98级高等数学(下册)本科试卷

级高等数学（下册）本科试卷一、解答以下各题（本大题分2小题，每题4分，共8分）1．设是由x2y2z22z所确立的立体，试将f(x2y2,z)dv化成球面坐标下的三次积分。222cos解：Idsindf(q2sin2,qcos)q2dq。000y1。2Lx2dxxdy0．设L是在右半平面内的随意一条闭的圆滑曲线，试证明解：当x0时，p1,q1；故y1。yx2xx2Lx2dxxdy0二、解答以下各题（本大题分三小题，每题3分，共9分）。1．设zxy，求zx,zy。解：zyxy1zxylnxxy2．设z2xy，求zx。解：zxzxyln2(xy)xyzxyln23．设uf(x)g(y)p(z),f,p,g可导，求ux,uy,uz。解：uxf(x)g(y)p(z)；uyf(x)g(y)p(z)；uzf(x)g(y)p(z)三、解答以下各题（本大题分两小题，每题3分，共6分）1．设an单一减少，且收敛于0，问级数an，能否收敛？n1解：an不必定收敛；n1比如：an1单一减且收敛于0，但1发散。nn1n而an11n2也知足条件，但n1n2收敛。2．试证：级数1是发散的。nn1lnn解：令f(x)(lnx)yz1lnxex11lnxlimxe01limexex1zlim110，故原级数发散。nnlnn四、解答以下各题（本大题分三小题，每题6分，共18分）aa2y2y2)dx(a0)。1．利用极坐标计算二重积分dy(x200解：D:0xa2y2,0yaaa2a4I2dr2dr002482．设f(x,y)为连续函数，互换二次积分100dy0dyf(x,y)dxf(x,y)dx22y1y的积分序次。解：D:2yx02y1yx01y0If(x,y)dxdy0dxx2f(x,y)dyD1x223．计算x2dydzy2dzdxz2dxdy，此中是立方体0xa,0ya,0za的表面的外侧，a0。解：I2(xyz)dv2aadyayz)dxdx0(x00aaa2a(xa2a3)dx3a42(xy)adydx20020aaa或I2(xyz)dv6zdv6dxdyzdz3a40a0五、解答以下各题（本小题分两小题，每题5分，共10分）y2(x2y4x01．求全微分方程y2y3)y的通解。24x解一：ydxy2dxxdy2ydyy3dy0d(xy)d(2x)d(y2)0，xy2xy2C为通解。y2y2解二：(y22)dx(x2y4x3)dy0yyp14yxy3M(x,y)(x.y)24x(0,1)(yy2)dx(x2yy3)dyy(2y)dy(x,y)21(yy2)dx(0,1)y21xy22x令C1y故xy2y2C为通解。y22．已知P(x,y)e2xxsiny,Q(x,y)x2cosy，试问能否存在函数u(x,y)。使得duPdxQdy？解：pxcosy，2cosy；pyxyx就不存在m使dmpdxQdy。六、解答以下各题（本小题分两小题，每题5分，共10分）1．鉴别级数n21的敛散性。n1en1un1limen1(n1)211解：limn12nunne1n1e故原级数收敛。2f(x)在[L,L]内有连续的导函数，且f(L)f(L)，已知f(x)展成以2L为．设周期的傅立叶级数的系数为a0,an,bn,n1,2,3,。试用a0,an,bn表示f(x)的傅立叶级数系数A0.An,Bn,n1,2,3,。解：A01Lf(x)dx1L0L[f(x)]LLL1Lf(x)cosnxdx1[f(x)cosnxLLnnAnL|Lf(x)(sin)dx]LLLLLLLn1LnxnbnLf(x)sindxLLLL1Lf(x)sinnxdxBnLLL1nxL1Lnnxdxf(x)sinL|LLLf(x)cosLLLanL注：用f(x)a0(ancosnexh2cosnx)2n1L求导：f(x)0(nansinnxnh2cosnx)n1eeLLA00,Annbn,Bnnan不给分LL七、解答以下各题（本大题分三小题，每题7分，共21分）1Zx2y2，y1，z0，yx2所围成的曲顶柱体．利用二重积分计算由曲面的体积。解：V(x2y2)dyD1112(1x2)1(1x6)]dxdxx2(x2y2)dy2[x103111168)2(53211053xacost(0t2)所围成的面积。2．利用曲线积分计算椭圆圆周ybsint1解：Sydxxdy2L*12bsint(asint)acostbcost]dt2[01ab2abdt203．试求在极坐标下由ra(1cos)(a0)所确立圆形的面积。解：SdDda(1cos)a2(1cos)2d0rdrxx4a22cos4d8a22cos4tdt0208a23123a2422八、解答以下各题（本大题分三小题，每题6分，共18分）。1x2x2时，预计适合x1．利用近似公式(1x)310.05时所产生的最大偏差。391(1x)3

1x2x214x3在(1,1)内收敛39341(1x2x2)144x3393当x0.05时14335134(0.05)162100002．求微分方程y2y2y0的一条积分曲线，使其在点(0,1)处有水平切线。解：特点方程：r22r20，r1.21iyex(C1cosxC2sinx)由y|x00代入C11yex(cosxC2sinx)由yex(cosxC2sinxsinxC2cosx)y