高考数学立体几何含答案

2018高考数学立体几何答案1.（本小题14分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B−CD−C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．【解析】（1）在三棱柱ABCABC中，QCC平面ABC， 111 1四边形AACC为矩形．又E，F分别为AC，AC的中点， 1 1 11ACEF，QABBC，ACBE，AC平面BEF．1AA，AC，11A1AA，AC，11AC，1BB的中点，AB=BC=5，AC=1AA=2．1又CC平面ABC，EF平面ABC．1QBE平面ABC，EFBE．如图建立空间直角坐称系Exyz．由题意得B0,2,0，C1,0,0，D1,0,1，F0,0,2，G0,2,1，uuur uurCD=2,0,1，CB=1,2,0，设平面BCD的法向量为na,b,c，uuurnCD0 2ac0uur ， ，nCB0 a2b0令a2，则b1，c4，平面BCD的法向量n2,1，,4，uur uur uur nEB 21又Q平面CDC的法向量为EB=0,2,0，cosnEBuur= ． 1 nEB 2121由图可得二面角BCDC为钝角，所以二面角BCDC的余弦值为． 1 1 21（3）平面BCD的法向量为n2,1,4，QG0,2,1，F0,0,2，uuur uuur uuurGF=0,2,1，nGF2，n与GF不垂直，GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，GF与平面BCD相交2．（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：PEBC；求证：平面PAB平面PCD；求证：EF∥平面PCD．【解析】（1）QPAPD，且E为AD的中点，PEAD，Q底面ABCD为矩形，BC∥AD，PEBC．（2）Q底面ABCD为矩形，ABAD，Q平面PAD平面ABCD，AB平面PAD，ABPD．又PAPD，QPD平面PAB，平面PAB平面PCD．（3）如图，取PC中点G，连接FG，GD．1QF，G分别为PB和PC的中点，FG∥BC，且FGBC，21Q四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，ED∥BC，DEBC，2ED∥FG，且EDFG，四边形EFGD为平行四边形，EF∥GD，又EF平面PCD，GD平面PCD，EF∥平面PCD．3．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.证明：平面PEF平面ABFD；解答：（1）E,F分别为AD,BC的中点，则EF//AB，∴EFBF，又PFBF，EFPFF，∴BF平面PEF，BE平面ABFD，∴平面PEF平面ABFD.（2）PFBF，BF//ED，∴PFED，又PFPD，EDDPD，∴PF平面PED，∴PFPE，设AB4，则EF4，PF2，∴PE23，过P作PHEF交EF于H点，由平面PEF平面ABFD，∴PH平面ABFD，连结DH，则PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角，232由PEPFEFPH，∴PH 3，4PH3而PD4，∴sinPDH，PD 4∴DP与平面ABFD所成角的正弦值3.344．（12分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点．证明：PO平面ABC；若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．2连结OB．因为ABBCAC，所以△ABC为等腰直角三角形，21且OBAC，OBAC2，由OP2OB2PB2知POOB，2由OPOB,OPAC知PO平面ABC．uuur（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．【解析】（1）因为，为的中点，所以，且，PAOCBM4APCPACOACOPAC23OP由已知得O0,0,0，B2,0,0，A0,2,0，C0,2,0，P0,0,23，AP0,2,23，uuur uuur取平面PAC的法向量OB2,0,0，设Ma,2a,00a2，则AMa,4a,0，设平面PAM的法向量为nx,y,z．由uuAPurn0，uuuAMrn0，得2axy243zay00，可取n3a4,3a,a， uuur 23a4uuur3cosOB,n ，由已知得cosOB,n，23a423a2a22 23a4 3 4 ，解得a4（舍去），a，23a423a2a2 2 3 83434 uuuruuur3n3,3,3，又QPC0,2,23，所以cosPC,n4．33所以PC与平面PAM所成角的正弦值为．45．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD»所在平面垂直，M是CD»上异于C，D的点．