误差分析课件

第6章测量误差分析与试验数据处理6.1测量误差概述6.2异常数据的取舍6.3直接测量参数和间接测量参数测定值的处理6.4静态试验数据分析6.5动态试验数据分析6.6数字信号分析与处理思考题学习目的正确认识误差的性质、分析产生原因、清除或减小误差正确处理测量和实验数据，合理计算取得结果，以便在一定条件下得到真实值的数据正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，得到理想结果提出更加完善的评价和确定真值的有效方法找出有效的检测手段和误差补偿方法为精确设计与实验数据处理打基础测试技术基础基本理论§6.1.1测量误差的定义定义：Δx–测量误差x–测量结果x0–真值测量结果与其真值的差异真值：被测量的客观真实值理论真值：理论上存在、计算推导出来如：三角形内角和180°约定真值：国际上公认的最高基准值光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485如：基准米(氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值1m=1650763.73λ标准仪器的测量标准差<1/3测量系统标准差→检定定性概念，定量表示6.1测量误差概述

示值是指测试仪器(或系统)指示或显示(被测量)的数值，也叫测量值或读数。由于传感器不可能绝对精确，信号调理、数/模转换不可避免地存在误差，加上环境因素和干扰等因素，都可使得示值与实际值存在偏差。2.测量误差的定义及表示方法测试系统(仪器)的误差通常有以下几种表示形式:(1)绝对误差被测量的测定值X和真实值X0之间的代数差，称为绝对误差，通常称为误差，即上一页下一页返回6.1测量误差概述

(2)相对误差绝对误差与被测量的真实值的比值，称为相对误差，常用百分数表示，即(3)引用误差测试系统测量值的绝对误差△x与测量范围上限或量程L之比值，称为测试系统测量值的引用误差γ，通常以百分数表示。引用误差是一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对误差，即上一页下一页返回绝对误差＝测量值－真值(简称误差)说明：a)绝对误差可为＋,－b)如用尺子和卡尺测量试件尺寸分别200.5mm和200.36mm则：绝对误差＝200.5－200.36=0.14mm绝对误差例2：经检定发现，量程为250V的2.5级电压表在123V处示值误差最大为5V，问该电压是否合格?结果：小于最大允许引用误差，表合格解：按表精度等级规定，2.5级表最大允许引用误差为2.5%，而该表实际情况为：为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。主要来源

测量原理误差

测量装置误差

测量环境误差

测量人员误差

基本理论(1)原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差近似：如：非线性比较小时可以近似为线性假设：理论上成立、实际中不成立如：误差因素互不相关(2)装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声(3)环境误差：测量环境、条件引起的测量误差空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动，(4)使用误差：理论分析与实际情况差异方法：测量方法存在错误或不足如：采样频率低、测量基准错误读数误差、违规操作、（1）系统误差

在相同的测量条件下，多次测量同一物理量，误差不变或按一定规律变化着，这样的误差称为系统误差。

系统误差等于误差减去随机误差，是具有确定性规律的误差，可以用非统计的函数来描述。系统误差又可按下列方法分类。①按对误差的掌握程度可分为：已定系统误差和未定系统误差。②按误差的变化规律可分为：定值系统误差、线性系统误差、周期系统误差和复杂规律系统误差。性质：有规律，可再现，可以预测原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差处理：理论分析、实验验证→修正夏天摆钟变慢的原因是什么？(2)系统误差(systemerror)§12.1.4测量误差的性质与分类(1)特点：多次测量下，绝对值和符号不变，或按一定规律变化(2)原因：a)仪器结构不良：装置设计不合理，采用近似方法b)环境改变：温度影响(3)

鉴别方法：a)观测值总往一个方向偏差b)误差大小和符号在多次重复多次观测中几乎相同c)经过矫正和处理可以消除误差(1)随机误差(randomerror)正态分布性质：原因：装置误差、环境误差、使用误差处理：统计分析、计算处理→减小对称性单峰性有界性抵偿性次数统计绝对值相等的正负误差出现的次数相等绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多偶然误差绝对值不会超过一定程度当测量次数足够多时，偶然误差算术平均值趋于0分布密度基本理论§6.1.3测量误差的性质与分类(1)随机误差(randomerror)正态分布性质：原因：装置误差、环境误差、使用误差处理：统计分析、计算处理→减小对称性有界性抵偿性单峰性绝对值相等的正负误差出现的次数相等绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多偶然误差绝对值不会超过一定程度当测量次数足够多时，偶然误差算术平均值趋于01）按测量误差的性质和特点分类

