元分析学测验答案(改卷用)

002012级《分》1-3章题1.求集

E

n

:n,,nZ

的上确界，并用义加以证.(8分解上界为1.分)下面证明之(1)因

n,以E有x即1E的上界.分)(2)

0

,取

1n]2,m

,则

m

,且

1E,n

.依上确界定义

为

E

的上界(8分2.讨

f(x

D(x)

的可导性其中

D(x)

为Dirichlet函.(8分解(1)当x时,因为0处可导(4分)

f(x)f(xlimxDx),所f(x)0

在对任意的

x0

,因为

lim(xx

不存在,所以

limfx)xx

不存在(否则假设limfx)A,则D(x)limxxx

f()2

,矛盾),从

f()在处不连续不导.(:也可导数定通取有理数列无理数列得到证明故

f()

仅在

处可导分)1/6

nn2nxxnxx2xnxnn2nxxnxx2xnx3.

求下列极限不能用洛比达法)每小题6，共24分(注计算过程对答案错仅分;答对但无过,得3)(1)

n

n)

1n

.n解

lim(1

)

2012

(用迫敛性)(2)解

lim0

cos2x

lim0

x2

lim

x

2

(x

2

)

.(3)解

limx0

x

n

1x

.limexp01eexp(1nx

)2(4)

lim(n

.解因

0

1ln1lnlnlnnln(n!))且0n1

,所以

n

n

0

,

lim(!)

2/6

4.设

f()在[

上连续，且

f()0，fx)0

.证明

f()在[0,

上有最x大值.(10分证:若

f()

,则

0

是其最大值结论成.(2分)若存在

x0使f(x)0存在使有()f(x)0

.(4分因为

f()

在区间

[X]

上连续存在

X]使得f(

)max()

.(6分x[0,]由

X

有

f(x)f()

知

x[0,]

,且

f(

)maxf()f()f(x)0x](xX)

.故

f(max(x)

,

f()

在

[0,

上有最大值(10分x5.设

1,

bx,n2

(n

2,3,

)

,证明数列

{}

收敛并求其极限.(10分证由数学归纳法得到x1

2

0,xx24

2n

b2

,即奇数列与偶数都为单调有界数(且其单调性相),从而收敛(4分)令

lim

limx

n

,

则由2

(

)

知:b22

.两相,得

(

)

(6分)又,两相加得到

推

.故数收敛,(8分且由

得到

b

(10分)3/6

kkkk6.证:若函数

f(x)在[ab]

上连续对

[,]

上任意两个有理

r,r2

且r

有

f(r)f(r)

,则

f(x)

在

[,b]

上单调增加(8分)证任

(,b)

内的两实数

t,1

2

且

t1

2

,可有理数列

xot1

t

)(b

,y

(

t

)a,b使xt,t.则x2n

,从而由已知得到

f(x)f()()

.(5分由连续性和Heine定,以极限的保不等式性质:f(t)limfx)limf()f(t)nn

.(8分)当

tt为[ab]12

的两个端点,同可证

f()f(t)(若a122

或a12

,无此括号中的说明不扣分.综上知

f(x)在[,]

上单调增加(10分)7.设函

f()

在有限区间

[]

上连续，且

x,x

,

是这个区间内的意点.证明

)

，使得

1ff()nk

.(8分证记

1uf(x)nk

且不妨

x,,x},xmax{x,,,},x1211

.则

[xx](bn

.设

f(x)

在

[]1

上最值

M

,最值为

m

,

则M

.由续函数介值定理:

,](,)

,使

f

)u

,得4/6

100001210000128.(1)|A证:由x)知|f()|0于是xx|A||A|xU()时,有|f()|.(2分2

,使当再由

limf(x)A,x

,

2

,使

Uo(x02

时有

|(x)

.取

}则xU1

(x

)

时成|fx)A|2fx)Af)Af)A|A|2A|

2

.由极限定义

lim

f(x)

.(5分(2)证(i)取

1x,y2

12

2

,则

x,y(0,1](N)lim(xy)0n

,但

f(x)(y)n

不以零为极故

f()

在

(0,1]

上不一致连.(3分(ii)

,由

1111|x|cos2sin2xxx12

(

1x(,1]2

)知,取

,则当

,x(1/12

满足

1

,有f(x)f()12

.故

f()cos

1在(

上一致连续(6分方法2:因为

f(

,所以定义函数

f(x),,1]F()cos2,

,得到

F(x)

在闭区间

1[,1]2

上连续由Cantor理,

F(x)

在闭区间

1[2

上一致连续.由

1(2

时F(x)(x)

,所以

f()

在区间

1(2

上一致连续(9分5/6

00on0*00on0*9.下列两小题96学班必做,88学班(10分若做按第1小题计分(1)设函

f()

定义在区间I上xI

.若I中满足

limx且x()0n的任意数列

{}

都有

{fx)}

收敛证极限

limf(xx

存证:先证所有

{fx)}

极限相同(反证略),设它们的极限为

A.假极限f()x

,则存在

0,

,存在x

(

)

,使得

(x

.于是

n

取

1,得到数列U(x)n

,满足

limx0

但

(x)

.这表明数列{fx)}

不以

A

为极限与

{fx)}

的极限都为

A

相矛盾证毕(2)证首定义

f()f(a(x(a和f(x)f()(xbb

.(无步不扣分)因为

f(x)

在

[b]

上连续,所以

a,]

,存

x

使当

y(x,

x

)

时有()f(

.于开区间集合

HU(x

x

)x[a,b]}

为闭区间

[b]

的一个覆盖.

由有限覆盖定理,

存在其一个有限子覆盖H

{Ux,j

x2

j):j

,}

(m为正整数).取

min{

,

,,

}

,则

.现任取

t,b]

满足

|s

.由于

H

*

是

[b]

的一个覆