八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题质量专项训练

一、选题1．如图，点

的坐标是

(2

，若点P轴上，且APO是等腰三角形，则点的坐标不可能是（）A．2，0）C．－2，）

B．，）．3，）2．在ABC中，D直线BC上点，已知AB，AD，AC，CD，则的长为（）A．或14B10或14

C．D．3．已知，如图，

，点

,Q

分别是BAC的角平分线，AB上两个动点，C45，则PQ的小值是（）A．B．23

C．D．4．如图，透明的圆柱形玻璃容(容厚度忽略不)的为12cm，容器内壁离容器底部的B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，该圆柱底面周长为（）．A．B．C18D．5．在直角三角形中，自两锐角引的两条中线长分别为和210，则斜边长为（）A．10B．10

C．13

．6．如图，在长方形纸片

ABCD

中，

，

.把方形纸片沿直线

折叠，点B在点E处AE交

DC

于点F则AF的长为）

A．

cm

B．

cm

C．

7cm

．

cm7．如图，已知1号、号个正方形的面积之和为，号3号两个正方形的面积之和为4，则、、c三正方形的面之和为（）A．11B．C10D．8．如图，在中AB，，边上中线AD，试着判定

的形状是（）A．直角三角形

B．边三角

C．等腰三角形

．上都不对9．以下列各组数为边长，不能成直角三角形的A．，，C．，，13

B．，，2．2、3、10．一个面积为1的正方形，经过一“生长后在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一生”后变成了上图，如果继续生”下，将变“枝繁叶”，请你算出生”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．B．C．D．二、填题

11．图，∠＝，△ABC的顶点A、分在、上当A点从O点发沿着OM向右运动时，同时点B在上运动，连接若＝，3，＝，OC的长度的最大值________．12．图，点在△边DB上点A在DBC内，＝∠＝，AD＝AE，＝，给出下列论，其中正确的（填序号）①＝；②∠＝∠45°；③⊥CE④2＝2+AB

2．13．图所示的网格是正方形网，则网格线交点）．

ABC

__________°（，B，C是14．中cm，，边的高为8cm则ABC的积为______

cm．15．知，在△ABC中∠C=90°AC=BC=7，是AB的中点，点E在AC上点F在上，DE=DF，BF=4，则EF=_______16．图，是等边三角形ABC内一点，且，PB=4，PC=5，以BC为外≌△，接，以下结论中正确_____________填号①△是等边三角形②△PCQ是直角三角形③APB=150°④∠17．图中AB=AC=13是的角平分线，是AD上动F是AB边上的动点，则的小值为

18．图在形中AB将矩形折使C与A重合折为MN2MN连接．eq\o\ac(△,)的积eq\o\ac(△,)CMN的积比为则的值为BM______________19．边形中AB8BCB90°CD，边形的面积是20．知在中BC=3,∠A=22.5°,将△ABC翻折使得点B与点A重合折与边AC交于点如果那AC的长_______三、解题21．图，△ACB和ECD是等腰直角三角形，∠＝∠90°，点在上，点在的侧，连接AE．（）证：＝；（）探究线AD、与CD之的数量关系；（）点作CF⊥交于点，若：AF＝：

