热力学统计物理课后习题答案

第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数a,压强系数。和等温压缩系数q解:已知理想气体的物态方程为pV=nRT由此得到体胀系数anR_1

pV—T1(SP]IIP(ST)' 'VnRpV等温压缩系数KT1(SV) IV(Sp)1.2证明任何一种具有两个独立参量T,P的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得InV=JQdT-kTdp)，如果a=/kt=p，试求物态方程。解： 体胀系数等温压缩系数1(SV)a二——V|ST)p1(SV)K=--I——TV|sp)T以T,P为自变量，物质的物态方程为其全微分为dVW)dT*博Ip Tdp=VadT-VkdpTdV一=adT-kdpTOC\o"1-5"\h\zV t=这是以T,P为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得lnV=JQdT-kdp)T1 1根据题设,若八t'\"-.(1 1 IInV=)一dT-—dp1T p)则有lnV=ln—+C,PV=CTp则有要确定常数C,需要进一步的实验数据.

1.4描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力£，物态方程是(£,L,T)=0,实验通，等温杨氏模量常在大气压下进行,其体积变化可以忽略。线胀系数定义为a=丁，等温杨氏模量一L(dF\定义为丫二7—，其中A是金属丝的截面。一般来说，a和Y是T的函数，对£仅有A(3L)T微弱的依赖关系.如果温度变化范围不大,可以看作常数.假设金属丝两端固定.试证明，当温度由T1降至T2时,其张力的增加为A£二-YAaCW。解:f(£,L,T)=0,£=F£(L,T)解:I5T)LdT+I5T)LdT+I5L)tdL—I5T)LdT(dL=0)15T)l5L)f=—115T)I15T)I5L)aAY…=—La =—YAaLd£=—YAadT所以A所以A£=-YAa(T2-TJ1.61mol理想气体，在27oC的恒温下发生膨胀，其压强由20Pn准静态地降到1Pli，求气体所做的功和所吸收的热量。解：将气体的膨胀过程近似看做准静态过程。 根据W=—JpdV,VA在准静态等温过程中气体体积由VA膨胀到VB,外界对气体所做的功为W=—VBpdV=—RTVBdV=—RTlnVB=—RTInPV V PVA VA A A气体所做的功是上式的负值，—W=—RTlnPB=8.31x300xln20J=7。47x10—3JPA在等温过程中理想气体的内能不变，即AU=0根据热力学第一定律AU=W+Q,气体在过程中吸收的热量Q为 Q=—W=7.47x10—3J1.7在25oC下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为V=18・066-0.715x10—3P+0.046x10—6P2cm*mol—i如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn,求外界所作的功.解：将题中给出的体积与压强的关系记为V=A+BP+CP2由此得到dV=(B+2CP)dP

保持温度不变，将1mol的水从1Pn加压至1000Pn,在这个准静态过程中，外界所作的功为W=-NBp(V=—PBP(B+2CP)dp=一(2BP2+3CP3)|,00=33。1J-moLiVA PA1.11满足PVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明，理想气体在n-丫一多方过程中的热容量为Cn=-4Cn-1V(dU+PdV)<dn厂「^^U(dU+PdV)<dn解：C二lim 解：nAT^0k AT)n理想气体多方过程 PV=RTPVn=CnPdV=- dT=0 nPdV=- dT=0 n—1PVn-1.ndV+VndP=0,nPdV+VdP所以另一方面所以另一方面，理想气体忆C-R1Ck二yLVn-y所以得Cn二mCV ，证毕1.12试证明，理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常量，该过程一定是多方过程。多方指数n=多方指数n=Cn—CpCn—Cv.假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。解：根据热力学第一定律，dU=dQ+dW(1)对于准静态过程有dW=—pdV对于理想气体有dU=CvdT气体在过程中吸收的热量为dQ=CndT则热力学第一定律(1)可表达为(Cn—Cv)dT=pdV用理想气体的物态方程yRT=pV去除上式，以及代入Cp-Cn=yRdT dV得到(Cn—Cv)t=(Cp—Cv)v ⑵dPdV理想气体的物态方程的全微分为万+dPdV理想气体的物态方程的全微分为万+vdT(3)以上两式联立，消去~t~，得(Cn-Cv)-济—(Cn—Cp)v=0(4)Cn—Cp令n= ,Cn—Cv上式(4)表示为

dPdV——+n——=0PV若Cp,Cv,Cn都是常量，将上式积分得PVn=C上式表明，过程是多方过程。1.16假设理想气体的定压热容量和定容热容量之比y是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系.该关系式中要用到一个函数F(T),其表达式为lnFT)=J仆%.解：dV=Tds-PdV, dV=CVdT解：对准静绝热过程， dS=0,得到 CdT=(dV)=—PdV尸CV=R另一方面，理想气体 (Ck二yV且 PV=RT于是，即得到dTRTdV即得到dTRTdVdVdT八V+E=°dInV-F)=0,V-FT)=Const1。21温度为00C的1kg水与温度为1000C的恒温热源接触后，水温达到1000c。试分别求水和热源的熵变，以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从00C升至1000。？已知水的比热容为4.18J-g-1-K-1解：00C的水与温度为1000C的恒温热源接触后，水温达到1000c。这一过程是不可逆过程.为求水、热源和整个系统的牖变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样的变化.通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的牖变.为了求水的牖变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。其温度分布在00C与1000c之间。令水依次从这些热源吸收热量，使水温由00C升至1000C。在这可逆过程中，水的牖变为AS=1373mCpdT=mCln373=103x4.18xln373J•K-1=1304.6J•K-1(1)水273Tp273 273 (水从00C升至1000C所吸收的总热量Q为 Q=mCpAT=103x4。18x100J=4。18x105j为求热源的牖变，可令热源向温度为1000c的另一热源放出热量Q.在这可逆过程中，热源的牖变为

AS热源4.18AS热源4.18x105373J•K-i=-1120.6J•K-i （2）由于热源的变化相同，式子(2)给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。整个系统的总熵变为AS总二八5水+AS热源=184J-K-1为使水温从00C升至1000C而参与整个过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在00C与1000C之间的一系列热源吸热。水的熵变AS大水仍由式子(2)给出.这一系列热源的熵变之和为AS* =-1373mCpdT=-mCIn373=-103x4.18xIn373J-K-1=-1304.6J-K-1热源273T p273 273参与过程的整个系统的总熵变为AS*『AS*水+AS*热源=0 (5)1.22 10A的电流通过一个25c的电阻器，历时1S。(A)若电阻器保持为室温270C,试求电阻器的熵增加值.(B)若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为270C,电阻器的质量为10g,比热容CP为0。84J-g-i-k-i,问电阻器的端增加值为多少？解:(A)以T,P为电阻器的状态参量，设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温270C不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。(B)如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由T1升为T2，所以有mCPAT=mCP(T2-T1)=i2RT故T=T+i-RT=(300+ 102x25x1)Ke600K2 1mCP 10-2x0.84x103电阻器的熵变可以参照1-17节例二的方法求出，为mCdT T 600 -AS=』T2—p—=mCln2=(10-2x0.84x1031n )J-K-1=5.8J-K-1t1 T pT 30011。23均匀杆的温度一端为T1,另一端为T2,试计算达到均匀温度后的埔增。第i处的初温为 T=T+T4TLxi1l设单位长度的定压热容量为Cx, Qp=l-Cx)于是SxT1+卜dQTTiT1j22CdT

TTiT+T=C-