)bx)(ax)17答：

133解：∵

5

，xy())

，∴x、y是关于t的一元二次方tt

的两实根.∵

2

4(

2

3)，zz

(3z

.∴

，当

xy

133

.故z的最大值为.318解：

y代入yx

3

ax

2

bx

，消去、b，得y

xy

，………（分若x即

x

.(xy，则上式左边为0右边可能.所以x+1≠，于是因为x都是整数，所以

x

x即xx进而y=8或

故

xy

或

xy

………10），代入yax得；时代入得.综上所述，a、满足关系式2a0，，a是任意实数.…（1519．Ｂ20．设方程的根为,x，依题意1=即m221．a为实数，时，关于的二次方程xa2

解得m=4或1有实根，于是

x,x>0，2m-1>0所以m>0故m=4选1x2。当，x=02综上，

x

224

b∴x+x=，xx．aa（）－2×=9．22．解法1：由①2②(b∴x+x=，xx．aa（）－2×=9．所以．

24(a

，当

时b

2(

．…10分又当，由①，②得

，③将④两边平方，结合③得

，

④化简得

a

，故(6a

，解得

a

56

，或21．所以，的取值范围为

且

a

56

，

a

14

．……………15解法2：因2aa

，

bca

，所()aaa

＝

4a

，所以

ba

．又

bca

a

，所以，为一元二次方

a

⑤的两个不相等实数根，

a

，所b

2(

．…10分另外，当＝时，由⑤式a

，a2a0

，a，解得

a

14

，或

a

55．所以，的取值范围aa66

，

a

14

…15分二答案:一、1．解：设2004年城市的人口总量为m，绿地面积为这两年该城市人口的年平均增长率为x，由题意，得n44%)2

=1+21%整理，得（1+x）

=

1.441.2,11.21

．∴x=

1231111

（舍去n答：这两年该城市人口的平均增长率应控制在以内．点拨：本题重点考查增长率的问题．2．分析：假设移到E时可满足本题的条件，那么就有△ABE直角三角形，，，由题意，得

－8PB=1．解：设经过秒后点P到点A的离的平方比点P到点的距离的倍1，由题意，得BE=PB=1x=xcmAE=PA=4

+x

．∴+x－8x=1．解得，x．答：经过秒或秒后，点P到点A的离的平方比点P到点B的距离的8倍大．点拨：本题应用了勾股定理和路程速度×时间这个公式．93．解由b

－4ac0，得（2a－3）

－4a（－）≥0，≤

8

．（）∵x，x是方程（－1）2a

－（2a－3）的个根，又∵x+x，∴（x+x）a

－2xx．8整理，得7a－8a=0，（7a－8）=0．∴=0，a

7

（舍去

点拨：本题主要应用根与系数的关系及根的情况．4．分析：由△－，得△=4（－）

－4（

－）=4（2m+1∵方程有两个整数根，∴△=4（）是一个完全平方数，所以也是一个完全平方数．∵，∴，∴2m+1=16，25，36或，∵为整数，∴或．代入已知方程，得，26或x=38，25．综上所m为12，或24．点拨：本题应用的方程有整数根，b

－必为一个完全平方数求解．5．分析：如图所示半圆的直径=矩形的长=宽=高；矩形的宽=窗－半圆半径；全窗面积=半圆面+形面积．5

x+2x=x+2x=解：设半圆的半径为xm，则圆的直径为，半圆的面积为

x

，矩形面积为x2x=2x（∴根据题意，有

252

，∴25x

=25∴x=1x=1舍去当时，．答：窗的高和宽都2m．点拨：本题借助图分析比较直观简单，另外本题中x=1虽符合所列方程，但不符合题意，故舍去．6．解：设每千克水应涨价元，由题意，得（－20x10+x）000，解得，x=10．要使顾客得到实惠，应x=5点拨：本题与实际问题有关，应考虑题中要使顾客得到实惠这个条件得以应用．二、7．分析：本题可以两种情况进行讨论．解1）当蚂蚁在AO上运动时，设后两只蚂蚁与点组成的三角形面积为

．由题意，得

12

×3x×（50－2x）=450．整理，得

－25x+150=0．解得=15，x=10．（）当蚂蚁OB上运动时，设钟，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为．由题意，得

×3x（2x－50）=450整理，得－－150=0解得=30，x=－5（舍去答：15s，，后，两蚂蚁与组成的三角形的面积均为450cm

．点拨：本题考查的是学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，同时要注意检验解的合理性．三、8．分析：在等腰三形中，要分清楚腰与底边，本题应进行分类讨论．解：∵、是方程+mx+2（）a为腰，．

12

1两个根，∴b+c=m，b·c=2．21－m－b，即（－3－

2

m．22解得m=，∴．∴周长Q=b+c+a=5（）a为底，b=c

2237+3=．55∴△－4（2－

2

）．

=－4，，∴b+c=4或b+c=－2（舍去∴周长Q=b+c+a=4+3=7．37答：△ABC的周长为

5

或7

点拨：了解形与数结合分类讨论的思想．9．分析：通过引元把不满意的总分用相关的字母的代数式表示，然后对代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值．解：由题意易知，32个人恰好是第层第层各住1人，对于每乘电梯上•楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设层的人乘电梯，而住t的人直接上楼，，交换两人的上楼方式，其余的人不变则不满意的总分减少．设电梯停在第层，在第层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为：…+33－）]+3（…）+[1+2+…（－y－2）]=

3(33)(34)y(y(2)(x222=2x－（）x+2y+3y+1x

115）+（15y－068）（x－）+（y6≥488又当，y=6时，s=316，当电梯停在第时，不满意的总分最小，最小值为316．四、10．分析：模拟例，求出，ab的值，然后再求值．6

113511352解：∵

11+－－1=0∴（）+－1=0．a2a1又∵+b－1=0，∴）－．∴、b是方程－1=0的两个根．a1∴a

1=－，×a

=1．∴

ab

a

1+=1．a点拨：把

1a

、b

看成是方程x

+x－1=0两个根是解本题的关键所在．五、1120%分析：设