，＝36，线段的长．22．义：如图，点M、N把段AB分成、和BN，以AMMN、

为边的三角形是一个直角三角形，则称点M

、

是线段的股分割点．

（）知点M、

是线段勾股分割点，若AM，

MN

，求

的长；（）图2，

eq\o\ac(△,)ABC

中，

BC

，点、

在斜边AB上

，求证：点M、是线段的股分割点（提示：把绕点逆针旋转）；（）（）的问题中，

ACM

，AM，BM的．23．知

中，如果过项点B的条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为

ABC

的关于点B的二分割线．例如：如图1，

RtABC

中，90

，C

，若过顶点B的一条直线交

于点，20

，显然直线BD是的于点B二分割线．（）图2的

中，

，ABC

．请在图2中画出

关于点B的二分割线，且角度是；（）知在图中画出不同于图1，2的，画ABC同时满足①为小角；②存在关于点的分割线．的度数是；（）知

C

，ABC同时满足：①为小角；②存在关于点B的分线．请求出的数（用表示）．24．图，中∠＝，沿线DE折，与重．

123123(1)若∠A＝35°则∠的数为；(2)若＝，BC＝，求AD的长；(3)当AB＝的积为m＋时的周长(用含m的数式表)25．图，在四边形

ABCD

中，ABAD，DC

，A

，点E为AD边一点，连接

，BD

与交点，

∥（）证

CEDADB

；（）AB=8

，

.求

BC

的长.26．图，点A是线OE：＝（）上的一个动点，过点A作轴垂线，垂足为，点B作的平行线交的分线于点．（）＝5

，求点B的坐标；（）图2，点作⊥于点，OE于点H，求证：CG＝．（）若点的标为（，），射线与交点D，射线BC上否存在一点使得△与△BDC全，若存在，请求出点的标；若不存在，请说明理由．②在（）的件下，在平面内另有三点P（2，）（，

），（

，﹣），请你判断也满足与BDC全的点是．（写出你认为正确的点）27．义：在△ABC中若BCa＝，＝，，b，满aca2＝三角形为类股三角”，请根据以上定义解决下列问题：

，则称这个（）题直三形都是类勾股三角”是

命题（填真或假）（）图1，等腰三角形ABC是类股三角，其中＝，＞，求∠的

△△度数；（）图2，△ABC中∠＝∠，且∠＞．①当∠＝时你能把这个角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；②请证明△为类股三角形．28．图1，中，⊥于，且BD::CD＝，（）说明△ABC是等腰三角形；（）知S＝

，如图2，点M从点B出发以每秒2cm的度沿线段向点A运动，同时动点N从A出以每秒速沿线段AC向点C运，当其中一点到达终点时整个运动都停止设点M运的时间为t（），①若△的边与BC平，求t的；②若点E是边AC的点，问在点M运动的过程中eq\o\ac(△,，)MDE能成为等腰三角形？若能，求出t的；若不能，请说明理．图1

图2

备用图29．

中，

，

ACBC

，点D是

AC

的中点，点是射

DC上一点，DE于D，且

DE

，连接

CF

，作

FHCF

于点F，交直线AB点．（）图1）当点E在段DC上，判断CF和FH的量关系，并加以证明；（）图2）当点在段DC的长线上时，问题）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当

△

和CFH面相等时，点E与

C

之间的距离；如果不成立，请说明理由．30．知：四边形ABCD是菱形，AB＝，ABC＝，有一足够大的含角的直角三角尺的60°角顶点与菱形的顶点A重，两边分别射线CB、相于点E、，且∠＝60°．（）图1，点是线段CB的点时，请直接判的状是．（）图2，点是线段CB上意一点时（点E不B、重），求证：＝；

（）图3，点在线段CB的长线上，且∠＝15°时，求点到BC的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要除一选题1D解析：【详解】解：（）点P在x轴半上，①以OA为时∵的标是（，），∴∠AOP=45°，2，∴的标是4，）（2，）②以OA为边时，∵点的标是（，），∴当点P的标为：2，），OP=AP；（）点P在x轴半轴上③以OA为时

∵的标是（，），∴22，∴OA=AP=

2∴的标是

2，）故选．2．A解析：【分析】根据AC=13，AD=12，CD，可判断出ADC是角三角，在eq\o\ac(△,Rt)ADB中求出BD继而可得出BC的度【详解】∵，AD，，∴AD2CD2AC，∴△是直角三角形，ADBC由于点在线BC上，分两种情况讨论：当点D在段BC上，如图所示，在eq\o\ac(△,Rt)中，

BD

2AD，则

BC

；②当点在BC延线上时，如图所示，在eq\o\ac(△,Rt)中，

BD

AB

2

AD

2

，则

．故答案为：Ａ．【点睛】

PBPB本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．3．D解析：【分析】先根据等腰三角形的性质得出是段

