线性代数3学分2方阵的特征值与特征向量

性质2.设是矩阵A的特征值,(x)=aax a

定理:若1 ,n是矩阵A的所有特征值,(x)是个一元多 (x)a a ma k 则

则(1), 是矩阵A的特征值(k1);()是矩阵多项式A)的特征值当A可逆时,则1是逆阵A-1的特征值;()是(A)的特征值.,证:存在0使得A.,.A2AA)A 类似A3AA22A...所以Ak 所以k是矩阵Ak的特征值(k....类似可证A)()所以()是矩阵多项式A)的特征...,,若A可逆则0.否则0.而A 所以A.,,.但是A可逆所以.A A1A..所以A11所以1是A-1的特征...类似可证A).

(A)(1 (n例2.设3阶矩阵A的特征值为1,1,2.求|A*3A2E| AA*|A| A可逆 这是因为|A|1(1)22所以A*|A|A1..令(x)2x13x2则A2A13A2EA*3A...A)的特征值分别是(1)1,(1)3,(2)..所以|A*3A2E|13)3..性质3.设1,2, 特征向量1im,则p,p, ,p线性无关.. 所以()是A)的特征

根据这个结论我们知道属于不同特征值的特征向量线性无关例3.(Ex9)设A23A2E0.证明A的特征值只能1或

例 .证:设0是矩阵A的特征值令(x)x23x...,, 所以(0.所以232

证 反证法.否则A(p1p2)(p1p2)对某个,所以(1p12p2因为p1p2线性无关,所以12所以1 例5(Ex10设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值证 .所以只要证|AE|.|AE||AATA||(EAT)A||EAT||A.|A||EA||AE..所以|AE|.小结求矩阵特征值与特征向量的步骤计算的特征多项式|A–E|求特征方程|A–E|=0的全部根1,2,,n,也就是的全部特征值对于特征值i,求齐次方程组(A–iE)X=0的非零解也就是对应于i的特征向量(重点

§3相似定义.A,Bn阶矩阵,P,P1AP则称AB相似.若存在对角矩阵,使得A和对角矩阵相似,则称A可对角化.阵,如果矩阵可对角化,我们就可以利用这个对角矩阵去研究

11

0,(x)是x的一元多项式利用特征值求行列式

n ( 0 则P1AkP ,P1(A)P k

() n n定理n阶矩阵AB相似AB的特征多项式相同,从而A与B有相同的特征值,有相同的行列式.相似矩阵也有相同的秩.注意相似矩阵的特征向量不相同.证:P,P1AP所以|BE||P1APE||P1APP1(E)P.|P1(AE)P||P1||AE||P||AE.

结论f(|AE|为矩A的特征多项式则矩A的多项式f(A)=0.注意f(A≠|AAE 的,但是如果矩阵A可对角化, 0

设APP1,其中

,f()|AE| 0

推论.若n阶方阵A与对角阵 相似

n

f n 则 ,证

An个特征值

则f(A)Pf()P1P

P1P0P1..,, ..,,.,,所以 n是A的n个特征.,,

f(n)矩阵可对角化的几个判别准则定理1.n阶矩阵A可对角An个线性无关的特征向量.,证:" 设App1inp ,p线性无.,

结论:若p1 ,pn是n阶矩阵A的线性无关的特征向量,...对应的特征值是i令P(p1 ,pn 则P可,...且 0且 i .令P(p ,.

P1AP . 则P可.)

nAPA(p1 ,pn)(Ap1 ,Apn)(1p1,

推论.n阶矩An个互不相等的特征值,A可对角化npn

0 0

注意这个判别准则不是充要条件 (

P

证 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 n 0

n

根据条件知道An个互不相等的特征值,所以A有n个线性无关的特征向量. 所以P1AP .反之，把证明过程逆一下就可以 n

,

..

R(A1E)R(A2E).1. 1 1 设0是矩阵A的特征值则A0EX0的解集的秩称为0

A1E xE

x x定理2.设 的解集的秩为rinR(AiE).则A可对角化nr1

10111001 10111001. 1.的几何重数=的代数重数1i

x

所以RA1E) 1

0例1.设A

r r 2 1r r 2 1

1 0

AE

x2 2

1..|AE

1

1

., .,

x

R(A1E)R(A2E).R(A2E)1x10x.所以矩阵A的所有的不同的特征值为

1

12

0 0

x 0性质.若P(p p)可逆,App,

AP

例

i

已知A 3与B 0相似.求x,y.并求一 n

5 6 设A可对角化,求可逆矩阵P(不唯一),使得P1AP为对角矩阵求出矩阵A的所有特征值.设|EA|() (

可逆矩阵P,使得P1AP解:矩阵A的所有特征值为1,y, ),其中ij(ij则i的代数重数为 对1is,求出(AE)X0的基础解系:

2151y|AE|

|AE| 3令P

11 ,

,

s1 ,

),则 |A6E|

s

P中列向量的排列是对应

0|A6E

3按第二列展开5(4 0 0

x

求得

s

y对于1,解方程AEX

对于26,解方程A6EX

1

1

r

1

1

A6E 3

3

4

AE

3E 3

r

01

4

0

4

0

1

所以x1x3

r

1 15

1

41 31x 1

0

2 令x0 求得x12

令p1

4 0

1 4 03

1x2

0

4令

求得x1

令p0

x1 x3

x

3x3 1

所以

令p 1

令x31,求得

4 x x

x

1

4

nnP1AP0,pn是n阶矩阵A的线性无关的特征向pi对的特征值是i令P(p1 ,pn)则P可逆3.若p1同的行列式,相同的秩.注意相似矩阵的特征向量不