(财务知识)经济数学基础讲义第章函数

第1章函数1.1函数观点函数的定义同学们从入小学到高中毕业向来要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特色是：所议论的量在研究问题的过程中保持不变．不过从未知到已知．比如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如议论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量这门课程中议论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：S=πr2考虑半径r能够变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不一样值的量变域——变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不单是一个变量，可能有几个变量．比方两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确立的对应关系．比方股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表存期六个月一年二年三年五年年利率9.00(%)它反应的是存款存期与存款利率之间的对应关系．这几个例子反应的都是两个变量之间确实定的对应关系．函数的定义是：定义1.1设x,y是两个变量，x的变域为D，假如存在一个对应规则f，使得对D内的每一个值x都有独一的y值与x对应，则这个对应规则f称为定义在会合D上的一个函数，并将由对应规则f所确立的x与y之间的对应关系，记为：yf(x)，称x为自变量，y为因变量或函数值，D为定义域．会合{yyf(x),xD}称为函数的值域．我们要研究的是如何发现和确立变量之间的对应关系．1例1求函数y的定义域．ln(x1)1，求函数的定义域就是使表达式存心义的x．由对数函数的性质获得解：yln(x1)x10，即x1．由分式的性质获得ln(x1)0，即x11，即x2．综合起来得出所求函数的定义域为D(1,2)(2,)．例2设国际航空信函的邮资F与重量m的关系是F(m)4,0m1040.3(m10),10m200求F(3),F(8),F(20)．14,0m10解：F(m)40.3(m10),10m200m用3代替，由第一个关系式表示，获得F(3)4，相同能够获得F(8)4．m用20代替，由第二个关系式表示，获得F(20)7相关函数的几点解说函数的表示法如何表示函数关系是需要我们不停研究和发现的．常用的方法有三种：一种是用一个数学公式来表示，叫做分析法；一种是用坐标系中的曲线反应两个变量之间的函数关系，叫做图示法；还有一种方法是用一个表格反应两个变量之间的函数关系，叫做表格法．一般常常使用的就是这三种方法．函数的记号在考虑一个问题的过程中，f表示一个确立的对应关系，在以后考虑这个问题的过程中，f从头至尾表示相同的对应关系．比方f(x)x23x5，它反应的就是这样一种对应关系：f()()23()5，等式左端的函数括号中带入一个量，表示要对其进行等式右端的运算．如：f(1)123151，又如：f(x2)(x2)23(x2)5x43x25不论左端带入什么，都对它进行相同的运算.函数的基天性质下边把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单一性、奇偶性、有界性、周期性．当一个变量增添时另一个变量也跟着增添，这样的函数就叫做单一增添的函数．从图形上看这条曲线，曲线上的点x在增添的时候，它所对应的纵坐标y也在增添，这样的函数是单一增添的．单一减少是相反的，跟着x的增添相对应的y在减少，这样的函数是单一减少的，正如图形中演示的这样．假如函数当x在增添的时候，它所对应的y不是增添，也不是减少，这样的函数就不拥有单一性．例1判断函数f(x)＝x2当x>0时的单一性．剖析：能够利用单一性的定义，证明对随意的x1>x，有f(x)>f(x)．212解：当x>0时，对随意的x2>0，有x12x22（当x>x>0时，在不等式x>x2两头同乘以x或x，明显有12112x2xx，xx2x2，由不等式的传达性就获得x2x2．）1121212由定义可知f(x)＝x2当x>0时是单一增添的．一个函数的图形假如对于y轴对称，这样的函数就称为偶函数．从图形上来剖析，曲线上任一点对于y轴的对称点也在曲线上边，这条曲线所描述的函数就是偶函数．从分析式上看，假若有f(－x)＝f(x)，f(x)就叫做偶函数．2一个函数的图形假如对于原点对称，这样的函数就称为奇函数．