2019版数学大江苏专版：第八章 立体几何与空间向量8.1 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精考试内容等级要求柱、锥、台、球及其简单组合体A柱、锥、台、球的表面积与体积A平面及其基本性质A直线与平面平行、垂直的判定及性质B两平面平行、垂直的判定及性质B空间向量的概念A空间向量共线、共面的充分必要条件B空间向量的加法、减法及数乘运算B空间向量的坐标表示B空间向量的数量积B空间向量的共线与垂直B直线的方向向量与平面的法向量B空间向量的应用B§8.1空间几何体的表面积与体积考情考向分析本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式主要以填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力,广泛应用转化与化归思想．1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2）l3。柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱）S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f（1,3)Sh台体（棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f（1，3）（S上＋S下＋eq\r(S上S下)）h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【知识拓展】1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1）正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球,则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球,则2R＝a;③若球与正方体的各棱相切,则2R＝eq\r(2）a。（2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R,则2R＝eq\r（a2＋b2＋c2）。(3）正四面体 的外接球与内切球的半径之比为3∶1.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1）多面体的表面积等于各个面的面积之和．(√）（2）锥体的体积等于底面积与高之积．(×）（3）球的体积之比等于半径比的平方．（×）(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．（√)（5）长方体既有外接球又有内切球．(×）（6）圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS。(×)题组二教材改编2．［P55练习T3]已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.答案2解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2.3．[P60练习T4]已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为________．答案28题组三易错自纠4．各棱长均为2的正三棱锥的表面积是________．答案4eq\r(3)解析每个面的面积为eq\f(1,2)×2×2×eq\f（\r（3）,2）＝eq\r(3），∴该正三棱锥的表面积为4eq\r(3）.5．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．答案12π解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2eq\r（3)即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝（2R)2π＝12π.6．已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，则该圆柱的体积为________．答案eq\f（a3,2π)或eq\f(a3，π）解析设圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，则当l＝2a时，2πr＝a,∴r＝eq\f(a,2π),这时V圆柱＝2a·πeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a，2π）））2＝eq\f(a3，2π)；当l＝a时,2πr＝2a，∴r＝eq\f（a，π)，这时V圆柱＝a·πeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a,π）））2＝eq\f（a3,π).综上,该圆柱的体积为eq\f(a3，2π）或eq\f(a3，π).题型一求空间几何体的表面积1．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π,则其侧棱长为________．答案eq\f（2\r（3)，3)解析依题意可以构造一个正方体，其体对角线就是该三棱锥外接球的直径．设侧棱长为a，外接球的半径为r.由外接球的表面积为4π，得r＝1,∴eq\r（3)a＝2r＝2，∴a＝eq\f(2\r(3),3）。2．正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm,高是1cm，则它的侧面积为________cm2.答案eq\f(9\r(7），2)解析正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形,上底长为1cm，下底长为2cm,高为正六棱台的斜高．又边长为1cm的正六边形的中心到各边的距离是eq\f(\r(3),2）cm，边长为2cm的正六边形的中心到各边的距离是eq\r（3）cm,则梯形的高为eq\r(1＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r(3)－\f（\r(3)，2））)2)＝eq\f（\r(7）,2)(cm），所以正六棱台的侧面积为6×eq\f（1,2）×（1＋2)×eq\f(\r（7）,2)＝eq\f（9\r（7)，2)（cm2)．思维升华空间几何体表面积的求法（1）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．（2）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．题型二求空间几何体的体积典例（1）(2017·江苏宿迁三模）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上,则三棱锥P－ABA1的体积为________．答案eq\f（9\r（3)，4）解析三棱锥P－ABA1的体积等于三棱锥B－APA1的体积，点B到面APA1的距离为eq\f(3\r(3）,2),△APA1的面积为eq\f(9,2)，故三棱锥P－ABA1的体积为eq\f(9\r（3）,4).（2)（2017·江苏南京三模）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时,三棱锥D－ABC1的体积为________．