线性系统的频域分析法之二详解演示文稿

线性系统的频域分析法之二详解演示文稿当前1页，总共144页。（优选）线性系统的频域分析法之二当前2页，总共144页。5-1频率特性5-2典型环节与开环系统频率特性5-3频域稳定判据5-4频域稳定裕度5-5频率特性与系统性能的关系

本章主要内容当前3页，总共144页。5-3频域稳定判据当前4页，总共144页。

F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点都可以在F(s)平面上找到一个相应的点，称为在F(s)平面上的映射。

同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线（为的映射）。基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性一、预备知识——幅角定理当前5页，总共144页。例：辅助方程为：，则s平面上点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点为（0，-j1）,见下图：设辅助函数为：当前6页，总共144页。

令：s从开始沿任一闭合路径Γs（不经过F(s)的零点和极点）顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：零点(-Zi)极点(-Pj)1)–Zi在Γs外。2)–Pj在Γs外。

结论：相角无变化

1)–Zi在Γs内，。(顺时针)2)–Pj在Γs内，。(逆时针)

当前7页，总共144页。

结论：若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点，则当S沿Γs顺时针方向旋转一圈时，F(s)相角有变化（顺时针）：

当前8页，总共144页。幅角定理：

F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路径（Гs）包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线（ГF）顺时针绕原点（Z

–P）圈。即

N=Z-P

（或逆时针绕原点N=

P-Z圈）其中：N为圈数，正、负表示的旋转方向：逆时针为负，顺时针为正。当前9页，总共144页。P---F（S）在Гs内的极点数；Z---F（S）在Гs内的零点数；N---ГF曲线绕其原点逆时针转过的圈数。当前10页，总共144页。Z=0P=1N=Z-P=0-1=-1

例：当前11页，总共144页。Z=3P=1N=Z-P=3-1=2

例：当前12页，总共144页。

1、围线如何取？

为了运用Cauchy定理，在频域内验证系统是否稳定，需要考虑2个问题：

2、围线映射如何取？

思路：1、右半平面取为内部；

2、围线映射取为特征函数。

当前13页，总共144页。二、辅助函数

闭环传递函数记辅助函数反馈控制系统中，G(s)和H(s)是两个多项式之比如果G(s)和H(s)无极点和零点对消,则系统开环传递函数当前14页，总共144页。b)零点和极点个数相同;c)F(s)和G(s)H(s)只差常数1。式中zi

和pi

分别为F(s)

的零点和极点。

由上,辅助函数F(s)具有如下特点:a)其零点和极点分别是闭环和开环特征根;物理系统中开环传递函数分子的最高次幂必小于分母的最高次幂,故F(s)可改写为当前15页，总共144页。辅助函数与开环传函的关系00(-1,j0)F(s)平面围绕(0,0)点的旋转G0(s)平面围绕(-1,j0)点的旋转当前16页，总共144页。F(s)与的关系图。ⅠⅡⅢ当前17页，总共144页。

对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。

我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的，辅助方程也已知。设想：三、乃奎斯特稳定判据1、判据推理当前18页，总共144页。

如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：

N=F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数

=闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。当前19页，总共144页。完成这个设想需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N。并将它和开环频率特性相联系？当前20页，总共144页。2、Nyquist围线①GH在虚轴上无开环极点S右平面Nyquist围线可以分成3部分：1、正半虚轴：映射像为GH(jω)，ω从０变到∞,正好是开环频率特性曲线；2、负半虚轴：映射像为GH(jω)，ω从-∞变到０,正好是开环频率特性曲线关于实轴的对称曲线；0j

ω（1）（2）当前21页，总共144页。3、大半圆弧：当前22页，总共144页。F的绘制:GH(j)和GH(-j)关于实轴对称=-=+=0（3）（1）（2）sL(s)=GH(s)(1)极坐标图(2)原点(3)结论：ω从+∞变到-∞,映射像收缩为一个点，N=M时，为等于开环增益的实轴上的点，其他情况下均为原点。当前23页，总共144页。②

GH在虚轴上有开环极点如果GH在虚轴上有开环极点，通常用半径为无穷小的小半圆弧，避开该点。该小半圆弧的映射像为GH平面上的顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转弧度由系统型数决定，为v个180度。当前24页，总共144页。S平面半径为无限小的右半圆：当前25页，总共144页。(b)对于Ⅱ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的整个圆（顺时针）。所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的右半圆（顺时针）。(a)对于Ⅰ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：

