第八讲竞赛培训讲稿统计检验随机模型演示文稿

第八讲竞赛培训讲稿统计检验随机模型演示文稿1当前1页，总共73页。2优选第八讲竞赛培训讲稿统计检验随机模型当前2页，总共73页。确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型当前3页，总共73页。§1简单的随机性模型一、取球问题

问题：盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时从盒中任取3个，用后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。

分析：第二次取球是在第一次比赛之后，所以当第二次取球时盒中就不一定有9个新球了，因为第一次用的3个球可能有0、1、2、3个新球，所以第二次全取新球直接受这四种可能性的影响，可用全概率公式求解。当前4页，总共73页。设A表示“第二次取出的球都是新球”的事件；

（i＝0,1,2,3）表示“第一次比赛时用了i个新球”的事件

则由题意得：

|

于是由全概率公式|

当前5页，总共73页。二、电能供应问题

问题：某车间有耗电为5KW的机床10台，每台机床使用时是各自独立地且间隙地工作，平均每台每小时工作12min。该车间配电设备的容量为32KW，求该车间配电设备超载的概率。

每台耗电量为5KW，而配电设备容量为32KW，显然，有七台或七台以上的机床同时工作时，设备会发生超载现象。下面求出现这种现象的概率。

观察10台完全相同的机床在同一时刻的工作情况与观察一台机床在10个时刻的工作情况是一样的。我们关心的问题是机床是否正在工作。

当前6页，总共73页。

对于任一时刻，机床要么工作，要么不工作，只有两个结果，而10台机床的工作是相互独立的，每台机床正在工作的概率相同且，这是

贝努利概型；

所以由二项分布知，“在同一时刻不少于七台机床同时工作”的概率

可见，该车间设备超载的可能性—概率是非常小的。

当前7页，总共73页。三、客车停站问题

问题：一辆送客汽车载有20位乘客从起点站开出，沿途有10个车站可以下车，若到达一个车站没有乘客下车就不停车，设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。设随机变量X表示停车次数则由题意可知：

因为每位乘客在每一车站下车是等可能的，所以每一位乘客在第i站不下车的概率为，

当前8页，总共73页。于是20位乘客在第i站都不下车的概率为，

在第i站有人下车的概率为；

所以从而得汽车平均停车次数：

当前9页，总共73页。

四、蒲丰(Buffon)投针问题

问题：平面上画有等距离为的一些平行线，向此平面任投一长为的针，试求此针与任一平行线相交的概率。

有两种可能：针与这些平行线中的某一根相交，或都不相交。

没有理由认为这两种可能性是一样大的，故用古典概型无法求解。用几何概率去解决。以M表示针落下后的中点，表示中点M到最近一条平行线的距离，

表示针与平行线的交角，如图当前10页，总共73页。那么基本事件区域它为平面上的一个矩形，其面积为：

为使针与平行线（这线必定是与M最近的一条平行线）相交，其充要条件是当前11页，总共73页。显然A是中的一个区域，如图

而A的面积为,当前12页，总共73页。从而所求概率为当前13页，总共73页。§2报童的卖报问题

问题：报童每天清晨从邮局购进报纸零售，晚上卖不出去的退回，设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，当然应有a>b>c。请你给报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。

当前14页，总共73页。

分析：报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够买的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的，因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入。

假设报童已经通过自己的经验或其它渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)，（r＝0,1,2,…）。当前15页，总共73页。

设报童每天购进n份报纸，因为需求量r是随机的，r可以小于n、等于n或大于n；由于报童每卖出一份报纸赚a－b，退回一份报纸赔b－c，所以当这天的需求量r≤n，则他售出r份，退回n－r份，即赚了(a－b)r，赔了(b－c)(n－r)；而当r〉n时，则n份全部售出，即赚了(a－b)n。

记报童每天购进n份报纸时平均收入为G(n)，考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以当前16页，总共73页。问题归结为在f(r)、a、b、c已知时，求n使G(n)最大。

