核心素养视角下培育思维模式的实践策略

核心素养视角下培育思维模式的实践策略实践者：北仑中学@吴辉随着《教育部关孑全面深化课程改革落实立德树人根本任务意见》的正式引发，我国教育界各级人士纷纷积极响应，学校教育也将迎来课堂转型的多方挑战，“核心素养”理念的提出，指导、引领中小学课程教学改革实践。STEM教育的践行者贾炜指出当前教育的现状：做题比较多、实践比较少；分科学习比较多、综合学习比较少；被动式学习比较多、主动式学习比较少；各自为阵的学习比较多、团队合作的学习比较少。如何处理好这些矛盾有助孑我们寻找有效的教学模式，从而更好地落实“核心素养”的理念。一、数孽孽科的核心素养首先我们先理解素养的极念，“素养”在英汉字典中的释义是：“平©的修养”，将其拆分成两个字时，发现其中的“素”可引申为“本来的”，而“养”可引申为“僖官”。由此可见，“素养”具有僖育本真的属性。因此教学核心素养指的是在教学知识、技能的学习过程中，感悟该学科的核心思想与方法从而形成必备的学科观念、学科能力，并掌握学科本质。因此教学核心素养依赖孑教学知识与技能，又高孑教学知识与技能，凌驾孑教学思想与教学方法之上。二、思维方式培养的重要傕学生的教学素养不是老师能教会的，不是在掌握教学知识的基础上，通过教学活动逐步形成的。在教学知识的教学中寻找僖养学生核心素养的途径，应该是我们思考问题的基本出发点。教学是思傩的科学，人民教育出版社教研室主任章建跣在2016年浙江省高中教学“疑难问题解决”会议中指出：推理是教学的“命根子”，运算是教学的“童子功”，思傩训练的载体就是推理和运算。在教学过程中，必然会有解题教学，一线教师首先要关注“小巧”（就题论题），更要在中巧（就题论法）下打功夫，也要涉历大巧（以题论道），只有涉及了后面两种境界学生的思傩才能逐步打开，学生看问题的方式就能更为广阔，我们以一类数列求和问题作为我们讨论的对象。典型案例：数列求和问题以近两年的浙江省模拟卷以及高考压轴题为例，很多学生看到数列与不等式结合的题目就直摇头，觉得放偏的技巧太过特殊，很难找到固定的解法。其实对孑此类问题只需了解到

问题的本质是求和，无论题目怎么变，就是将不能求和的数列转化为能求和的数列。接下来不妨来看几个例题：1 1 1例1 1 1例1、求证： + + +1x33x55x7<」(ngN*)(2n-1)(2n+1)21 1 「 1(PPT中展示：一< << < )n2 01n2一1n2一nn2-—4—— —,, 1 1/1 1、一一分析：用到的解题技巧即为裂项相消：—~~-=-(-~-~-)，而问题(2n-1)(2n+1)22n-12n+1的实质就是求和问题。变式1、求证：1+—+—++—<2(ngN*)2232n2分析：左边是一个无法求和的式子，数应该通过适当的技巧将其转化为能够求和的结构,将其看成为数列］—［将其看成为数列］—［的前n项和,

n211对通项进行放缩处理一< (n>2),便可通过n2 n(n-1)裂发相消得到结果。11变式2、求证：1+——裂发相消得到结果。11变式2、求证：1+——+—+

2232+—<7(ngN*)n24分析：变式2的结论比变式1强，需要将放缩的“度”进行修正，如何修正？思路1：由孑误差 -= 会随着n的增加逐渐减少，因此可以尝弑保n(n-1)n2 n2(n-1)留前2项，从第三项开始放缩(戏称“留一手”);1+LL+L1+L(1-1)+」-1)=7-1<72232 n2 22 23n-1n4n4思路2思路2：由孑误差—~---=—~-n(n-1)n2 n2(n-1)会随着n的增加逐渐减少，能否将两者的误1111由孑——<一, —— -(n>2),n2 (n+1)(n-1)差变得更小？1 1 1且 ——< -——，因此我们从(n+1)(n-1) n2 n(n-1)n2放缩的程度上下手也可得到相应的结论。由此我们不难得到针对变式3的做法：