当前26页，总共144页。奈魁斯特路径的第Ⅰ部分的映射是曲线向右移1；第Ⅱ部分的映射对应，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的关于实轴的对称。①由可求得，而是开环频率特性。一般在中，分母阶数比分子阶数高，所以当时，，即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分）辅助方程与开环频率特性的关系：我们所构造的辅助方程为，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：

当前27页，总共144页。②F(s)对原点的包围，相当于对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与对(-1,j0)点的包围的次数一样。③F(s)的极点就是的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是在右半平面的极点数。

根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。当前28页，总共144页。

当时，系统开环幅相特性曲线GH

逆时针包围点的圈数N是位于s右半闭平面开环特征根数P与位于s右半闭平面闭环极点Z之差。当，开环幅相特性曲线GH称作是Nyquist曲线

。

3、奈氏定理当前29页，总共144页。4、稳定性判据

奈氏判据（2）：若开环系统稳定(P=0),则闭环系统稳定的充要条件是：系统开环幅相频率特性曲线不包围(-1,j0)点，否则闭环系统不稳定。

奈氏判据（1）：反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点的圈数

N等于开环传递函数右半s

平面的极点数P,即N=P;否则闭环系统不稳定,闭环正实部特征根个数Z

可按下式确定当前30页，总共144页。奈氏判据有如下特点:

①

应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性。

开环频率特性曲线可以按开环频率特性绘制,也可以全部(或部分)由实验方法绘制;②便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响;③很容易研究包含延迟环节系统的稳定性;④④

奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性。当前31页，总共144页。0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：因开环都是稳定的，即P=0,根据奈氏判据：图（a）之奈氏曲线不包围（-1，j0）点，即N=0，故Z=P-N=0，所以，系统稳定。

图（b）之奈氏曲线恰好穿过（-1，j0）点，系统处于临界稳定。

图（c）之奈氏曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，即N=-2，故Z=P-N=2≠0，所以，系统不稳定。

例5-14

已知下图各系统中开环都是稳定的（即P=0），试根据各图奈氏曲线分析系统稳定性。

当前32页，总共144页。例5-15

一单位反馈系统,其开环传递函数试用奈氏判据判断系统稳定性

解:

开环频率特性为开环幅相曲线为图中的下半圆,当时为图中的上半圆,今P=1,N=1,故系统稳定。当前33页，总共144页。5、开环系统临界稳定时奈氏判据的应用

若开环传递函数G(s)H(s)包含虚轴上的极点,则闭曲线s

应稍作变动,使其不过此极点。例如G(s)H(s)包含积分环节时,习惯上以半径趋于零的半圆在原点右侧绕过这一极点,小半圆通过G(s)H(s)映射到G(s)H(s)平面的象是半径趋于无穷的圆弧。→0jj当前34页，总共144页。[结论]用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于Ⅰ、Ⅱ型系统。但零值极点不包括在右半开环极点的数目中。例1：设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：显然这是1型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。从图上看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，闭环系统是稳定的。当前35页，总共144页。例2:

某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因，所以，闭环系统是不稳定的。当前36页，总共144页。

用奈氏判据判断反馈系统稳定性时,一般只需绘制从0到∞时的开环幅相曲线,然后按其包围临界点圈数N*(逆时针方向包围时,N*为正;顺时针方向包围时,N*为负)和开环传递函数在右半s平面上的极点数P,根据公式

确定闭环特征方程正实部根的个数。

如果Z为零,闭环系统稳定;否则,闭环系统不稳定。当前37页，总共144页。

如果开环传递函数G(s)H(s)包含积分环节,且假定个数为v,则绘制开环幅相曲线后,应从与频率0+

对应的点开始,逆时针方向补画v/4个半径无穷大的圆。当前38页，总共144页。例5-16

一单位反馈系统,其开环传递函数

解:

系统的开环幅相曲线如图示.图中,虚线是按v=2从幅相曲线为0+

点逆时针方向补画的半圆.