通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量，这时f(r)转化为概率密度函数P(r)，这样(2-1)式变为：

计算

当前17页，总共73页。使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足(2-3)所以(2-3)式可变为

当前18页，总共73页。即有

根据需求量的概率密度P(r)的图形（如图）很容易从(2-4)式确定购进量n。

在图中，用分别表示曲线P(r)下的两块面积，则(2-3)式又可记作：

因为当购进n份报纸时：是需求量r不超过n的概率，即卖不完的概率；

当前19页，总共73页。是需求量r超过n的概率，即卖完的概率；

所以(2-3)式表明：

购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a－b与退回一份赔的钱b－c之比。

显然，当报童与邮局签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。

例如：若每份报纸的购进价为0.15元，售出价为0.2元，退回价为0.12元，需求量服从均值500份均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能平均收入最高，这个最高收入是多少？当前20页，总共73页。解：按(2-4)式，

因为a－b＝0.05b－c＝0.03,

r～N(

其中μ＝500,σ＝50查表可得n＝μ＋0.32σ＝516即每天购进516份报纸。

按照(2-2)式，可得最高收入G≈23.484元当前21页，总共73页。

问题：

·人群中有病人（带菌者）和健康人（易感染者）.·任何两人之间的接触是随机的.·当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的.·通过实际数据或经验掌握了这些随机规律.

怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大？

§3传染病的随机感染—

一个完整的建模介绍当前22页，总共73页。

模型假设注：符号说明当前23页，总共73页。

排列与组合，概率计算

随机变量与分布函数，离散型随机变量的分布律二项分布预备知识建模时可能用到的一些物理定律、数学公式或方法等建模目的是寻找健康人中每天平均被感染的人数与已知参数的关系.

模型分析当前24页，总共73页。

模型建立利用二项分布的性质并注意到人群总数为n,有记假设2中任何二人接触的概率为—一健康人与一名指定病人接触的概率。

一健康人每天接触的人数服从二项分布.

（2）

再记一健康人与一名指定病人接触并感染的概率为（3）当前25页，总共73页。

模型建立…(4)一健康人（每天）被感染的概率

当前26页，总共73页。

模型建立与求解为了得到简明的便于解释的结果，需对（4）式进行简化。…（7）最后得到…（8）…（9）方法、推导当前27页，总共73页。

模型求解—数据处理当前28页，总共73页。

模型解释—结果分析当前29页，总共73页。

模型评注（模型推广、或模型优缺点）当前30页，总共73页。

模型评注注:参赛论文除摘要外，还要附上参考文献、程序、数据处理情况等当前31页，总共73页。§4为什么航空公司要超订机票1．问题介绍

你备好行装准备去旅行，访问NewYork城的一位挚友。在检票处登记之后，航空公司职员告诉说，你的航班已经超员订票。乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。航空公司一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实际乘坐那个航班。因而，大多数航空公司超员订票?也就是，他们办理超过飞机定员的订票手续。而有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的航班。航空公司安排延误乘客的方式各有不同。有些得不到任何补偿，有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。AirlineOverbooking

当前32页，总共73页。1．问题介绍

根据当前情况，考虑超员订票问题：·航空公司安排较少的从A地到B地航班·机场及其外围加强安全性·乘客的恐惧·航空公司的收入迄今损失达数千万美元建立数学模型，用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最优订票策略，就是说，航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数，使得公司的收入达到最高。确保你的模型反映上述问题，而且考虑处理“延误”乘客的其他办法。此外，书写一份简短的备忘录给航空公司的CEO（首席执行官），概述你的发现和分析。AirlineOverbooking