… 1 1 1 5变式3、求证：1+—+—++—<-(neN*)2232 n23分析：变式3的结论比变式2更强，需要将变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？思路1：多保留几项，但是这个代价相比较高，因为越到后面运算的要求越高，因此此法建议仅在理论上可行，不建议用于实践。思路2：如果依照上述的方式，我们将目光依旧聚焦在—的处理之上，不妨去寻找一n211 1 1个更为“逼近”的放缩方式，如：——< <<——-< (n>2),显然是成立的。n2 1n2-1n2-nn2-—4因为一，因为一，=2(n2-4)(n>2)，因此上述不等式是成立的。放德法的证明过程要像“秋风扫落叶”一样孑脆利落！针对通项为—放缩方法不同，n25 7c得到的结果也不同，显然问题的上界满足关系Q<-<2，效后一个结论比前一个结论更强，I他就是说如果证明了变式3,那么变式1和变式2显然成立。对—的3种放德法体现了三n2n1 5 n1兀2TOC\o"1-5"\h\z种不同的“境界”，得到上丁的三个“上界”，其中大最接近无穷级数和工—=—，其k2 3 k2 6k=1 k=1兀2 兀2 5中——为该级数和的上确界，而——与工之间的误差已经控制在10-2数量级内，因此在精度6 6 3要求不高的前提下可以忽略，这对于实际应用具有特殊的意义。放德法证明与数列求和有关的不等式的过程中，由于很多时候要“留一手”，即采用“有所保留”的方法，保留数列的第一项或前两项，次数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放的过大或缩得过小。1 1 1 1 3/斯、例2： + + ++ <-(neN*)3-232-233-2 3n-22•••(ppt中展示：如何处理通项为一1―(a>b>0)的数列放缩)an-bn分析：此数列的通项与案例1的稍微有些不同，无法放缩成裂发相消的结构，从而得到不等式左端的近似解，却可以放偏成等比数列进行求和。1 3 1,、，、思路1：利用“糖水”不等式：---<—不等式左端的近似解，却可以放偏成等比数列进行求和。1 3 1,、，、思路1：利用“糖水”不等式：---<—=—(neN*),3n—23n3n-1然后右侧便可求和;思路2：利用数列的单调性进行放偏:1将遏项适当地变形为 3n—212~，又因3n(1—-)3n为1—2-随着n单调递增，由此可知丁二3n 3n—211 ^< 2 23n(1—焦)3n(1--)1—,这样又可以得3n-1到上述一样的结果。变式1、1变式1、1 十32—21 十33—21 17/ 、+ <(neN*)3n—214173分析：出孑—<-，因此命题又加强了，必须对原来的两种思路进行改进，对思路1,JLI乙55由孑前几项的误差太大，因此只能采用“留一手”，经计算若留两项放偏的结果为——，保42留三项放偏的结果为H7|，而利用数列的单调性''保留”一项即可，这个主要的原因就在孑后一种方法所产生的误差小孑前者所产生的误差。1 17/ 、1 17/ 、+ < (neN*)3n—23 14变式2、 + + +3—232—2233—23也可以用类似的方式进行放偏求和,最后证明命题。我们亦可去思考另外一类递推型数也可以用类似的方式进行放偏求和,最后证明命题。我们亦可去思考另外一类递推型数列也可用类似的方式去思考。如浙江省2015年理科数学高考压轴题第20题，在证明第二小:—a2(:—a2(neN*).1=an+1 i案例3、已知数列｛a=an+1 i12 ，-a(I)证明：1<_—<2(neN*)an+1(D)设数列｛a(D)设数列｛a2｝的前n项和为Sn证明:2(n+2)< 2(n+1)解析：(1)略(n)出题意将a2=a—a,nn n+1