垂直平分线，再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB最值为最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出BE的小值即得．【详解】如图，作

QEAD

，交于E，∵平BAC，∴∠BAD=，是线段垂直平分线（等腰三角形的三线合一）PQPEPBPE由两点之间线段最短得：当点点P,都动点

B,,E

共线时，最，最小值为BE随PQ的动而变化由垂线段最短得：当时，BE取最小值在

Rt

中，

BE2即的小值为故选：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短确认

PB

的最小值是解题关键．4．C解析：【分析】将容器侧面展开，建立A关上沿的对称点，据两点之间线段最短可知A’B的度为最短路径15构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的半，乘以2即为所

求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A'

，连接'B，AB即最短距，根据题意：

A'Bcm，BDAE

，'D

15

．所以底面圆的周长为2=18cm.故选：．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．5．D解析：【分析】根据已知设AC＝，＝，在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)BCE中，根据勾股定理分别列等式，从而求得，BC的长，最后根据勾股定理即可求得AB的长．【详解】如图，在△中∠＝，、为的两条中线，且＝10，＝，的．设＝，＝，根据勾股定理得：在eq\o\ac(△,Rt)中，2（

y）＝210），在eq\o\ac(△,Rt)BCE中，（

x）

25

，解之得，＝，＝，∴在eq\o\ac(△,Rt)中

，故选：．

【点睛】此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理求第三条边的长度.6．A解析：【分析】由已知条件可证△CFE≌eq\o\ac(△,，)得到利折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，Rt△AFD中，利用勾股理即可求得x的.【详解】∵四边形ABCD是方形，∴∠D=90，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m，

,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF设AF=xcm，则（8-x）cm在中，，x2(8x故选择A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长7．解析：【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现a的积等于号的面积加上2号的面积，的面积等于2号面积加上3号的面积的面积等于号的面积加上号面积，据此可以求出三个的面积之.【详解】利用勾股定理可得：，S，Sa1b2334

∴

ab34故选【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关.8．C解析：【分析】利用勾股定理的逆定理可以推导出△ABD是角三角形再用勾股定理求出A，可得出，即可判断【详解】解：由已知可得CD=BD=5,52

2即

,

是直角三角形，

，90AD

AC2AB故是腰三角形.故选【点睛】本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关.9．C解析：【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．【详解】A.3

+4

=5，构成直三角形，故不符合题意；B.1

+1=

，能构成直角三角形，故不符合题意；8+12≠132，不能构成直角三角形，故符合题意；2

+

2=5

，能构成直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

10．B解析：【分析】根据勾股定理求“生了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：由题意得，正方形的面积为1，由勾股定理得，正方形B的积正形的面积，∴生长了次形成的形中所有的正方形的面积和为，同理可得，生长了次形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴生长了次形成的形中所有的正方形的面积和为，……∴生长了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，故选：．【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，，斜边长为，那么a+b22二、填题11．【解析】试题分析：取中点，接、，直角三角形AOB中OE=AB，用勾股定理的逆定理可eq\o\ac(△,得)是角三角形，所以AB，用OE+CE≥OC，以OC的大值为OE+CE，OC的大值=AB=5．考点：勾股定理的逆定理，

12．③【分析】①由知条件证明

EAC可；②由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°；③由ECB+EBC=ABD+ABC=ACE+ECB+ABC判断；④由2＝2－2＝2（CD2﹣2＝2AB2－2+2AD22（AD+AB2）－2可断④．【详解】解：∵＝＝，∴＝，∵＝，＝，∴AED=ADE=ABC=ACB=45°，∵在和EAC中

＝AEDAB＝AB＝

，∴≌EAC，∴＝，ABD＝，故①正确；由①可得ABD=ACE<45°，故错误；∵ECB+ABD+ABC=ACE+ECB+ABC=45°+45°=90°，∴＝90°，CE⊥，③正确；∴2＝－2＝2AB－CD2﹣）2AB－2+2AD＝（+AB）2．∴