由幅相曲线看到,曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈,即N*=-1,而开环传递函数右半s平面的极点数为零,即P=0.因此,闭环特征方程正实部根个数故闭环系统不稳定。试用奈氏判据判断系统稳定性。当前39页，总共144页。例5-17

下述各图所示系统开环都是稳定的，试根据其开环幅相曲线分析各系统的稳定性。

av=1bv=1cv=2dv=3解：因为系统开环都是稳定的，即P=0根据各系统的所含积分环节的个数，故将其开环幅相曲线分别补足1/4，1/4，1/2，3/4个圆，如图所示。

当前40页，总共144页。a，c，d图开环幅相曲线均不包围（-1，0j），故N*=0，所以，

Z=P-2N*=0即它们对应的闭环系统是稳定的。b图开环幅相曲线顺时针包围（-1，0j）一圈，故N*=-1，所以，Z=P-2N*=2≠0即对应的闭环系统是不稳定的。

av=1bv=1cv=2dv=3当前41页，总共144页。例5-18

设某系统的开环幅相曲线如下图所示,给出了半封闭曲线的所有趋势段：

此时，增益K=500，S右半平面的开环极点数P=0。试讨论K在不同范围内取正值时，系统的闭环稳定性，并指出系统在右半平面的闭环极点的个数。ImRe0-50-20-0.05=+0=+当前42页，总共144页。解：首先，由开环幅相（极坐标）曲线可以确定，Nyquist曲线会有无限大圆弧，且为一个整圆，因此，开环传递函数在原点处有2重极点（2个180度），可以记为：

记幅相曲线与负实轴的交点的对应频率（称为穿越频率）分别为、、，且（不必求出）。因此有当前43页，总共144页。当前44页，总共144页。ImRe0=+0=+K1=10-1K2=25-1-1K3=1000系统稳定时，K的取值范围为和。其他情况下，系统在右半平面有2个闭环极点。

当前45页，总共144页。1）绘制极坐标图2）补半圈(的极坐标图)3）,补半径为无穷大的圆弧4）图形围绕旋转的圈数5）P=?判断闭环稳定性利用奈氏判据判别系统稳定性的步骤当前46页，总共144页。一种简易的奈氏判据

（1）正、负穿越的概念G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画部分。所谓“穿越”是指轨迹穿过段。正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用表示。负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用表示。当前47页，总共144页。

正穿越

负穿越当前48页，总共144页。例：当前49页，总共144页。

若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和-1/2次穿越。(－1.j0)0-1+1-1/2+1/2+1/2-1/2当前50页，总共144页。例：当前51页，总共144页。

如果G(jω)H(jω)按逆时针方向绕(-1,j0)一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1,j0)一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈数。故奈氏判据又可表述为：

闭环系统稳定的充要条件是：当由0变化到时，G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为P/2圈。

P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时

Z=P-2N*当前52页，总共144页。若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件应该是N*=0。注意：这里对应的ω变化范围是。当前53页，总共144页。

例:某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性.解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），当前54页，总共144页。

解续：G(jω)H(jω)轨迹在点(-1,j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负穿越，因为：N*=,求得：Z=P-2N*=2-2=0所以系统是稳定系统。当前55页，总共144页。F包围原点(0,0)的周数N=P-Z5)Nyquist围线s

：包围整个右半平面F包围原点(0,0)的周数n=p-z4）围线映射：若s包围F(s)的z个零点和p个极点s平面右半平面没有闭环系统极点，即Z=03)闭环稳定：Z=闭环系统s右半平面极点数P=开环系统s右半平面极点数2)考虑s右半平面F(s)的零极点情况F(s)零点：闭环系统极点F(s)极点：开环系统极点1)F(s)=1+L(s)=1+GH(s)小结：当前56页，总共144页。N=P-Z=P;L逆时针包围(-1,j0)点P周；9)开环系统不稳定：P>0

要求闭环稳定：Z=0N=P-Z=0;L不包围(-1,j0)8)开环系统稳定：P=0

要求闭环稳定：Z=0L包围(-1,j0)的周数N=P-Z7)Nyquist围线s

：包围整个右半平面L等于F整体向左移动1F(0,0)点=L(-1,0)点6)F(s)=1+L(s)=1+GH(s)L(s)=F(s)-1FL(1,0)当前57页，总共144页。11)GH(j)图和GH(-j)图关于实轴对称(1)GH(j)极坐标图(2)(0,0)(3)GH(-j)图10)当s在Nyqusit围线上取值时，L图可以计算绘制出来，正好依托开环极坐标图。=-=+=0（3）（1）（2）GH(j)-GH(-j)当前58页，总共144页。波德图与极坐标图的对应关系稳定A()=1()>-()=-