随机事例的例子

彩票摇奖随机误差(randomerror)§12.1.4测量误差的性质与分类6.1测量误差概述

3.测量精度和不确定度反映测量结果与真实值接近程度的量称为精度。精度的高低是用误差大小来衡量的。误差小则精度高。精度包括精密度、准确度和精确度。精密度表示测量结果中系统误差与随机误差综合大小的程度。‘已是指在一定条件下，进行多次重复测量时，所得测定值彼此间重复的程度，或称为测量结果彼此之间的分散性。随机误差波动范围越大，测定值就越离散，测量的精密度就越低。因此，随机误差决定了测量的精密度。上一页下一页返回精度：测量结果与真值吻合程度定性概念测量精度举例准确不精密不精密不准确精密不准确精密准确6.2异常数据的取舍

在一个测量列中，可能出现个别过大或过小的测定值，这种包含巨大误差的测定值，通常称为异常数据。异常数据往往是由过失误差(指由于测量工作中的误差、疏忽大意等原因引起的误差)引起的，也可能是由巨大的随机误差引起的。异常数据的取舍必须十分慎重，不要不加分析就轻易将该数据直接从测量列中删除，应该有允分的依据判定异常数据是由过失误差引起的，则应舍弃。对于原因不明的异常数据，只能用统计学的准则决定取舍。

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6.2.1来伊达准则(3б准则)

最常用也最简单的判别粗大误差的准则是3б准则。它是以测量次数允分大为前提。在测量次数较少时，此准则只是一个近似的准则。对于一个测量列，如各测量值只含有随机误差，则根据随机误差的正态分布规律，其残余误差落在±3б以外的概率约为0.27%，也就是说在370次测量中只有1次测量的残余误差大于3бю.某个测量值Xk的残差值|△xk|，如果超过标准误差的3倍，即认为测量值X、为异常数据，可写成式中----包括异常测量值在内的所有测量值的算术平均值，N为测量值的个数。上一页下一页返回6.2异常数据的取舍

б-—包括异常测量值在内的所有测量值的标准误差。由于等精度测量次数不可能无限多，因此，工程上实际应用的来伊达准则表示为式中б—包括异常测量值在内的所有测量值的标准误差估计值，且有来伊达准则是以测量误差符合正态分布为依据的，但一般工程上等上一页下一页返回6.2异常数据的取舍

6.2.2肖维纳(Chauvenet)准则对未知参数作n次重复测量，如残差超过某个极限值的测定值，出现的概率小于或等于1/2n,，可以认为是小概率事件。也就是说，在n次测量中，这种测定值出现的次数等于或小于1/2，因而不应该发生。如果出现了这种测定值，可以认为是过失误差引起的异常数据而予以舍弃，这就是肖维纳准则.某个测量值Xk的残差值|△xk|，如果超过残差极限值vc，即则认为该测量数据为异常数据，应予舍弃。在实际工作中，根据测量次数n，查表6一2即可得到Kn值.上一页下一页返回6.2异常数据的取舍

例6-2对例6一1的数据，按肖维纳准则决定异常数据的取舍解:根据n=15，查表得Kn=2.13，于是残差极限值为因|v8|=0.104>vc,故测定值l8应予舍弃.上一页下一页返回6.2异常数据的取舍

6.2.3格拉布斯(Grubbs)准则

格拉布斯准则是以小样本测量数据，以t分布为基础用数理统计方法推导得出的。理论上比较严谨，具有明确的概率意义，通常被认为实际工程应用中判定异常数据比较好的准则。设测定值服从正态分布，即L一N(X,б)，根据贝塞尔方法，分布函数б可用测定值的残差予以估计，即如果令则G是一个随机变量。格拉布斯推导了随机变量‘的上一页下一页返回（二）格拉布斯准则1950年格拉布斯（Grubbs）根据顺序统计量的某种分布规律提出一种判别粗大误差的准则。1974年我国有人用电子计算机做过统计模拟试验与其它若认为可疑，则有当(2-91)即判别该测得值含有粗大误差，应予剔除。例2-19用例2-18测得值，试判别该测量列中的测得值是否含有粗大误差。解：由表2-11计算得：，0.050.010.050.013456789101112131415161.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.332.372.412.441.161.491.751.942.102.222.322.412.482.552.612.662.702.75171819202122232425303540501002.482.502.532.562.582.602.622.642.662.742.812.872.963.172.782.822.852.882.912.942.962.993.013.103.183.243.343.59按测得值的大小，顺序排列得今有两测得值，可怀疑，但由于故应先怀疑是否含有粗大误差，计算查表2-12得则故表2-11中第八个测得值含有粗大误差，应予剔除。剩下的14个数据，再重复上述步骤，判别是否含有粗大误差。解：

故可判别不包含粗大误差，而各皆小于1.18，故可认为其余测得值也不含粗大误差。

6.2异常数据的取舍

概率密度函数，因而取信度(显著性水平)为α，就可得到临界值G0，使得临界值G0是测量次数n和信度α的函数。它的值可以查表6-3.某个测量值Xk的残差值|△xk|，如果超过残差极限值vc，即则认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予舍弃。这样做，犯错误(把不是过失误差引起的异常数据弃去)的概率为α.上一页下一页返回6.2异常数据的取舍