＝（+AB

）－2，④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．1345【分析】如下图延BA至网络中的点D处连接CD.等腰直角三角形即可【详解】如下图延BA至网络中的点D处连接CD

ABCACB

，只需eq\o\ac(△,证)ADC是

设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络AB=5，CD=，，BD=2其中BD、DCBC边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵∴△是腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造eq\o\ac(△,处)的角∠CAD1436或【分析】过点A作AD⊥BC于，用勾股定理列式求出BD、，分D在上在CB的延长线上两种情况分别求出的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过点作⊥于D，∵

边上的高为8cm，∴AD=8cm，∵，由勾股定理得：BDAB

2

AD

2

102

，CD

2

2

17

2

2

，如图，D在BC上，BC=BD+CD=6+15=21cm，∴△ABC的面积

1BCAD=2

8=84cm，如图，D在CB的长上时，CD=15，

∴△ABC的面积

1BCAD=2

98=362，综上所述，的面积为362故答案为：或84

或84，【点睛】本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．15．31或5或

1095【分析】分别就，在上延长线上，分别画出图形，过D作DG，DH⊥BC，垂足为，H，通过构造全等三角形和运用股定理作答即.【详解】解：①过作DG⊥AC，DH⊥BC垂足为，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵是AB的中点，∴DG=

BC同理：

又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC

∴CG=HC∴CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3∴EF=

3

②过D作DG⊥AC⊥BC垂为，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵是AB的中点，∴DG=

BC同理：

又∵BC=AC∴DG=DH在和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE△DHF（HL）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DCeq\o\ac(△,≌)△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11∴EF=

112

112③如图，以点D为心，以DF长半径画圆交AC分别为E、

，过点D作DH⊥AC于点H，可知DFDEEHD≌△CFD角三角形，∴∠2=45°∴∠EDF=2（∠2）=90°∴△EDF为腰直角三角形

，△DHC为等直可证

△CFD∴AE=CF=3,CE=BF=4∴EFCE

2

④有第知，EF=5，eq\o\ac(△,)EDF为等腰直角三角形，∴ED=DF=

2

,可

,y

2

2

2y

综上可得：x

2∴

DE

2DE

【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键16．②③【解析】【详解】解：∵△是等边三角形，ABC60，∵△≌△，∴∠=∠，=BQ=4QC=，∠ABP=∠

PBCPBC，∴△是边三角形，①正.∴==4PQ

2

2

4

2

2

2

2

25，PQQC2，90是角三角形，②正.∵△BPQ是边三角形，BQP，∵△≌△，∴∠APB∠QC，BPA60确.APC60QPC150QPC，90QC，，即APC135误故答案为①②③．

【解析】∵AD是角平分线，∴⊥∴点，C点于对，如图，过C作CF⊥于，AD于E则CF=BE+FF的小值，根据勾股定理得AD=12利用等面积法得ABAD∴

BC==AB故答案为

.点睛：本题主要考查的是翻折的性垂线段最勾股定理的应用及三角形面积的等积

22法明当CF时CF有小值是解题的关.1812【解析】如图，过点N作BC于点G，接CN，据轴对称的性质有：NA=NCAMN=因为四边形是形，所以所以ANM=所以∠AMN=∠ANM所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因eq\o\ac(△,)CDN的积eq\o\ac(△,)的面积比为所以DN:CM=1:3.设，AM=AN=CM=CN=3x，由勾股定理可得NG=

2x，所以MN=

2

，BM=

2

.所以

MN2x2

2

=12.枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角(也是基本图形“平线角分等腰三角形)所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求.19．【解析】连接AC，eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∵=，=6，∠B90°，∴=

AB

2

BC

210．在△ADC中，AD=CD52，∴+2=（）+（52）=．∵22=，∴AD2+2=，∴∠ADC90°，S

=S

+=

•BC+AD•=××+×2×52=49．

点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．202【分析】过作⊥于，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以等腰直角三角形的性质，即可得到AC的长．【详解】分两种情况：①当∠为角时，如图所示，过B作BF于，由折叠可得，折痕垂平分AB，∴，∴∠BPC=2，∴△是等腰直角三角形，∴BF=DF=

