浙江专用2018高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I28函数与方程课件

浙江专用2018高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I28函数与方程课件第一页，共66页。§2.8函数与方程第二页，共66页。基础知识自主学习课时训练题型分类深度剖析内容索引第三页，共66页。基础知识自主学习第四页，共66页。1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使

的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与

有交点⇔函数y＝f(x)有

.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

，那么，函数y＝f(x)在区间

内有零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个

也就是方程f(x)＝0的根.知识梳理f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c第五页，共66页。2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点

无交点零点个数_______(x1,0)，(x2,0)2(x1,0)10第六页，共66页。1.有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.2.三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.知识拓展第七页，共66页。判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(

)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(

)(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.(

)思考辨析××√√第八页，共66页。

考点自测A.0 B.1 C.2 D.3∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点.答案解析第九页，共66页。

答案解析第十页，共66页。答案解析3.函数f(x)＝2x|log0.5

x|－1的零点个数为________.2由上图知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.第十一页，共66页。∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)<0，4.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.答案解析第十二页，共66页。题型分类深度剖析第十三页，共66页。

题型一函数零点的确定命题点1确定函数零点所在区间例1

(1)(2016·余姚调研)已知函数f(x)＝lnx－

x－2的零点为x0，则x0所在的区间是

A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)答案解析第十四页，共66页。∴x0∈(2,3)，故选C.第十五页，共66页。易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，∴x0所在的区间是(1,2).(2)(2016·杭州模拟)设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.(1,2)答案解析第十六页，共66页。命题点2函数零点个数的判断答案解析例2

(1)函数f(x)＝

的零点个数是________.所以在(－∞，0]上有一个零点；所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点.综上，函数f(x)的零点个数为2.2第十七页，共66页。

(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是

A.多于4 B.4C.3 D.2答案解析第十八页，共66页。由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象如图，观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.第十九页，共66页。(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.思维升华第二十页，共66页。

跟踪训练1

(1)已知函数f(x)＝

－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是

A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4) D.(4，＋∞)因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，答案解析所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).第二十一页，共66页。

(2)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为

A.4 B.5C.6 D.7由f(x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x∈[0,4]，所以x2∈[0,16].答案解析故零点个数为1＋5＝6.第二十二页，共66页。

题型二函数零点的应用答案解析例3

(1)函数f(x)＝2x－

－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a

的取值范围是

A.(1,3) B.(1,2)C.(0,3) D.(0,2)则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0＜a＜3.第二十三页，共66页。(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________.(0,1)∪(9，＋∞)答案解析第二十四页，共66页。设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示.由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，第二十五页，共66页。消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，∴0<a<1或a>9.第二十六页，共66页。引申探究本例(2)中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是______.答案解析作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如下：第二十七页，共66页。已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围.(2)方法：常利用数形结合法.思维升华第二十八页，共66页。跟踪训练2

(1)(2016·舟山模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________.∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，答案解析∴函数y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域为(0,2)，∴0<－a<2，∴－2<a<0.(－2,0)

第二十九页，共66页。

(2)(2016·浙江高考冲刺)已知函数f(x)是定义在区间[－2,2]上的偶函数，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－2x＋1，若在区间[－2,2]内，函数g(x)＝f(x)－kx－2k有三个零点，则实数k的取值范围是

答案解析第三十页，共66页。因为函数f(x)是定义在区间[－2,2]上的偶函数，且当－2≤x<0时，0<－x≤2，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋1＝x2＋2x＋1.函数g(x)＝f(x)－kx－2k有三个零点，作出函数y＝f(x)和y＝k(x＋2)的图象，如图所示.第三十一页，共66页。第三十二页，共66页。题型三二次函数的零点问题例4

已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.解答第三十三页，共66页。方法一设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2,1).第三十四页，共66页。解决与二次函数有关的零点问题(1)利用一元二次方程的求根公式.(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系.(3)利用二次函数的图象列不等式组.思维升华第三十五页，共66页。跟踪训练3(2016·瑞安一模)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是__________.

答案解析第三十六页，共66页。典例(1)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________.(2)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为_______________.利用转化思想求解函数零点问题思想与方法系列4(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决.答案解析(1，＋∞)思想方法指导第三十七页，共66页。(1)函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，即方程ax－x－a＝0有两个根，即函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象有两个交点.当0<a<1时，图象如图①所示，此时只有一个交点.当a>1时，图象如图②所示，此时有两个交点.∴实数a的取值范围为(1，＋∞).第三十八页，共66页。返回第三十九页，共66页。课时训练第四十页，共66页。1.(2016·温州模拟)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为

A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)√∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，∴f(x)的零点所在的区间是(1,2).答案解析12345678910111213第四十一页，共66页。当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.12345678910111213√答案解析第四十二页，共66页。3.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则

A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.c<a<b√答案解析12345678910111213第四十三页，共66页。f(0)＝1>0且f(x)为R上的递增函数.故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0).∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，12345678910111213第四十四页，共66页。方法二由f(x)＝0，得2x＝－x；由h(x)＝0，得log2x＝－x，作出函数y＝2x，y＝log2x和y＝－x的图象(如图).由图象易知a<0,0<c<1，而b＝2，故a<c<b.12345678910111213第四十五页，共66页。4.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是

A.1 B.2 C.3 D.4(数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点.√答案解析12345678910111213第四十六页，共66页。5.已知函数f(x)＝

则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是

A.(1,2) B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.(－∞，1]∪[2，＋∞)√答案解析当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；故实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).故选D.12345678910111213第四十七页，共66页。6.已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝

－a(x≠0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是_____________.12345678910111213答案解析第四十八页，共66页。12345678910111213第四十九页，共66页。7.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是_____________.答案解析12345678910111213第五十页，共66页。∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，12345678910111213第五十一页，共66页。8.已知函数f(x)＝

若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是___________________.令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).答案解析(－∞，0)∪(1，＋∞)12345678910111213第五十二页，共66页。12345678910111213答案解析第五十三页，共66页。因为函数f(x)在R上单调递减，12345678910111213第五十四页，共66页。12345678910111213第五十五页，共66页。*10.(2016·萧山中学期中)若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则

的最小值为____.112345678910111213答案解析第五十六页，共66页。设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m>0，n>0).因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称.又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4.又m>0，n>0，12345678910111213第五十七页，共66页。12345678910111213第五十八页，共66页。(1)作出函数f(x)的图象；函数f(x)的图象如图所示.解答123456789