证明：平面AMD⊥平面BMC；当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．解答：（1）∵正方形ABCD半圆面CMD，∴AD半圆面CMD，∴AD平面MCD.∵CM在平面MCD内，∴ADCM，又∵M是半圆弧CD上异于C,D的点，∴CMMD.又∵ADIDMD，∴CM平面ADM，∵CM在平面BCM内，∴平面BCM平面ADM.（2）如图建立坐标系：∵S 面积恒定，∴MCD，V 最大.MABCM(0,0,1)，A(2,1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，D(0,1,0),ur r设面MAB的法向量为m(x,y,z)，设面MCD的法向量为n(x,y,z)，uuur111222MA(2,1,1)，MB(2,1,1)，MC(0,1,1)，MD(0,1,1)，2xyz0ur 1 1 1 m(1,0,2)，2xyz0 1r1 1同理n(1,0,0)，， 1 5 25∴cos，∴sin.6.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.7.(本小题满分13分)如图，AD∥BC且AD=2BC，ADCD,EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG平面ABCD，DA=DC=DG=2.若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；求二面角EBCF的正弦值；若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.【解析】依题意，可以建立以D为原点，uuuruuuruuur分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D0,0,0，A2,0,0，B1,2,0，C0,2,0，E2,0,2，F0,1,2，G0,0,2，M0,3,1，N1,0,2．2 uuur uuur依题意DC0,2,0，DE2,0,2．uuurnDC02y0设n0x,y,z为平面0不妨令z–1，可得n1,0,1．0又uMNuuur1,-32,1，可得MNuuuurn00，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．uuur uuur uuur依题意，可得BC–1,0,0，BE1,2,2，CF0,1,2．uuur x,y,z为平面BCE的法向量，则nBCuuur0即x0 ，设n nBE0 x2y2z0不妨令z1，可得n0,1,1．设mx,y,z为平面BCF的法向量，则mm不妨令z1，可得m0,2,1．mn310uuurBC0 x0uuur 即 ，BF0 y2z010因此有cosm,n ，于是sinm,n．mn 10 1010所以，二面角E–BC–F的正弦值为．10设线段DP的长为hh0,2，则点P的坐标为0,0,h，uuur uuur可得BP1,2,h．易知，DC0,2,0为平面ADGE的一个法向量，uuuruuur uuuruuur BPDC 2故cosBPDCuuuruuur，BPDCh25 2 330,2．由题意，可得 sin60，解得hh25 2 3所以线段DP的长为3．38．（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．解答：（1）∵ABBB2，且BB平面 1 1∴BBAB，∴AB22. 1 1同理，ACAC2CC2(23)21213.过点C作B的垂线段BB于点G，则CGBC2且BG1，∴BC5.1 1 1 1 1 11在ABC中，AB2BC2AC2， 11 1 11 1∴ABBC，①1 11过点B作AA的垂线段交AA于点H.1 1 1则BHAB2，AH2，∴AB22. 1 1 11在ABA中，AA2AB2AB2， 11 1 1 11∴ABAB，②ABBCB，AB平面ABC，BC平面ABC， 11 11 1 11 111 11 111∴AB平面ABC. 1 111（2）过点B作AB的垂线段交AC于点I，以B为原点，以AB所在直线为x轴，以BI所在直线为y轴，以BB所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Bxyz.1则B(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,2)，C(1,3,1)，r1 1设平面ABB的一个法向量n(a,b,c)，ruuur1则nruABuur02a0，令b1，则nr(0,1,0)，nBB02c01uuuurruuuur 3 39又∵AC(3,3,1)，cosn,AC .11 113 13由图形可知，直线AC与平面ABB所成角为锐角，设AC与平面ABB夹角为. 1 1 1 139∴sin.139．（本小题满分14分）在平行六面体ABCDABCD中，AAAB,ABBC．11111111求证：（1）AB∥平面ABC；11（2）平面ABBA平面ABC． 11 1【解析】（1）在平行六面体ABCDABCD中，AB∥AB．因为AB平面ABC