2，又∵BC=3，∴中CF=

2

2

，∴2；②当∠为钝角时，如图所示，过B作BF于F同理可得是等腰直角三角形，∴BF=FP=

2又∵BC=3，∴中CF=

，∴AC=AF-CF=3+2.故答案为：2或3+2．【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解题

，，21．（）见解析；2+AD＝CD；3＝2+4．【分析】（1根据等腰直角三角形的性质证明≌△即得到结论；（2利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3连接，BD，利用（）、（2）出EF=3x，再利勾股定理求出，即可得到答案.【详解】（）明：∵和△都等腰直角三角形∴BCEC＝，∠＝∠＝∴∠ACB﹣∠＝ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD∴△ACE≌△BCDSAS）∴＝．（）：由（）得≌△BCD∴∠CAE＝CBD，又∵△是腰直角三角形，∴∠CAB＝＝CAE45°，∴∠＝，在eq\o\ac(△,Rt)ADE中2+AD＝ED，AE＝，∴

+AD＝ED，∵＝2CD，∴

+AD＝2CD，（）：连接，BDx，∵：＝1：

，AF＝

，∵△ECD都是等腰直角三角形，CF⊥，∴＝，由（）（）得，在eq\o\ac(△,Rt)，＝

2

2＝x)

2

2

＝x，∵+2＝CD∴x

2x)

3

，

解得x1∴＝2．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定.22．（）5或13（）解；（）23【分析】（）两种分法利用勾股定理即可解决问题；（）图，过A作AD⊥，AD=BN．要证明△≌△，推出，∠∠，再证MDC≌△MNC，得，由此即可解决问题；（）点作⊥，得，据题意可得CPB≌CMA，△≌CPN利用全等性质推出∠，而得到NB和的，即得BM.【详解】解：（）最时

MN

5

，当BN最时

AM

MN

；（）明：如，过点A作ADAB且AD=BN，在△和中，AD

，

ACBC∴△≌△（）∴，∠∠∵∠，∴∠DCA+∠ACM=∠∠BCN=45°，∴∠∠，在△MDC和MNC中CDCNMCD

，

CMCM∴△MDC△（）∴在eq\o\ac(△,Rt)中，AD+AM2=DM，∴2+AM=MN2，∴点M，是段AB的股分割点；

22（）点作⊥，得，根据（）过可得：≌△CMA，△CMN≌，∴∠∠，，∠CMN=∠∠∠ACM=45°+15°=60°，∴∠BPN=120°-60°=60°∴∠BNP=30°，∴，∴

2

2

1

3

，∴.【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（）作图见解析，

20

；（2）作图见解析，

；（3）∠=45°或或90°－α或

，或＝时45°＜BAC＜【分析】（）据二分线的定义，只要把分成90°和20°角即可；（）以画出A=35°的角形；（）的分割线，分以下两种情况．第一种情况是腰三角形，ABD是直角三角形；第二种情况是直角三角形是腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：（）关点的二分割线如图所，故答案为：°

20

；（）图所示BAC=35°；

（）为的分割线，分以下两种情况．第一种情况：△是腰三角形是直角三角形，易知C和∠DBC必为底，∴∠DBC＝∠＝．当∠A＝°，△ABC存二分分割线；当∠ABD＝°时，△存二分分割线，此时A＝90°－；当∠ADB＝°时，△存二分割线，此时＝°且＜∠A＜；第二种情况：△是角三角形是等腰三角形，当∠DBC°时，若BD＝，△ABC存二分割线，此时

45

；当∠BDC90°时，若BD，则△ABC存二分割线，时＝45°综上，∠=45°或或－α或

，或＝时45°＜∠BAC＜【点睛】本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．24．（1∠°（）AD=

；(3)△BCD的长为m+2【分析】（1根据折叠可得A=35，根据三角形内角和定理可以计算出°进而得到∠°（2根据折叠可得AD=DB设，AD=BD=8-x再在eq\o\ac(△,Rt)中用勾股定理可得x2+6=）