答案eq\f(1,3)解析几何体展开图如图所示：△ABD∽△ACC1，∴eq\f（BD，CC1）＝eq\f（AB,AC），∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∴AC＝3,CC1＝3，∴BD＝1，则＝eq\f(1，3)×eq\f（1,2)×1×2×1＝eq\f(1，3).思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．跟踪训练(1)(2018届南京一中调研）如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是________．答案eq\f（\r（2），6)解析由展开图，可知该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1,侧棱长也为1，∴该正四棱锥的高h＝eq\r(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3）,2)））2－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2））)2)＝eq\f(\r(2),2)，∴其体积V＝eq\f(1,3）×12×eq\f(\r(2），2)＝eq\f(\r(2)，6)。(2）如图,在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE,△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．答案eq\f(\r(2），3）解析如图,分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG,CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1，2）,AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r（3)，2)，取AD的中点O，连结GO，易得GO＝eq\f（\r(2)，2），∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f（\r(2），2)×1＝eq\f(\r(2），4)，∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝eq\f（1,3)×eq\f（\r（2)，4)×eq\f（1,2)×2＋eq\f(\r（2）,4)×1＝eq\f(\r（2），3)。题型三简单的等积变换典例如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分,那么V1∶V2等于多少？解如图，延长A1A到A2,B1B到B2，C1C到C2,且A1A＝AA2，B1B＝BB2，C1C＝CC2，连结A2C2，A2B2，B2C2，则得到三棱柱ABC－A2B2C2，且延长B1E，C1F，则B1E与C1F相交于点A2。因为A2A∶A2A1＝1∶2，所以＝eq\f（1,8)。又＝eq\f（1，4）＝eq\f(1，4）×eq\f（1，3）＝eq\f（1,12）,所以V1＝7＝eq\f（7，12)，故V1∶V2＝7∶(12－7）＝7∶5.思维升华当所给几何体的体积不容易计算时,可根据几何体的结构特征将其分解成多个体积可求的几何体，或者补形成体积可求的几何体，这种解法就是割补法,割补法求体积体现了转化与化归思想的应用．跟踪训练(2018届灌云高级中学检测)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为eq\r（3),D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为________．答案1解析如图，连结AD，因为△ABC是正三角形，且D为BC中点，则AD⊥BC.又因为BB1⊥平面ABC，故BB1⊥AD,且BB1∩BC＝B,BB1，BC⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD是三棱锥A－B1DC1的高．所以＝eq\f（1,3）＝eq\f（1,3)×eq\r(3)×eq\r(3）＝1。1．若圆锥的轴截面是正三角形,则它的侧面积是底面积的________倍．答案2解析设底面半径为r，则S底面＝πr2，S侧面＝eq\f（1，2）×2πr×2r＝2πr2，所以S侧面＝2S底面．2．（2014·江苏）设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2,若它们的侧面积相等且eq\f(S1，S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f（V1，V2)的值是________．答案eq\f(3，2）解析设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2,则2πr1h1＝2πr2h2,所以eq\f(h1，h2）＝eq\f（r2,r1）。又eq\f(S1，S2）＝eq\f(πr\o\al（2，1),πr\o\al（2,2）)＝eq\f(9，4)，所以eq\f（r1,r2)＝eq\f(3，2）,则eq\f(V1，V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1）h1,πr\o\al(2,2）h2)＝eq\f(r\o\al(2，1），r\o\al（2，2))·eq\f（h1，h2）＝eq\f（r\o\al(2,1),r\o\al(2，2）)·eq\f(r2,r1）＝eq\f(r1，r2）＝eq\f(3,2）。3．已知A,B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O—ABC的体积为eq\f(4，3），则球O的表面积为________．答案16π解析设球O的半径为R，以球心O为顶点的三棱锥的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R，另外一个侧面是边长为eq\r(2)R的等边三角形．因此根据三棱锥的体积公式,得eq\f（1，3）×eq\f(1，2）R2·R＝eq\f（4，3）,∴R＝2，∴S球的表面积＝4π×22＝16π.4．（2013·江苏)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB,AC，AA1的中点,设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________。答案eq\f(1,24）解析由题意可知，三棱锥F－ADE与三棱柱A1B1C1－ABC的高之比为eq\f（1，2）,底面积之比为eq\f(1,4），故V1∶V2＝eq\f（\f(1,3)×\f(1,2）×\f（1,4),1）＝eq\f(1，24).5．(2018届淮安中学质检)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(\r（2)，2),则三棱锥B－AEF的体积为______．答案eq\f（1,12)解析连结AC,BD，易知AC⊥平面BDD1B1，则V三棱锥B－AEF＝V三棱锥A－BEF＝eq\f（1,3)×eq\f（AC,2)×S△BEF＝eq\f(1,3)×eq\f（AC，2）×eq\f（1,2)×EF×BB1＝eq\f（1，3）×eq\f(\r（2）,2）×eq\f(1,2）×eq\f（\r（2）,2)×1＝eq\f（1,12).6．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P—ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．