A()<1L()=0dB()>-

()=-

L()<0dB三、对数频率稳定判据当前59页，总共144页。临界稳定

A()=1()=-L()=0dB()=-当前60页，总共144页。不稳定A()=1()<-()=-

A()>1L()=0dB()<-

()=-

L()>0dB当前61页，总共144页。1、对数频率特性曲线与Nyquist图的对应Nyquist幅相曲线自上而下(相角增加)穿越负实轴区间(-∞,-1)称为正穿越

,用N+表示,自实轴区间(-∞,-1)上开始向下称为半次正穿越;幅相曲线自下向上(相角减小)穿越负实轴区间(-∞,-1)称为负穿越

,用N-

表示,自实轴区间(-∞,-1)上开始向上为半次负穿越

;则幅相曲线对临界点包围的圈数与正负穿越次数差相对应。当前62页，总共144页。

对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同,只不过它按对数幅频和对数相频曲线的相互关系来确定N而已。当前63页，总共144页。伯德图与乃奎斯特图的对应关系：

极坐标图

伯德图单位圆 0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域 0db线以下区域单位圆以外区域0db线以上区域负实轴 -1800线（相频特性图）

【（2k+1）】当前64页，总共144页。伯德图上的正负穿越：

因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。当前65页，总共144页。

当开环传函G(s)H(s)包含积分环节时,在对数相频曲线为0+

的地方,应该补画一条从相角到的虚线,其中v是积分环节数。

计算正、负穿越时,应将补上的虚线看成对数相频曲线的一部分。

由奈氏判据表明：若系统开环稳定（P=0），则ω在（0，+∞）变化时，开环幅相曲线不包围（-1，0j）点，即曲线绕（-1，0j）点的转角为零时，系统闭环稳定。当前66页，总共144页。

幅相曲线不包围（-1，j0）点有两种情况：

1）幅相曲线不穿越实轴上（-∞，-1）区间：2）幅相曲线穿越实轴上（-∞，-1）区间，但正穿越次数N+与负穿越N－次数相等。即在∣G（jω）∣＞1（即20lg∣G（jω）∣＞0）内∠G（jω）对－π线的正、负穿越次数相等。

当前67页，总共144页。比如：

-1P=0第一种情况-1P=0正负第二种情况N+=N－=1

N=N+－N－=0即相当于没有穿越。当前68页，总共144页。第一种情况：不穿越（-∞，-1），故闭环稳定。第二种情况：穿越（-∞，-1）两次，但正、负各一次，故闭环稳定。

若开环不稳定（P≠0），则ω在（0，+∞）变化时，要满足：Z=P－2N*=0系统才能稳定；否则闭环不稳定。注意：G（jω）曲线的起点或终点如果在实轴（-∞，-1）上的穿越则为半次穿越。

当前69页，总共144页。正负穿越小结在乃氏图上，开环频率特性，从上半部分穿过负实轴的段到实轴的下半部分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿过负实轴的段到实轴的上半部分，称为负穿越；起始于（或终止于）段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；在伯德图上，在幅值的区域内，当角频率增加时，相频特性曲线从下向上穿越线称为正穿越；相频特性曲线从上向下穿越

线称为负穿越。当前70页，总共144页。2、对数频率稳定判据

一个反馈控制系统,其闭环特征方程正实部根个数Z,可以根据开环传递函数右半s平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内,对数相频曲线与-1800线的正、负穿越数之差N*=N+-N-

确定。Z为零,闭环系统稳定;否则,不稳定。当前71页，总共144页。例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2）

解：

N+-N-=1-2=-1，不等于P/2（=1）【Z=P-2N=4】,所以，系统不稳定。当前72页，总共144页。例5-19

如下图所示的乃氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。当前73页，总共144页。解：所以系统稳定所以系统不稳定所以系统不稳定当前74页，总共144页。所以系统稳定所以系统不稳定所以系统稳定当前75页，总共144页。例5-20

一反馈控制系统,其开环传递函数

解:

G(s)H(s)有两个积分环节,故在对数相频曲线为0+

处,补画了00到-1800的虚线,作为对数相频曲线的一部分。

显见

试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。根据,P=0.由于,该系统不稳定,闭环特征方程在右半s平面的根数为2。当前76页，总共144页。四、条件稳定系统1、系统参数变化对稳定性影响