，再解方程可得x值，进而得到AD长；（3根据三角形ACB的面积可得

AC

，进而得到AC•BC=2m+2再在eq\o\ac(△,Rt)CAB中CACA+CB的，进而得到BCD周长．【详解】

2=BA，再把左边配成全平方可得（1

∵把△ABC沿线DE折，使ADE与△BDE重合，∴∠∠°，∵∠C=90，∴∠ABC=180°°°=55，∴∠2=55°°°，即∠CBD=20°；（2∵把ABC沿线DE折，使△ADE与BDE重，∴，设，AD=BD=8-x在eq\o\ac(△,Rt)CDB中2+CB=BD，x2+6=），解得：，AD=8-

=6

；（3∵ABC的积为m+1∴

AC•，∴AC，∵在eq\o\ac(△,Rt)CAB中，CA+CB2

=BA

，∴CA

+CB

•BC=BA2+2ACBC∴（）2+4m+4=（m+22∴CA+CB=m+2，∵，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的长为．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．25．（）见解析；2）BC.【分析】（1由等边三角形的判定定理可得为边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.（2连接ACBD于O由题意可证AC直平分BD△是等边三角形，得∠BAO=∠DAO=30AB=AD=BD=8，BO=OD=4，过证eq\o\ac(△,明)是等边角形，可得，勾股定理可求OCBC的．【详解】（）明：∵ABAD，A

，

∴△是等边三角形.∴∵

∥∴

CED

.∴.（）：连接AC交于O，∵AD，BCDC，∴AC垂平分BD.∴

.∵△是等边三角形，

AB∴ADBD

，∴

BO

.∵

CE

∥∴.∴

CE

,ADAE.∵

CED

.∴EFD

.∴△是等边三角形.∴EF∴

CFEF

,

OFODDF

.在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)

中，

12312123123∴CF

OF

.在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)中∴

2

2

4

2

(23)

2

.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．26．（）（，）（）见解析；（）P42）②满与BDC全的是P、P，．理由见解析【分析】（）题意可假设A（，a（＞），根据AB

2=OA2构建方程即可解决问题；（）角平分的性质定理证明CH=CFCG=CF即解决问题；（）如图3中在的长线上取点，使得CP=DB，接AP只要证明≌△SAS）是等腰直角三角形即可解决问；②根据SAS即可判断满与全的是P、，；【详解】解：（）点A在射线＝（≥0上，故可以假设A（，）a），∵⊥轴，∴＝＝，△是等腰直角三角形，∴

2＝2，∴+＝（52），解得a＝，∴点坐标为5，）（）图2中作CF⊥轴于．∵平∠，⊥，∴＝，∵△AOB是腰角三角形，∴∠AOB＝∵∥，

12123∴∠CBG∠AOB＝，到平∠ABF，∵BA，⊥，∴CF，∴．（）如图3中在的长线上取点，使得＝，连接．由（）知AC平∠DAE∴∠＝

∠DAE＝（45°）67.5°，由OC平分∠得＝

∠22.5°，∴∠ADC＝ODB＝22.5°67.5°，∴∠ADC＝∠＝，∴，∠∠+∠＝90°+22.5°＝，∠﹣∠CAD﹣∠ADC＝﹣67.5°＝，∠＝﹣22.5°＝，∠﹣∠ACD﹣∠OCB＝﹣﹣＝，在△ACP和△CDB中，

ACAD

，CPDB∴△≌△CDBSAS），∴∠CAP∠DCB22.5°，∴∠BAP＝∠CAP∠DAC＝＝，∴△是腰直角三角，∴＝＝＝，∴（4，）②满足△ACP与△全的点是P、，．理由：如图4中

111223312111223312由题意：AP＝，＝，＝∠，据可≌△CDB＝，＝，＝∠CDB，根据SAS可△2≌CDB；AC＝，∠＝∠BDC，BD＝根可△CAP≌eq\o\ac(△,3)；故答案为P、，．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．27．（）假；2）A＝45°（）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（）由直角角形是类勾股三角形得出2