当前33页，总共73页。1．问题介绍2．记号——某次班机的飞行费用,

——飞行中飞机所载旅客数,——每一旅客所偿付旅行费,

——飞行飞机的容量,

——对于一次飞行来说“未到”旅客的人数,

——k人未到的概率,

——某次班机订票的人数,S——飞行所产生的结余（利润）

当前34页，总共73页。

——留下（例如挤掉）一名已订票旅客的耗费,

——订票旅客到达的概率,——一次班机售出的低费票数目,——低费票相对于全费票的低费率。

2．记号当前35页，总共73页。3．模型建立

一、首次尝试

若一次飞行载有个旅客，则产生的结余应为￡，这里￡g是每一个旅客所付的费用，十分明显，这个简单的模型有我们所期望它的那种特性，当所载旅客数增加时，利润相应增加，

能够取得的最大利润是￡（），其中是飞机的旅客容量。

这里有一个奇点，在奇点处，正好由所载旅客所支付抵消了飞行费用，此时，比此更少的载客飞机将赔钱。所有这些都是所期望的。

当前36页，总共73页。

观察这个简单模型有：为了取得尽量多的利润，航空公司把目光盯在填满每次飞行上。一旦接受订票为，飞机视为满载，不能再接受更多的订票。

但问题又出来了：某些旅客也许会在飞机起飞时未到达现场，对于客机来讲，标准条件下，对于全费旅客的这种行为可以不受惩罚，他们可以迟到，并且其机票对另一次飞行来说仍有效，而对于某些其它客舱的旅客来讲，却没有这种优惠，下面我们将这点考虑在内。不能到达的每一个旅客在某种程度上都有潜在的经济损失。这种旅客在生意上被称为“未到”。当前37页，总共73页。

二、一个较好模型

让我们以下列方式来改进上述提出的简单模型假定人“未到”的概率为，而表示某次航班订票的旅客数，且允许超过，当有人有未到时，航空公司将从飞行中得到的利润为：

当前38页，总共73页。[载有m-k个旅客时的结余]

对于此次飞行来讲，未到的旅客人数为一种偶然事件，因此，所获得利润的适当表达方式为期望利润，我们用表示之，则有：当前39页，总共73页。

若m≤N，则第一个和式不出现，而由下降为零的第二个和式给定，显然，订票上机的旅客数也许由于需求缺乏而很小。在这种情况下，航空公司不需要确定多少旅客订票或超订多少，而我们所要考虑的问题是超过供应情况下航空公司的表现行为。现假定为这种情况，且无论航空公司设置多高的订票水平m，都可以完成预订。这相当于白天航线的情形。

当前40页，总共73页。现在我们能将（2）改写为：当前41页，总共73页。

因此，我们可以看到，因为带有和式的那部分全为正，要取得接近于期望利润的最大值，唯一方法是减少一切0<j≤N时的而使之尽可能接近于零。

如果订票水平m超过N，将可实现这一情况。实际上，当订票旅客数增加时，“未到”任何大数的概率减小。当前42页，总共73页。

这个模型告诉我们，要订票旅客数不肯定出现而事实上出现的情况下，航空公司实际上将会超订，以便取得接近于满载飞机时的理论极大期望利润值。在这个模型中未考虑因飞机客容量而多次超订带来的后果，实际上，这种策略会导致大量的旅客被所有的飞机抛下，且随着订票水平的增加而加剧。因此，我们得到，为什么航空公司为尽可能多获得利润，而故意超订，但超定并不现实，模型需要进一步的提炼。当前43页，总共73页。三、一个更进一步的提炼

在航空公司超订飞行的情况下，会在机场有越来越多的旅客因飞机容量而不能飞走，这些超员则须移往别处，或者在后续飞机上提供座位，此时，航空公司也许会靠付某种费用给旅客以消民愤；或者，旅客决定坐另一家航空公司的飞机，此时需退票，航空公司要付管理费而造成经济损失，还有，随着名声的败坏使航空公司的公开形象遭受损失。

我们假定，对于订票到达而不能上机的旅客（在商业上称之为“被挤掉者”），不管是以什么形式，航空公司要支付赔偿费￡b。这样就需要建立对于超订带有一定惩罚性的更复杂模型，以便取得较高平均收入总额。当前44页，总共73页。