若开环增益增加到足够大,以致,那么,系统就由稳定状态变为不稳定状态;如果开环传递系数减到足够小,以致于,那么,闭环系统也由稳定状态变为不稳定状态。

一个反馈系统,若开环传递函数右半s平面的极点数P=0,开环频率特性曲线在开环传递系数(即开环增益)改变时,闭环系统的稳定性将发生变化。

当前77页，总共144页。2、条件稳定78

只有开环传递系数在一定范围内时,N才等于零,闭环系统才稳定。

这一系统的稳定是有条件的,称为条件稳定系统。

对于条件稳定系统来说,输入信号过大时往往会出现不稳定现象。这是由于输入信号过大会引起输出饱和现象发生,导致系统开环传递系数下降。当前78页，总共144页。5-4频域稳定裕度当前79页，总共144页。

0ω

ωg

ωc

j

-1

G(jωc)H(jωc)G(jωg)H(jωg)一、临界稳定

一般情况下,我们考虑开环稳定的系统,则P=0。那么在Nyquist曲线只有不包围(-1,j0)时系统闭环稳定。当幅相曲线经过这点时，系统临界稳定。定义：使得幅相曲线穿越实轴的频率ωg（ωx）为穿越频率。幅频特性为1的频率为截止频率。∠G(jωg)H(jωg)=-180°|G(jωc)H(jωc)|=1当前80页，总共144页。ba-110jr1/h若系统的开环幅相曲线如图：考虑a点：但再考虑b点：但若a点沿着单位圆顺时针转过r角，则同时成立。

若b点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则同时成立。频率域内，稳定系统有2条途径滑向临界稳定，因此，有2个稳定裕度指标。二、稳定裕度当前81页，总共144页。其中，ωg为穿越频率。其定义的含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的h倍，则系统处于临界稳定状态。

0ω

ωg

ωc

j

-1

G(jωc)H(jωc)G(jωg)H(jωg)

h称为幅值裕度

1、幅值裕度h的定义：

幅相曲线上相角为-180°时所对应的幅值之倒数。即（-1，0j）点的幅值与ω=ωg的幅值之比。即：

1h=—————————∣G（jωg）H（jωg）∣

注意：即使h相同，系统的稳定程度也可以不同。当前82页，总共144页。

其中，ωc为系统截止频率（零分贝频率）

。其定义的含义：如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大度，则系统处于临界稳定状态。

γ称为相位裕度2、相角裕度γ的定义：

180°加上开环幅相曲线幅值等于1时的相角。即：

γ=180°＋∠G（jωc）H（jωc）=180°＋φ（ωc）γ的理解：指幅相曲线上幅值等于1的复向量与负实轴的夹角。

当前83页，总共144页。ba-110j1/h

仅用相角裕量或幅值裕量都不能较全面地描述系统的相对稳定性。上述两个系统的暂态响应都是很差的，系统的相对稳定性也很差。-110j1/h当前84页，总共144页。幅值裕度:当

如果系统稳定，L()再向上移动多少分贝系统就不稳定了。如果是系统不稳定，L()再改善多少分贝系统就稳定了。3、在Bode图中求取h和γ

当前85页，总共144页。开环截止频率相角裕度：当

如果系统稳定，()再负多少度系统就不稳定了。如果系统不稳定，相反，()再改善多少度系统就稳定了。当前86页，总共144页。稳定系统ba-110j1/h不稳定系统ba-110j1/h当前87页，总共144页。结论：对于开环稳定系统，系统闭环稳定的条件为：γ＞0，h＞1；且γ和h越大，系统越稳定；否则，γ＜0，h＜1，系统不稳定。注意：（1）只有最小相位系统，当>0，h>1两个条件同时满足时，闭环系统稳定。（2）对于非最小相位系统，不能用>0，h>1两个条件判断闭环系统稳定性。当前88页，总共144页。注意：（3）对于最小相位系统，越大，h越大，系统的相对稳定性越好，但同时考虑系统的动态性能和稳态误差。

