八年级 第一讲 分解因式

名师堂年级

分解因----取公因法一、识讲、式分解：一个多项式化为个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式（1对分解因式概念的理解①分解因式的对象是多项式（为什么不是单项式？）②分解因式的结果必须是次数低于原多项式的几个单项式和多项式的乘积形式③分解因式必须分解到每个因式不能再分为止（2分解因式的作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简，为我们今后的学习带来很大的方便。、因式分解与整式乘法的关系整式运算和因式分解是互为相反的变形（能否是互为相反的运算）可表示为：整式乘法a(b+=ab+因式分解、分解因式的方法之-----提公因式法：果一个多项式的各项含有公因式，可以把公因式提到括号外面多项式写成两因式乘积的形式分解因式的方法叫做提公因式法因式：一多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式、使用提取公因式法应注意几点：（1提取公因式法仅适用于整式中的多项式，以后我们在分式或其它代数式的变形中也是要用到提取公因式的思想，那是使用了换元法后的变形，以后再讲。（2提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。（3用提取公因式法因式分解，最后必须写成两个或几个整式乘积的形式。（4公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式这件事。（5对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。、关于分解因式的一些原则：（1提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。（2分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。（3首项为负的添括号原则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。（4同因式以幂的形式表达的原则分结果中的相同因式表达成该因式幂的形式。

2422224222（5因式内部化简的原则．即当分解后因式内部含有整式加减运算时，应去括号并合并同类项。二典精：考一因式解定例1、判断下列几个变形是否为因式分解的结果（1因式分解应针对多项式

2axy=2a·（2分解的结果一定是整式的乘积形式（3提取公因式后，若某项为”易漏写

x+3xx(xab－－（4符号问题

22bab点评）式分解是针对多项式而言的，其分解结果必须是整式的乘积形式（2一般地，提取公因式后，括号内的多项式必须满足：①再无公因式可提；②其项数和原多项式的项数相同。变议：（）列各式是因式分解的是（）A.6xy=2xB.–y+=(x+y)(x–y)+1C.2x–4xy=–4y)D.a+2ab+=(ab)（）+2n)(m–2n)是下列个多项式分解因式的结果（）A.m+B.–m+4nC.–4nD.––4n（）多项式x

+2x–分因式得（）A.x(x+2)–3B.(x+–C.(x–+2)+(2x+1)D.(x+3)考二因分与式乘的逆用例已知于x的项式3x+x+分解因式(3x－2)(x+1)求m的；变议：（）断：下列变形哪些是整式乘法，哪些是因式分解①(x+2)(x3)=+5x+6()②9xyz–6xy=–2xy)()③x–6x+9=(x–3)

()④–(2–x)=–+3x

()（）(a2)(a–1)=a+–2的左边是表示是，是运算。

与

相乘，运算后其结果（）+a–2=+2)(a–1)是多项式

化为

与

的积的形式，这是。

nmnm（）a+b=2,ab=1则数ab

+ab==（）据乘法运算(m+4)(m––16,(x+2)(x+3)=+5x+6,(y+=y–+y直写出下列各多项式分解因式的结果：m–16=;–+9=;+5x+6(已：关于x的次三项式–mx+n因式分解的结果为(3x+2)（–）求m、n的值。考三分因方1-----提公式例3、把下列各式分解因式：（）4ax+6ay－（）－12m－+2m点评）多项式的首项系数为负时，则取系数是负数的公因式；（）出系数为负数的公因式时，需把留在括号内的多项式的各项都变号。例4、把下列各式分解因式：（）3m(a+b)－2n(a+b)（）4a(2pq)3a(2pq)+2a(2p－q)点评a+b，－看是一个整体现了换元思想的应用；（公式可以是单项式，可是多项式，也可以是单项式与多项式的乘积，注意看清（）中公因式是由单项式a和多项式－q的乘积构成，要一次提出，以免漏提。例5、把下列各式分解因式：（）n(a－b)+2mn(b－（）－)3a(y－点拨）对表面上没有公因式多项式，利用其互为相反数的条件，转化成含有公因式的式子来完成因式分解是一项基本技巧般则是项一般不化成含负号的形式；②对同时含有奇次项和偶次项的多项式般将偶次项的底数化为它的相反数的形式这样可使多项式各项的符号不变因后括号中的某项为1时要掉此项。例6、分解因式：ab(c－3)+ab(3cc)点评提取公因式时要把多项式每一项的公因式全部提出来算成了用提取公因式法进行因式分解的任务，本例中c33c不是因式，要变形为c－与(c－3)，此时c－是公式，或变形为(3－与3－c)此时－c公因式，这是一种常见的变形手法。例7、

分解因式(xy)

m

(yz)(yz)

n点评：对于一个幂，如果指数是数字，我们很容易看到它的公因式，如果指数是一字母，则要想到幂的运算法则。视(x+y)(x+y)；(y－=(y－(y－z)能找到公

2222因式。另外，对于多项式－x－z通常还要提“－”到括号外，因式分解才算完成。即－x－z=－(x+z)。思维拓训练：1．已知a

，

，求代数式aa的．变议：

2

X3

2

986x1011

2杯赛化简

2

n2

n

.变议1）利用分解因式计算

3

20063

2006

2007

=（––9能被整除？试说明理由。3、已xxx，x234....2004

变议：图：由一个边长为a的正方形与两个长、宽分别为ab的小形拼接成一个矩形则整个图形可表达出些有关多项式分解因式的等式你写出其中能够表示其中意义的等式。aabb三、堂战1．下列各式从左到右的变形哪是分解因式，哪些不是？（）

x

)

；

2n2n（）265)(a

；（）(m)

；（）x2)

；（）3x

．2．下列各式从左到右变形错误是（）（）(y)

xy)

（）)

（）(a)

)

（）)3．下列各式从左到右的变形，分解因式的是（）（）a

（）)

（）aa2)

（）aa(4．要使式子()子是（）

的左边与右边相等，则括号内应填的式（）2

（）y

（）x

（）12y5．下列从左边到右的变形中是解因式的个数是（）①x

；②

()()

；③

aaa

；④

xx(x)（）个（）个（）3个（D）4个6．填空：＝(3a)．7．把下列各式分解因式：（）

1xz2

y

m

x

y

m

．8．把下列各式分解因式：（）

(m)(p)mn)(q

；（）

)(m)

；（）

10a(x))

；（）a((x(y)

；（）

(ax)()

．课后测控

：1．判断下列从左到右的变形是是分解因式，说明理由．

332222223nmn（）

()()

；（）xyy)(y

；（）aa

；（）

(x

)

．2．把下列各式分解因式：（）

()(y)

；（）

4a()b(b

；（）

(x

2)(2)(2

；（）

(

n)(n)

．3．把下列各式分解因式：（aa(2a)(1)

；（y)(x))()

；（）

()()(a)

；（）

x(xy)(2)x(2y)

（）

(m)

；（）

y

m

28x

y

；（）

x

n

)x)

．

20032200325．利用分解因式计算：（）×1.6＋18.4×53.6－×53.