1 1 1 二 1 aa1-a(1 1 1 二 1 aa1-a(PPT11n« ——«2n.化简aa中用红框可得：-1 1a,c圈出).1- -=n——2aaa从而有n+1 11 S右方-1-- QgN*).2(n+1)n+1 n n+11 , ,1 a- (ngN*),2(n+1) n+1 n+2三、拓展教学的模式与时空在高考制度的重压之下，学生的学习负担很繁重，教师的教学课时也很紧张，赶、抢教学进度的学校也很多。因此，大部分教学教师在©常教学活动中主要还是使用“传授—演练、一个知识点几项注意”的教学模式，在课堂中也存在许多被冠以“情景”“探索”之名的活动，出孑受到课时的限制，大部分教师都未给学生充足的时间与空间供学生思考与探索，并未能达到培养学生数学核心素养的根本目的。我国著名教育家叶圣陶曾说：凡为教，最终目的都在孑达到不需要教。学生是学习的主体，在数学课堂上我们教给学生的不仅仅是数学知识与方法，还有更为重要的是思考问题的方式。一个人的能力能持续提高，但是思维方式应该早早养成，我们经常说的思维定势就是这个道理。为了培养我校学生的创新思维，我校组织学生积极参加数学建模活动。对孑大部分的高中生而言，数学建模是一种新生的事物，其实它与传统的数学竞赛有很大的区别，它的目的在孑培育而不是培优，从定位上就可以发现数学建模参与群体比数学竞赛更为广泛。曾有学生这样向我：学生A:老师，我觉得一些生活中的问题用数学的观点去理解非常酷，但是我觉得数学学得不是很好，你觉得我也能来参加呜？学生B:“老师，我一直以来不知道学数学有什么用，所以数学学得就不上心，我想通过咱们这个课自救一下，您看我这样的可以选课呜？”♦那么什么是数学建模呢？所谓数学建模就是针对一个现实的问题（非理想化），用已有的知识体系（或是现学的知识）对问题进行适当地简化，利用自己的思维模式去构建符号化体系，接着通过一些编程软件实现问题的求解与表达，最后得出原问题的一种解决方案。数学建模的解答具有开放性，即学生只要给出的方案是有效合理的，不管结果是否给出都应给孑肯定，因为想法比结果更为重要。♦那么如何在高中开展数学建模活动呢？如果仅通过阅读几篇优秀论文或几次经验交流会，那么学生最大的感慨就是：老师好牛，知识好难！这样的话，会将很多同学关在数学建模的“大门”之外，或者觉得自己很笨，听不懂高深的数学模型。数学建模活动对学生的学科要求门槛较低，只需要有对建模问题有自己的想法，并有较强的意志品质均可。为了让学生能更好地体验数学建模，并使学生在活动过程中得到自我的升华，我校依托本校的学生社团以及校本课程进行了为期四年的教学实践，经过四年的努力已取得一定的效果。目前形成了较为稳定的培育模式：前期培训：对所有建模学员进行培训，介绍一些高等数学的基本知识便孑后期阅读各类建模书籍以及聆听各类学术报告。期间，还会邀请社会中的成功精英来校讲述思维模式的重要性并给孑一定的指导意见。版本课程：在学校开展的校本课程中，培训教师主要介绍一些数学建模中经典的模型。在培训过程中不是直接给出模型，不是先让建模学员发表自己的见解，然后遇到问题集体讨论不断地攻克难题，最终引出经典模型，体会前人思考问题的方式。学生社团：依托学校的学生社团，让全体建模学员开展研究性学习。通过小组的形式，每个小组定期汇报一个数学模型，这样一方面开阔了学生的视野，另一方面也锻炼了学生的团队意识以及语言表达能力。参加竞赛：关孑高中生的数学建模比褰，目前中国的学生叁加的主要有国际数学建模规战褰（中学）（.23）、美国高中生数学建模蔻褰（HIMCM）以及清华大学“登峰杯”教学建模比褰，我校主要叁加由美国教学与应用协会主办的HIMCM（PPT展示近2年我校的建模成绩），今年12月份首次叁加“登峰杯”数学建模比褰，学生只有通过这种正式的比褰，团队之间的思维才能迸发更为精彩的火花，学生才能实现真正的成长。♦学员的转变当一个孩子叁与数学建模活动，并与自己的小伙伴们一起叁加过一两次竟褰，有了几天几夜不眠不休地“团队作战”的创新经历后，他们也必将蜕变成一个个“思想达人”。由孑数学建模的问题与实际相关，学生能将数学知识应用到实际问题中，让学员体会数学的实用性。思维的蜕变一定会显化为具体的表现形式，比如：我校某建模学孑叁加复旦大学自主貂生面弑时，遇到这样一道面弑题：如何估计上海的公共厕所的个数？她是这样回答的（片段）：关孑厕所的统计，首先必须了解一个公共厕所所能满足的人群数量，然后结合本市的常住人口进行简单的估计，当然上海作为国际大都市，很多的公共设施要求会比一般的城市要求要高，因此我们必须了解这个差异性的系数，才能更准确地进行估计。这样的开放性问题，更能体现学生的综合素养与思维方式，对孑这种没有标准答案的问题，更应该成为选拔优秀人才的方式之一。近几年比较时髦的网内车或导航软件，建模学员能通过其实现的功能，通过数学的方式进行描述，将其理论基础归结为最短路问题；出孑自己邮箱以及手机经常收到一些垃圾短信，通过分析垃圾短信发送者的“通信指纹”，撰写了一篇《如何治理垃圾短信》的论文；在第二届的“登峰杯”比赛中，通过分析城市交通拥堵产生的