工程设计中，一般取：

1）γ=30°～70°（45°最佳）；

2）h≥4～6dB以上；

3）在ωc附近Bode图的斜率控制在-20～

-40dB/dec（以-20较理想）。当前89页，总共144页。解：解法一：

根据G（jω）=k/jω（jω+1）（jω/5+1），在ω∈（0，+∞）内求出相应的∣G（jω）∣和∠G（jω），并分别画出当K=2和K=20时的两条幅相曲线如下图所示。

例5-21

某单位负反馈系统，开环传递函数为：

G（S）=k/S（S+1）（S/5+1），试分别求K=2和K=20时，系统的相角裕度和幅值裕度。

从图中分别读得：当前90页，总共144页。

当：K=2时，γ1≈24°＞0

，

h1=1/∣-0.3∣≈3.33＞1,故此时系统稳定;

K=20时,γ2

≈

－24°＜0，

h2=1/∣-3.2∣≈

0.313＜1,此时系统不稳定;

γ1γ2K=20K=2-2j0当前91页，总共144页。解法二:由G(S)绘制系统的Bode图如下:1520-180°-270°当K=2时,对应∣G（jωc）∣=1时,有∠G（jωc）=-156°，故：γ1=180°+(-156°)=24°

对应∠G（jωg）=-180°时,20lgh1=－20lg∣G（jωg）∣

=-(-10)=10故h1=3.16当前92页，总共144页。同理,当K=20时,对应∣G（jωc）∣=1时,有∠G（jωc）=-204°，故γ2=180°+(-204°)=－24°,

对应∠G（jωg）=-180°时,

20lgh2=－20lg∣G（jωg）∣=-(10)=-10

故h2=0.316可见,当K=2时,系统稳定；当K=20时,系统不稳定。

1520-180°-270°当前93页，总共144页。解：（1）已知P=0，且从图中可知

N=-1，故Z=P-2N=2,所以，闭环系统不稳定；

（2）串入一个1/S后，系统的开环频率特性变为：

0-1．4(ω=5)0．7(ω=250)

-1

-1.3(ω=10)∣G2（jω）∣=∣G（jω）H（jω）∣/∣jω∣=∣G1（jω）∣/∣jω∣∠G2（jω）=-90°+∠G1（jω）

例5-22

某系统开环频率特性G（jω）H（jω）如下，且P=0。1)试判断闭环系统的稳定性；2)若再串入一个积分环节1/S，试重新判断闭环系统的稳定性。

当前94页，总共144页。0-1．4(ω=5)0．7(ω=250)

-1

-1.3(ω=10)其中∣G1（jω）∣和∠G1（jω）分别为原来的幅频和相频特性。

当ω=0时，∣G2（jω）∣=∞；∠G2（jω）=-90°

当ω=5时，∣G2（j5）∣=1.4/5=0.28；∠G2（j5）=-180°

当ω=10时，∣G2（j10）∣=1.3/10=0.13；∠G2（j10）=-270°

当ω=250时，∣G2（j250）∣=0.7/250=0.0028；∠G2（j250）=0°当ω=∞时，∣G2（j∞）∣=0；∠G2（j∞）=-90°

由此,可绘制G2（jω）幅相特性曲线如下:

∣G2（jω）∣=∣G1（jω）∣/∣jω∣∠G2（jω）=-90°+∠G1（jω）

当前95页，总共144页。0-1已知:P=0，且从图中可知N=0，故Z=P-2N=0，所以，闭环系统稳定；

当前96页，总共144页。5-5频率特性与系统性能的关系

当前97页，总共144页。一、开环频率特性与系统性能的关系二、闭环频率特性与时域指标的关系当前98页，总共144页。

常将开环频率特性分成低、中、高三个频段。一、开环频率特性与系统性能的关系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低频段高频段中频段0ωdB

L(ω)ωcω1ω2

三个频段分别与系统性能有对应关系，下面具体讨论。当前99页，总共144页。1．低频段低频段由积分环节和比例环节构成：

G(s)=sKυ对数幅频特性为：ω0KKνKυ=0υ=1υ=2-20υKυG(jωω

)=

)(jL(ω

)=20lgA()ωK=20lgυω=20lgK-v20lgω根据分析可得如图所示的结果：

可知：

曲线位置越高，K值越大；低频段斜率越负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。dB

L(ω)当前100页，总共144页。

2.中频段

穿越频率ωc附近的区段为中频段。它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。(1)穿越频率ωc与动态性能的关系可近似认为整个曲线是一条斜率为