曲线上任一点对于原点的对称点也在曲线上边，这条曲线所描述的函数就是奇函数．从分析式上看，假若有f(－x)＝－f(x)，f(x)就叫做奇函数．例2判断以下函数的奇偶性：（1）y＝x3－1（2）y＝xcosx解：（1）取x＝1，－1，f(1)＝0，f(－1)＝－2，明显f(1)≠－f(－1)，由此可知y＝x3－1不是奇函数．又明显f(1)≠f(－1)，由此可知y＝x3－1不是偶函数．2）由于y＝x是奇函数，y＝cosx是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数．因此y＝xsinx是奇函数假如自变量在定义域中变化时，函数值一直在一个有限的区间内变化，如图形中演示的，不论如何变化，都有－M≤f(x)≤M，这条曲线所反应的函数就是有界函数．假如存在一个正数T，对随意的自变量x，有f(x+T)＝f(x)，这样的函数就叫做周期函数．从图形上反应，这个函数在相隔为T的随意两点上函数值都是相同的．也能够这样来看，从随意一点出发，以长度T为间隔区分区间，在每个区间上的函数图形都是能够完全重合的．1.2几类基本初等函数我们在中学的学习中已经认识了一些函数，这些函数是特别基本的，有这样几类：常数函数：y=c．这个函数在它的定义域中的取值一直是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线．幂函数：y=xα，(α∈R)．以x为底，指数是一个常数．当α=1时就是y=x，它的图形是过原点且均分一、三象限的直线；当α=2时就是y=x2，它的图形是过原点且张口向上的抛物线；当α=3时就是y=x3，它的图形是过原点的立方曲线．3.指数函数：y=ax，(a>0，a≠1)．底数是常数，指数是变量．比如y=ex，y=2x，y=(1)x．全部指数函数的图形都过(0,1)点，当a>1时，函数单一增添，当a<1时，函2数单一减少．4.对数函数：y=logx，(a>0，≠1)．以a为底的x的对a数．比如y=lnx，y=log2，y=log1x．全部对数函数的图形都过(1,0)点，当a>1x2时，函数单一增添；当a<1时，函数单一减少．5.三角函数：正弦函数：y=sinx．余弦函数：y=cosx．例1判断以下函数中，哪些不是基本初等函数：（1）y＝51；（2）y＝(1)x；（3）y＝lg(－x)；x22（4）y＝35；（5）y＝2x；（6）y＝e2x．剖析：依照基本初等函数的表达式来判断．解：直接察看可知⑵与⑷中的函数是基本初等函数，而由

5122x2xyx，y＝ex2＝(e)可知（1）与（6）中的函数是基本初等函数．（3）与（5）中的函数不是基本初等函数31.3函数的运算函数的运算自然有加、减、乘、除运算，这些就不需要讲了．在这里我们主要将函数的复合运算．所谓复合运算，就是指假如y是u的函数，u是x的函数，y经过u作为中间媒介就成为x的函数，这就是函数的复合运算．以下边这个例子表示的：ylnuusinxylnsinx这里y是u的函数，u是x的函数，y经过u作为中间媒介就成为x的函数，这就是函数的复合运算．下边把这个复合的步骤以及它们的变域联系起来认真地介绍一下：y=f((x))UφfXYy是u的函数，这个函数用f来表示．u是x的函数，这个函数用φ来表示．φ的值域正好落在函数f的定义域里，经过u作为媒介y就成为x的函数，这个复合函数的定义域是这样一个（红色）地区，它的值域就减小成为这样一个（绿色）地区了．这是为何呢？由于x在它的定义域内变化时，u仅在这样一个（黄色）地区取到值，相应的y的取值范围就减小成为这样一个（绿色）地区．复合函数的记号就记为y=f(φ(x))．这类运算就叫做函数的复合运算．这样我们把函数分一下类：由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或复合而获得的函数称为初等函数．这样的分类把函数分红了初等函数和非初等函数．我们在前面所见到的分段函数就是非初等函数的例子．例1已知函数y=f(x)的定义域为[0,1]，求函数y=f(ex)的定义域．剖析：要使函数u=ex的值域包括于函数y=f(x)的定义域中，由这个拘束条件从头确立x的取值范围．解：设u=ex，它的值域要包括于y=f(x)的定义域中，即0≤ex≤1由此得－∞＜x≤0，由此可知复合函数y=f(ex)的定义域是(－∞,0]．（附：已知函数lnt是单一增添的，明显有limlntlnexln1）0例2将以下初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：（1）yesin(x2)2（2）y2xlncos2x剖析：由定义知初等函数是基本初等函数经有限次的四则运算和复合运算获得的．