若到达机场要检票上机的旅客数为，由这次飞行获取利润为：

那么，航空公司由一次飞行获取的平均或期望利润为一个和式，它是所有可能未到人数对应情况下的利润乘以相应概率的和。

当前45页，总共73页。当前46页，总共73页。

是“未到”的数学期望值，用来表示之，则当前47页，总共73页。

现在，我们得到了一个相对复杂些的直接结果，要验证其正确性，检查结果的有效性，并寻找计算错误，常以一两种特殊情况来检验其是否象期望的那样，与此同时，也检查这阶段的计算错误，找出工作的不足。此时，（4）退化为：

例如我们在（4）中令P0=1，（对于一切实k>0，pk=0）来检查一下结果，这相当于旅客不能到达的偶然性为零，即所有订票上机的旅客都到达了。

当前48页，总共73页。

这表明，若飞机客容量为N，m个旅客订了机票，且他们全到，利润将是从满员飞行利润中去掉被挤掉留下的那部分旅客的耗费。在这种情况下，当m=N时，可得到最大平均利润，这与第一个简单模型一致。

为从已提炼了的模型获取更多的东西，对这些概率做出似乎合理的假定是有效力的，也许，最简单的假定莫过于取任一旅客出现的概率为，而“未到”的概率为。

进一步假定旅客到达是相互独立的，这将会有二项分布的：当前49页，总共73页。

当然，这种“未到”为相互独立的假定并不完全有效。事实上，部分旅客会成双或成群到达（或未到）。然而，让我们暂不考虑这种附带的困难，这样会有=qm，而（4）变成：

现在所要做的是如何使平均飞行利润最大。（6）式中，平均利润的表达式依赖于,和N，支付与赔偿费不受航空公司短期控制的影响（这些费用是由IATA来规定的），和N为外部限制，而只有订票水平为航空公司的可控参数。要求出（6）式中部分和，最好由数值方法求解。

当前50页，总共73页。

不过很明显，最优订票水平至少为飞机客容量N。因为由(3a)式可知，时，期望利润退化为：

它是m的一个增函数。

当前51页，总共73页。

（6）式中部分和是的函数，可写一个计算机程序来计算q，N，m给定值下的部分和，由于期望利润是q，m，g，f，b和N的函数，航空公司要求以近似于60%的一个奇异载重因子来计算，也就是假定0.6Ng=f，则

对于客容量为300的一个飞机，假定=0.05，0.1，而，可编程并用计算机计算期望利润，

且我们还可以计算j个或更多个旅客被挤掉的概率：

当前52页，总共73页。

四、再进一步的提炼

假定j个旅客以票价rg订了低价机票，那么，由j个低费旅客和m-k-j个全费旅客产生的利润为：

而k人未到的概率现在为个全费旅客中未到k人的概率，例如飞行期望利润为：

当前53页，总共73页。

这个式子能编程计算而用来解决和N变化的影响，

如果我们对飞行耗费f比全比率费用g的关系做出一个近乎实际的假设，这里的计算困难也可能减小，

当前54页，总共73页。

假定奇点载重时以适当比例混合的全费与低费旅客占了座位60%，从而，当低费旅客比例增时，因偿付全费的旅客比例减少了，全费用基数应相应增加，相应奇异条件就是：

因此，由（10）与此方程结合有等价于（7）的式子：

当前55页，总共73页。同样编程即可用来计算这种情况下的。

现在，模型已被提炼成为这里的一个有充分多变量及参量的式了，并且表达方式实用而清楚。

本文建立了模型却没有给出任何确定的结论，这只因为对许多外部参量没有做进一步的研究而不能定出其确定值。然而，本文着重说明了成功提炼而建立模型的过程，以及用模型来获取定量结果（如：趋势的与直觉的）并组织观察多变量函数参量变化的方法。

当前56页，总共73页。4．进一步建模工作的建议

本文所考虑的正是大量相似问题之一。同样，一个资料拥有者可以公开出借、雇佣或出售，但其必须考察可以实现或不可实现的顾客预订问题。下面列出几个类似问题，要建模还应为这些问题提供丰富的背景材料。

