求数列通项公式

关于求数列通项公式第一页，共三十三页，编辑于2023年，星期二学习目标在了解数列概念的基础上，掌握几种常见递推数列通项公式的求解方法理解求通项公式的原理体会各种方法之间的异同，感受事物与事物之间的相互联系第二页，共三十三页，编辑于2023年，星期二例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。

已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。一、观察法第三页，共三十三页，编辑于2023年，星期二1、写出下列数列的一个通项公式:(1)

9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意观察各项与它的序号的关系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)

这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,···联系练习：第四页，共三十三页，编辑于2023年，星期二注意：（1）这种做法适用于所有数列；（2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.二、公式法（利用an与Sn的关系或利用等差、等比数列的通项公式）第五页，共三十三页，编辑于2023年，星期二练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an二、公式法（利用an与Sn的关系或利用等差、等比数列的通项公式）an=S1

(n=1)Sn－Sn－1(n≥2)解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遗漏n=1的情形哦！当n=1时,a1=1不满足上式

因此an=1

(n=1)4n

－2(n≥2,)第六页，共三十三页，编辑于2023年，星期二第七页，共三十三页，编辑于2023年，星期二3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+•••+nan=3n+1,求通项an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范围∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）

nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1时,a1=9（n≥2）两式相减得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）第八页，共三十三页，编辑于2023年，星期二例3.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通项an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2

－a1=1a3

－a2=2a4

－a3=3•••an－an－1=n

－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+•••+(a2

－a1)+

a1

=(n－

1)+(n

－2)+•••+2+1+1三、累加法(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列)n个等式相加得a1=1an+1－

an=n(n∈N*)（1）注意讨论首项;(2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式第九页，共三十三页，编辑于2023年，星期二求法：累加法练习：第十页，共三十三页，编辑于2023年，星期二四、累乘法

(形如an+1=f(n)•an型)例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,

求{an}的通项公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan第十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期二练习1：类型四、累乘法形如的递推式第十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期二四、累乘法适用于an+1=anf(n)型的递推公式

练习2第十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期二五、迭代法例5.已知{an}中,an=3n－1+an－1,(n≥2),a1=1,求通项an.解:∵an=3n－1+an－1(n≥2)∴an=3n－1+an－1=3n－1+3n－2+an－2

=3n－1+3n－2+3n－3+an－3=3n－1+3n－2+3n－3+···+3+

a1=3n－1+3n－2+3n－3+···+3+1=3n

－12

特点逐项代换(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列)第十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期二六待定系数法（构造法）例6：解：由题意可知：an+1+1=2(an+1)所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.所以an+1=2n,即an=2n-1第十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期二反思：待定系数法如何确定x？待定系数法：令an+1+x=p(an+x)即an+1=pan+px-x根据已知x=所以数列{}是等比数列.第十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期二类型七、相除法形如的递推式例8：第十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期二【变式迁移】已知数列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列｛an｝的通项公式.

解：（1）方法1：（构造法）因为a1＝5且an＝2an－1＋2n－1，所以当n≥2时，an－1＝2（an－1－1）＋2n，所以

，所以

，第十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期二所以是以为首项，以1为公差的等差数列.方法2：（代入法）因为a1＝5,n≥2时，所以，所以是以为首项，以1为公差的等差数列.（2）由（1）知,所以an＝（n＋1）2n＋1.第十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期二第二十页，共三十三页，编辑于2023年，星期二第二十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期二

练习.

已知数列{an}中a1=2，an+1=4an+

求数列{an}的通项公式。反思第二十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期二例9：八取倒法形如的递推式第二十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期二练习第二十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期二形如的递推式例10：八取倒法第二十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期二第二十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期二第二十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期二第二十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期二第二十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期二第三十页，共三十三页，编辑于2023年，星期二求数列的通项公式类型方法1、已知前几项观察法2、已知前n项和Sn前n项和法3、形如的递推式累加法4