答案20π解析方法一将三棱锥P—ABC放入长方体中，如图（1),三棱锥P—ABC的外接球就是长方体的外接球．因为PA＝AB＝2,AC＝4，△ABC为直角三角形,所以BC＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3）.设外接球的半径为R,由题意可得(2R）2＝22＋22＋(2eq\r（3））2＝20，故R2＝5，则球O的表面积为4πR2＝20π.方法二利用鳖臑的特点求解，如图(2）,因为四个面都是直角三角形,所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等,即PC的中点为球心O，易得2R＝PC＝eq\r(20),所以球O的表面积为4πR2＝20π。7．(2015·江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为________．答案eq\r（7）解析设新的底面半径为r,由题意得eq\f(1，3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8,解得r＝eq\r（7)。8．（2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________．答案eq\f（9，2)π解析设正方体棱长为a，则6a2＝18，∴a＝eq\r（3）。设球的半径为R，则由题意知2R＝eq\r（a2＋a2＋a2)＝3，∴R＝eq\f（3，2）.故球的体积V＝eq\f(4，3)πR3＝eq\f（4，3）π×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，2）))3＝eq\f(9，2）π.9.如图所示,在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．答案(eq\r（2）＋3）π解析根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1），下半部分为圆柱（底面半径为1，高为1)，如图所示．则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为eq\f（1，2)·2π·1·eq\r(12＋12）＋2π·12＋π·12＝(eq\r（2）＋3)π。10．如图所示,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则eq\f(R,r)＝________。答案eq\f(2\r（3)，3)解析由水面高度升高r，得圆柱体积增加了πR2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有eq\f(4，3）πr3＝πR2r.故eq\f（R，r）＝eq\f(2\r（3)，3）。11.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.（1）证明：平面AEC⊥平面BED；（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E—ACD的体积为eq\f(\r（6），3),求该三棱锥的侧面积．（1)证明因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD。因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.而BD∩BE＝B，BD，BE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED。又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED。（2）解设AB＝x,在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f（\r(3），2)x,GB＝GD＝eq\f（x,2）。因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r（3)，2)x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝eq\f(\r（2)，2）x.由已知得，三棱锥E—ACD的体积V三棱锥E-ACD＝eq\f（1,3)×eq\f(1，2）AC·GD·BE＝eq\f（\r(6），24）x3＝eq\f(\r(6)，3)，故x＝2。从而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6）。所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为eq\r（5).故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋2eq\r（5）。12．（2017·南京二十九中调研）如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形,平面PCD⊥平面ABCD，平面PCB⊥平面ABCD，E,F分别为线段CD，PA的中点．（1）求证：EF∥平面PBC；（2)若∠PBC＝eq\f（π，4)，AB＝4,求棱锥P－ABCE的体积．（1）证明取PB中点G，连结FG，CG。∵F为PA的中点，∴FG綊eq\f（1,2）AB.又E为CD的中点，ABCD为正方形，∴EC綊eq\f(1，2)CD綊eq\f（1，2)AB,∴EC綊FG.即四边形ECGF为平行四边形，∴EF∥GC。又EF⊄平面PBC，CG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC。(2)解∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC。同理CD⊥PC，∴PC⊥平面ABCD，∵AB＝4,∠PBC＝eq\f（π,4）,∴PC＝4.∴VP－ABCE＝eq\f（1，3）×4×eq\f（2＋4,2）×4＝16.13．（2014·江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2，体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f（V1,V2）的值是________．答案eq\f（3,2)解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f（9，4)，得eq\f（πr\o\al(2,1），πr\o\al（2，2））＝eq\f(9,4），则eq\f（r1，r2）＝eq\f（3，2）.由圆柱的侧面积相等,得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f（V1，V2）＝eq\f（πr\o\al（2，1）h1，πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f（r1,r2）＝eq\f(3,2)。14．在三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为eq\r(3)的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为________．答案8π解析由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝eq\f(\r(3）,2）×eq\r(3）×eq\f（2,3）＝1，外接球球心到