1、旅馆旅馆接受将来订单大大依赖于信誉，他们必须给不能践诺的顾客以很小的惩处。有些旅馆要求付订金以保证较高的旅客到达率（这往往在价格低而住客人较小的旅馆用）；另一些旅馆也许提供较小的长期订票或预付订票；一些所谓讨价还价的间歇处提供较低级住处，根本没有预付一说。我们在此要考虑这种多等级系统的运行情况。当前57页，总共73页。

2．出租汽车公司出租汽车公司有定量的汽车（至少短期内是这样的）以提供给客户，它可以通过降低租金以优惠频繁用车的顾客（主要是团体）；对于较长时间租赁（成周或成月的）也给以降低租金，因为这种生意给出了至少至将来几天都已确定的租赁。尽管某公司可能提供不了太多的汽车给客户，但其往往还是要多预订一些。

3．图书馆图书馆可能购买许多本大众化书籍。特别地，对于学院或大学里教科书的那种情况。为了让学生利用率高些，图书馆就要限制册数，这就需要建立书的利用率模型。房屋租赁当前58页，总共73页。§6

机票预定问题的多阶段决策模型（略）1．问题介绍

对于航空客运来说，旅客所购机票具有一定的有效期，因此当旅客未赶上本次航班时，他可以再乘坐下一次航班，但对于航空公司来说，本次航班不管旅客来多少，它都必须按时起飞，因此航空公司为了提高满载率，往往超额预订机票。当前59页，总共73页。

由此产生了这样的问题，旅客本已订上了某次班机的机票，但当到达机场而在接待室接受检查时，却听到可怕消息；“对不起先生，您的航班已满员，我们将不得不让您乘坐下次班机了”。这种事情常会引起旅客诸多不便甚至怨愤，那么采取什么样的订票方法才能既减少旅客的抱怨，又使得航空公司的经济效益最高呢？

2．问题的分析

由于机场售出的预定票中，有一部分乘客由于个人原因，不能及时登机。这样飞机在起飞时可能并未满员，造成浪费。采取超额订票措施后，在提高满载率的同时，也带来了一个问题：有一部分乘客可能由于飞机满员而无法如期搭乘班机。

当前60页，总共73页。

作为航空公司，要对这部分乘客负责，一般在返还机票费用的基础上，还要支付一定的赔偿费用。这样就造成了航空公司利润的下降。所以，航空公司的利润与票价、乘客人数、“被抛弃”的乘客数、赔偿金额等因素有关。

因此建立航空公司的利润与上述各因素的函数关系，并寻求一种有效的订票方案，提高飞机满载率，减少“被抛弃”乘客数量，对提高航空公司的利润具有现实意义。当前61页，总共73页。3．符号说明：飞机上的座位数：飞行一次的收益：飞机出行一次的费用：第个时间段

：订票过程的总时间：退款数额与票价的比率：一张机票的价格：航空公司对被挤掉的乘客的赔款（含票价）

：表示航空公司的形象值，规定在0～100之间，公众对航空公司的信任程度越高，越大。当前62页，总共73页。4．多阶段决策模型我们考察这样两个问题：

1）、如果对预订不加控制，在预订之前你知道将有多少人订你航空公司的机票吗？

2）、如果乘客要求订票，你是否应该接受订票？

（1）建模的思想我们知道这样一个事实：

如果检票后发现到机场的乘客数目和飞机上的座位数目一样多的话，那么这无疑是最好的。因为它一方面使得航空公司的本次飞行收益达到最大，另一方面它可以避免被挤掉的乘客对航空公司所带来的负面影响

当前63页，总共73页。

而为了做到这些，我们在每一个时间段根据已有的订票数目来预测未来的预期订票数目，并决定是否接受乘客的预订请求，以达到在机场检票时的人数与飞机的容量相当。

（2）模型的假设①乘客在订票时付款，且订票延续

个小时，飞机起飞前2个小时开始