数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案

江西理工大学大学-2010至2011学年第一学期试卷试---卷-----︵--课程数值剖析年级、专业---A----︶-题号一二三四五六七八九十总分---号--得分学线---第-----1--一填空(每空3分，共30分)页-----f(x0)2︵-1.用公式f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)进行近似共-2!--名--计算，这时所产生的偏差称为。3-姓封页-----2.设f(0)0,f(1)10,f(2)20,则过这三个点的二次插值基函数︶--------l1(x)，l2(x)，f[0,1]。--------3.用来求数值积分的梯形公式的代数精度是。江-----西-2-4.设f(x)可微，求方程xf(x)根的Newton迭代格式密理----工-为。---大-----5.设(0,5,0,1)，则，，学-1--级-教--班--21务、-；设A，则Cond(A)。-2业-54处-专--

二计算（60分）1f(x)．已知列表函数yx1234y0－5－63试求知足上述插值条件的3次Newton插值多项式N3(x)，并写出插值余项。（10分）牛顿插值公式是：Nn(x)f(x0)fx0,x1(xx0)fx0,x1,x2(xx0)(xx1)fx0,,xn(xx0)(xxn1)-----------------------号-----学--------线-------------------------名-----封姓-------------------------密-------------级----班---、---业--专-数值积分公式形如（15）1A0f(0)A1f(1)B0f'(0)f(x)dx0(1)试确立求积公式中的参数A0,A1,B0，使其代数精度尽可能高.并求出其代数精度。(2)已知该求积公式余项R[f]kf'''(),(0,1),试求出余项中的参数k。

y3x2y3.设初值问题0x1.试y(0)1卷︵写出用改良的Euler法解上述初值问题数值解的公式，若h0.2，A︶求解y1,y2，保存两位小数。（10分）第2页︵共3页用Newton迭代法求方程f(x)x32x50的实根，4.︶x01.5，要求|xk1xk|104。（10分）江西理工大学教务处---------------------号----学-----------线------------------------名------姓封---------------5．已知方程组3x12x2x352x12x23x1x34写出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程的公式。求出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解该方程组的迭代矩阵.并判断用Gauss-Seidel迭代法求解该方程组的收敛性。（15分）

试卷︵A︶第3页︵共3页︶

三．证明（10分）求a(a0)的牛顿迭代法为xk11a(xk)，试证明对任2xk意的迭代初值x00，该迭代法所产生的迭代序列xn是单一递减序列，同时证明该迭代法是收敛的。---------密--------------级---班---、---业---专--

江西理工大学教务处参照答案一．填空(每空3分，共30分)1.截断偏差2.x(x2)，x(x1)，103.124.xk1xkxk2f(xk)5.6，5，26，92xkf(xk)二．计算结构重节点的差商表：nxy一阶二阶三阶01012-5-523-6-12343951因此，要求的Newton插值为：N3(x)5(x1)2(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)x34x23插值余项是：R(x)f()(x1)2(x2)3!或：R(x)f[x,1,2,3,4](x1)(x2)(x3)(x4)2.（1）解：f(x)1时，左11，右A0A1，左＝右得：A0A11f(x)dx0x时，左11，右A1，左＝右得：B0A11f(x)f(x)dxB0022x2时，左11，右A1，左＝右得：A11f(x)f(x)dx033联立上述三个方程，解得：A0211,B0,A1336f(x)x3时，左11，右1，左右f(x)dxA1043因此，该求积公式的代数精度是2（2）解：过点0，1结构f(x)的Hermite插值H2(x)，由于该求积公式代数精度为2，因此有：1B0f'(0)H2(x)dxA0H2(0)A1H2(0)B0H2(0)A0f(0)A1f(1)0其求积余项为：1[A0f(0)A1f(1)B0f'(0)]R(f)f(x)dx01f(x)dx11f()2(x1)dx0H2(x)dx03!x0f()12(x1)dx3!x0f()72因此，k1723.解：改良的Euler公式是：yn1yn1

ynyn

hf(xn,yn)h[f(xn,yn)2

f(xn1,yn1)]详细到此题中，求解的公式是：yn1yn0.2(3xn2yn)1.4yn0.6xnyn1yn0.1[3xn2yn3xn12yn1]y(0)1代入求解得：y11.4,y11.54y22.276,y22.48324．解：设f(x)x32x5,则f(x)3x22,牛顿迭代公式为：xk1xkf(xk)f(xk)xkxk32xk53xk222xk353xk22将x01.5代入上式，得x11.34286，x21.37012，x31.32920,x41.32827,x51.32826x5x40.00001104因此，方程的近似根x51.328265．解，Jacobi迭代公式是：x1k1x2k1x3k1

52x2k1x3k3333x1k2x1k14Gauss-Seidel迭代公式是：xk152xk1xk133233x2k13x1k12x3k14x1k1(2)设其系数矩阵是A，将A分解为：ADLU，此中300000021D020，L200,U000001100000Jacobi迭代矩阵是：1000213BJD1(LU)010200210000102133100100Gauss-Seidel迭代矩阵是：3001210BJ(DL)1U2200001010002000210211300001212060600032120二．证明证明：x00且xk11(xk