-20dB/dec的直线。设系统如图:-20dB/dec0+20-20开环传递函数：G(s)≈

sK闭环传递函数为：ts≈3T穿越频率ωc

反映了系统响应的快速性。s=ωcss1+ωc(s)=φωc1s+11=ωc=3ωcωdB

L(ω)ωc当前101页，总共144页。(2)中频段的斜率与动态性能的关系设系统如图:-40dB/dec0+20-20开环传递函数：G(s)≈

s2K闭环传递函数为：处于临界稳定状态

中频段斜率为-40dB/dec

，所占频率区间不能过宽，否则系统平稳性难以满足要求。通常，取中频段斜率为-20dB/dec

。

可近似认为整个曲线是一条斜率为

-40dB/dec的直线。s2=ω2c1+(s)=φs2ω2cs2ω2cs2+

=cω2cω2ωdB

L(ω)ωc当前102页，总共144页。例5-23

试分析中频段与相对稳定性的关系。ω1-20dB/dec0ω2-40dB/decω3-40dB/dec(1)曲线如图对应的频率特性:γ=72o～54o设：G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωωω1ω2ω3ωj)=)=-90o-tg-1cc+tg-1c-tg-1(ωφcω1ωω2ωω3ωc==33c2ωωωωc2ωωtg-1=tg-13=72o13c3ωωtg-1=tg-1=18o=-126o)(ωφcωdB

L(ω)ωc可求得:=0

ω1=-108o)(ωφcω1=ω1ω2ω1-20dB/decω1当前103页，总共144页。ω1-20dB/decω2-60dB/decω3-20dB/dec(2)曲线如图-40dB/dec对应的频率特性:同样的方法可得:γ=72o～36o=-108o～-144o)(ωφcωdB

L(ω)ωcω2G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωω1ω2ω3ωj)=2当前104页，总共144页。(3)曲线如图ω1-20dB/dec0ω2-60dB/dec-40dB/dec对应的频率特性:同样的方法可得:γ=18o～-18oω2G(jK(1+j)(1+j)ωωω1ω2ωj)=ωdB

L(ω)ωc=-162o～-198o)(ωφc上述计算表明，中频段的斜率反映了系统的平稳性。当前105页，总共144页。3．高频段

高频段反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频段的分贝值越低，系统的抗干扰能力越强。高频段对应系统的小时间常数，对系统动态性能影响不大。一般即L(ω

)=20lg|G(j)|<<0ω|G(j)|<<1ω≈|G(j)|ω)|=(jωφ|1+G(j)|ω|G(j)|ω|当前106页，总共144页。4．二阶系统开环频率特性与动态性能的关系开环传递函数：ωdB

L(ω)020-20-20dB/decωn2ζ-40dB/decω0-90-180)

(ωφγ平稳性:σ%γ快速性:

ts

G(s)=2s(s+2)ζnωnω)=(jjωnω2G(j+2)ζnωωω)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2)=-90o-tg-12nω(ωφζωcωωc当前107页，总共144页。(1)相位裕量γ和超调量σ%之间的关系得0<ζ<0.707近似为0.20.40.60.81.010203040506070800204060801001201400ζσ%γγσ%)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2cc=1cω42ζnω2cω2nω4+4-=0

=tg-1-22+14ζ4ζ2ζcωnω-2=+14ζ4ζ22=tg-1ζnωcω=180o-90o-tg-12ζnωcωγ=180o+)

(ωφcσ%=100%e-ζζπ1-2=100ζγ)

(ωcγ越大，σ%越小；反之亦然。ζ与γ、σ%之间的关系曲线当前108页，总共144页。根据：

调节时间

ts

与ωc以及γ有关。γ不变时，穿越频率ωc

越大，调节时间越短。得得(2)cω、γ与ts

之间的关系ts=3ζnωcωnω-2=+14ζ4ζ2ts·3=cωζ-2+14ζ4ζ2ts·tg6γcω=

=tg-12γ-2+14ζ4ζ2ζ再根据：当前109页，总共144页。例5-24

分析随动系统的性能，求出系统的频域指标ωc、γ和时域指标σ%、ts。s(0.5s+1)20θr(s)θc(s)-解：(1)随动系统结构如图s(0.5s+1)20G(s)=ωdB

L(ω)020-20-20dB/dec-40dB/decω0-90-180)