，由勾股定理得2

2

，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（）类勾股角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（）分三种况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=aAD=CD=aDB=AB-AD=c-a，直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（）图1，设eq\o\ac(△,Rt)是勾股三角形，

1（）（）两个2∴a＝

，在eq\o\ac(△,Rt)中，＝，据勾股定理得，+＝2，∴b＝+，

∴＝2，∴＝，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（）＝ACAB∴＝，＞，∵△ABC是类勾股三角形，∴+a＝，∴2+2＝，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝，（）在△ABC中∠＝∠BAC∠BAC＝，∴∠ABC＝，根据三角形的内角和定理得，＝180°∠﹣ABC＝，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD∠时∵∠ABC＝，∴∠BCD＝∠＝，∴∠ACD∠﹣∠BCD84°58°26°，ADC＝∠ABC∠＝∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当BCD＝∠ABC＝时∴∠BDC，∴∠ACD＝20°∠ADC＝，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当BDC＝∠ABC＝时∴∠BCD＝，∴∠ACD∠﹣BCD32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图所示，Ⅱ、分∠，（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠，（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；

②如图3，在边上取点D，接CD，∠∠图3作⊥于G，∴∠CDB＝∠+＝∠，∵∠＝∠，∴∠CDB＝∠，∴＝＝，∵∠ACD∠A∴＝＝，∴＝﹣＝﹣，∵，∴＝BG＝

（﹣）∴＝DG＝+

（﹣）（）在eq\o\ac(△,Rt)中，2＝﹣2＝b2

（+），在eq\o\ac(△,Rt)中2＝

﹣BG＝﹣

（﹣）2，∴﹣

（+）2＝﹣（﹣），∴＝+2，∴△ABC是类勾股三角”．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定类勾股三角形，类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．28．（）见详解；2）①t值为：

s或；t值为4.5或或．12【分析】（）BD=2x，，，则AB=5x，勾股定理求出AC，即可得出结论；（）△的积求出、、、；当MN∥BC时，AM=AN；当∥时，AD=AN；出方程，解方程即可；②根据题意得出当点在DA上即2＜5时△MDE为等腰三角形，种可能：如果；果ED=EM；果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．

【详解】解：（）明设BD=2xAD=3x，，则AB=5x，在eq\o\ac(△,)中，AC=5x，∴，∴△是等腰三角形；（）：由（）知AB=5x，，∴

ABC

=

12

，而x0，∴则BD=4cm，，，AB=AC=10cm由运动知，AM=10-2tAN=t，①当MN∥BC时，AM=AN即，∴

t

；当DN∥时，，∴，得：；∴eq\o\ac(△,)DMN的与BC平行时，值

s或6s．②存在，理由：Ⅰ、当点M在BD上，即≤t2时eq\o\ac(△,)MDE为角三角形，但DM≠DEⅡ、当t=2时点M运到点，构成三角形Ⅲ、当点M在DA上即2＜≤5时eq\o\ac(△,)MDE为等腰三角形，有3种能．∵点是边AC的中点，∴

12

AC=5当，2t-4=5∴；当，则点M运到点，∴；当MD=ME=2t-4，如图，过点E作垂于，

∵ED=EA，∴DF=AF=

12

AD=3，在eq\o\ac(△,)AEF中，；∵，，∴FM=2t-7在eq\o\ac(△,)EFM中）-（）=4

，∴

．综上所述，符合要求的t值4.5或5或

．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．29．（）

CFFH

，证明见解析；）依然成立，点与

C

之间的距离为．由见解.【分析】（）辅助线通过已知条件证得ADG与DEF是等腰直角三角形．证出

，利用全等的性质即可得到（）AH，交于点G可根据ASA证≌，从而得到F，△ABC

和CFH均为等腰直角三角形当他们面积等时，

CFAC

．利用勾股定理可以求、的，即可求出的，即可求得点E与【详解】CFFH（）G证明：延长DFAB于∵在△ABC，90ACBC，∴

C