详细解决的步骤是：先看函数表达式有无四则运算，若有，则对每一个运算项进行剖析，看其能否为复合函数，如是，则选择适合的中间变量将其化为基本初等函数．依此步骤频频进行．解：（1）yeu，usinv，vw2，wx2此中y,u,v分别作为中间变量u,v,w的函数都是基本初等函数．而w是幂函数x与常数函数2的和．（2）y2xlnu，uv2，vcosx4此中y是指数函数2x与对数数函lnu的乘积．而中间变量u,v分别作为,x的函数v都是基本初等函数．1.5经济剖析中常有的函数需求函数与供应函数这一节课的内容是要把学习数学和未来搞经济工作联系起来，我们把经济剖析中最最常有的5种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）．同时我们希望经过这一节的学习能够使大家感觉到数学工具在经济剖析中的应用．第一我们介绍需求函数和供应函数．大家能够想象到一个商品在市场上的需求必定是与它的价钱相关系，价钱贵，需求量就少，价钱廉价，买的人就多．需乞降价钱之间是相关系的，它们能否是函数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其余要素，简单地以为价钱定了需求量就随之确定，这样需求量就是价钱的函数．供应，就是厂方能够为市场供应多少产品，自然它也是和价钱相关系的，产品价钱高，厂方就增添生产，反之供应量就减少．我们也能够把它简化为一种函数关系．需求量与价钱之间的函数就称为需求函数，供应量与价钱之间的函数就称为供应函数．此刻我们议论一种最简单的状况，以为需求函数和供应函数都是线性函数（一次函数），在这类关系下经过议论看能够获得什么性质．qdapb(a0,b0)qd表示需求量，p表示价钱，a,b表示常数．qsa1pb1(a10,b10)qs表示需求量，p表示价钱，a1,b1表示常数．我们简单理解需求量应随价钱的增添而减少，因此a0，自然b0．而供应量应跟着价钱的增添而增添，因此a10，b10，由于当价钱为零时，不会有供应量．qqOOpp从图形上看，需求函数是一条单一降落的直线，供应函数是一条单一上涨的直线．qOp我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价钱为p0时，产品的需求量与供应量是相同的，即供需达到了均衡．这5一点称为供需均衡点．价钱超出p0时，供过于求；价钱低于p0时，求过于供．在经济分析中，供需均衡点所对应的价钱，称为市场均衡价钱；它所对应的需求量或供应量称为市场均衡数目．例1某种商品的供应函数和需求函数分别为：qs25p10，qd2005p，求该商品的市场均衡价钱和市场均衡数目．解：由市场均衡条件：qdqs，获得：25p102005p解出：p07，q0165成本函数我们再介绍经济剖析中常有的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做收益函数．我们先介绍成本函数．一种产品的成本能够分为两部分：固定成本C0，比方，生产过程中的设施投资，或使用的工具，不论生产产品与否，这些花费都是要有的，它是不随产量而变化的，这类成本称为固定成本．改动成本C１，比方每一件产品的原资料，这些花费依靠于产品的数目，这类成本称为改动成本．总成本就是固定成本加上改动成本：C=C0+C１成本应与产品的产量相关，这类函数表示为C(q)=c0+C１(q)这就是成本函数．此中总成本C(q)是产量q的函数，c0与产量没关，改动成本C１(q)也是产量q的函数．我们在引入均匀成本的观点CC(q)q，就是产量为q时的均匀成，总成本除以产量q本，用C来表示．例1生产某商品的总成本是C(q)5002q，求生产50件商品时的总成本和均匀成本．解：成本C(q)5002qC(q)5002q500均匀成本C(q)q2qqC(50)500250600，C(50)50012250收入函数下边我们来讲收入函数．一种产品销售以后就会有销售收入，销售收入应当是价钱乘以产量．但价钱与产量之间也有必定的关系，这样就获得R=qp()q此中p(q)是价钱与产量之间的函数关系．相应地有均匀收入函数R(q)Rq此刻我们来研究一种最简单的状况，把收入看作产量的线性函数（价钱不随产量而变化），也就是R=pq，它的图形就是下边这样6Oq图形说明销售数目越多收入越多，这是一条单一增添的直线．还有一个函数就是收益函数，收益函数大家也简单理解，由于在收入中减去成本获得的就是收益．既然成本是产量q的函数，收入也是q的函数，那么收益也是q的函数．即L(q)=R(q)-C(q)L(q)Lq（1）L(q)>0盈余（2）L(q)<0损失（3）L(q)=0盈亏均衡知足L(q)=0的q0称为盈亏均衡点（又称保本点）．在假定成本函数和收入函数都是线性函数的状况下来