(ωφ2可得：=180o-90o-tg-1(0.5×6.3)=90o-72.38o=17.62oγcω0.520≈12=6.3cωγ=180o+)

(ωφcζ=γ/100=0.176=3s=57%cωnω-2=+14ζ4ζ2σ%=100%e-ζζπ1-2tstg6γcω=ωc=6.5当前110页，总共144页。加入比例微分环节1)

τ=0.01θr(s)s(0.5s+1)20θc(s)-s+1τ解：s(0.5s+1)20(0.01s+1)G(s)=ωdB

L(ω)020-20-20dB/dec-40dB/decω0-90-180)

(ωφ2100-20dB/dec可得γ=180o-90o-tg-1(0.5×6.3)+tg-1(

0.01×6.3)=21.22oγζ=γ/100=0.21=6.59σ%=51%ts=2.4scω0.520≈12=6.3cωcωnω-2=+14ζ4ζ2ωc另外所以当前111页，总共144页。2)τ=0.2s(0.5s+1)20(0.2s+1)G(s)=ωdB

L(ω)020-20-40dB/decω0-90-180)

(ωφ25-20dB/dec-20dB/decγ=180o-90o-tg-1(0.5×8)+tg-1(0.2×8)=72oγ由于只能通过闭环传递函数求性能指标。s2+10s+4040(0.2s+1)φ(s)=ζ=0.79σ%=1.7%系统响应加快,稳定裕量增加。=8cω20×0.2≈1cω0.52cωγ＞70o＞0.7ζ(6.45ts=1ζnω-1.7)=0.54sωc当前112页，总共144页。二、闭环频率特性与时域指标的关系

根据开环频率特性来分析系统的性能是控制系统分析和设计的一种主要方法，它的特点是简便实用。但在工程实际中，有时也需了解闭环频率特性的基本概念和二阶系统中闭环频域指标与时域指标之间的关系。当前113页，总共144页。对于单位反馈系统，闭环和开环系统频率特性的关系：

对于一般系统的闭环和开环系统频率特性的关系：对于要求确定系统频带宽度，谐振峰值和谐振频率等性能指标就要求绘制闭环系统的频率特性。对于非单位反馈系统闭环频率特性的绘制，只要经过上述处理即可。当前114页，总共144页。考察开环幅相曲线

求得不同频率对应的闭环幅值和相角后，就可得闭环频率特性，画出闭环频率特性曲线；在工程上常用等M和等N圆图或尼柯尔斯图线，直接由单位反馈系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率曲线。当前115页，总共144页。（一）闭环频率特性曲线绘制的方法(1)等M圆和等N圆1.等M圆图可以作闭环幅频特性曲线。假设开环频率特性和闭环频率特性分别为则有令M为常数，则上式表示为一个圆。当前116页，总共144页。等M圆当前117页，总共144页。等M圆图表明：当时的所有圆均落在直线的左边，且随着M值的增大，M圆越来越小，最后收敛于点；相反，当时的所有M圆均落在直线的右侧，随着M值的减小，M圆也越来越小，最后收敛于坐标原点。当前118页，总共144页。2.等N圆图

应用等N圆作闭环相频特性曲线。令圆心：半径：当前119页，总共144页。等N圆当前120页，总共144页。用等M圆图和等N圆图求闭环幅频特性和相频特性通过开环幅相特性曲线与等M圆图的交点，可以得到相应频率的M值，即闭环幅频值。通过开环幅相特性曲线与等N圆图的交点，可以得到相应频率的N值（或），即闭环相频值。当前121页，总共144页。具体方法：只要在绘有等M圆图簇或等N圆图簇的复平面上，以相同的比例尺绘出系统的开环幅相频率特性，然后由开环幅相曲线和等M圆、等N圆的交点处，分别读得频率值、闭环频率特性的幅值和相角，从而得到系统的闭环幅频特性和闭环相频特性，如下图所示。当前122页，总共144页。当前123页，总共144页。闭环频率特性当前124页，总共144页。(2)尼柯尔斯曲线

尼柯尔斯图线由两簇曲线所组成，一簇是对应于闭环频率特性的幅值()为定值时的轨迹(相当于等M圆)；另一簇则是对应于闭环频率特性的相角()为定值时的轨迹(相当于等N圆)。当前125页，总共144页。尼柯尔斯曲线当前126页，总共144页。按照如下步骤由系