例6-3测量数据同例6一1，试按格拉布斯准则，决定异常数据的取舍解:选信度a=0.05，根据n=15，查表得G0=2.41，于是残差的极限值vc为|v8|=0.104>vc,，故测定值l8应予舍弃.l8舍弃后，nc=14，查表得G0(c)=2.37，有剩下的14个测定值的残差均未超过VG(c)，已无过失误差引起的异常数据应该注意的是，如果查出多个异常数据时，不能将它们都一并上一页下一页返回6.2异常数据的取舍

剔除，每次只能舍弃误差最大的那个异常数据。如误差超过残差极限值vc的两个异常数据数值相等，也只能先剔除一个，然后再重复上述判别，直到判明无异常数据为止.格拉布斯准则是建立在统计理论基础上的，是对n<30的小样本测量较为科学、合理的判断粗大误差的方法，因此目前国内外普遍推荐使用此法处理小样本测量数据中的粗大误差。上一页返回6.3直接测量参数和间接测量参数测定值的处理

6.3.1直接测量参数测定值的处理

通过测量仪器，将被测量参数与同一物理量的标准量直接比较，或者用事先经过标准量校正的测量仪器进行测量，从而直接求得被测量参数的数值，如用尺测量长度。直接测量是从测量结果直接获得被测量参数数值的一种测量方法。对某参数进行等精密度直接测量时，设测定值x1,x2,...,xn组成一个测量列，应首先消除系统误差，并消除由于过失误差引起的异常数据.测定值的算术平均值为下一页返回6.3直接测量参数和间接测量参数测定值的处理

该测量列标准误差的估计值为测量列算术平均值的标准误差为测定值可以表达为上一页下一页返回6.3直接测量参数和间接测量参数测定值的处理

式中tp(f)可由选定置信概率P，然后按自由度f=n-1，查t分布表得到上式的含义是:被测参数的真值X在置信区间内的置信概率为P，或者说，以置信概率P确信，用算术平均值X代替真值X时，误差不超过显然，置信区间的宽度取决于给定的置信概率(或者说，置信概率取决于给定的置信区间)，因此，表达测试结果时，必须注明相应的置信概率。上一页下一页返回6.3直接测量参数和间接测量参数测定值的处理

6.3.2间接测量参数测定值的处理

间接测量是通过直接测量与被测量参数之间有一定函数关系的其他参数，并根据函数关系计算出被测量参数，如血积的测量、发动机输出功率的测量。间接测量误差是在直接测量误差的基础上得到的。既然直接测量得到的结果不可避免地产生误差，那么，由这些含有误差的直接测量数据计算出来的结果也必然含有误差。设间接测量参数下的一般形式为式中x1,x2,....xm—彼此独立的可直接测量的参数上一页下一页返回6.3直接测量参数和间接测量参数测定值的处理

因为经过有限次测量时无法求得各参数的真值，所以，函数的真值无法求得。通过各个参数的最可信赖值和精密度参数的确定，可以求得函数的最可信赖值和精密度参数。1.平均误差传递(积累)定律已知y=f(x1,x2,...,xm)，为了求得各个测量值的精密度参数，设对各个自变量都进行了n次等精度测量，以Qij(i=1,2,...m,j=1,2,....,n)表示第i个自变量xi(i=1,2,....,m)的第j次测量的标准误差，以Qy表示参数y的测量列的标准误差，则Qy一定是бij(i=1,2,...m,j=1,2,...n)的某种组合.根据多元函数的泰勒级数展开式，并考虑到测量误差值较小，因而可以忽略二次以上各项，可得上一页下一页返回6.3直接测量参数和间接测量参数测定值的处理

式(6一10)称为平均误差传递(积累)定律。所谓“平均”误差，是指随机误差总体的精密度参数，而不是某个具体的随机误差。2.间接测晋参数的最可信赖值在函数y=f(x1,x2,...xm)式中，对各个自变量xi(i=1,2,...,m)进行n次重复测量，可以得到n个函数下的间接测定值。在等精密度测量的情况下，函数下的最可信赖值就是间接测定值的算术平均值歹。并且可以证明，将各个自变量的算术平均值xi(i=1,2,....,m)代入间接测量函数式，所得的数值等于间接测定值的算术平均值y，即上一页下一页返回6.3直接测量参数和间接测量参数测定值的处理

3.间接测量结果的表达在粗略的测量中，可用算术平均值y来近似地代替真实值Y。这时，测量结果可以表间接测量参数的真值Y的区间估计，比较复杂，与测量次数有关如果间接测定值的算术平均值服从正态分布，而且重复测量次数较多，那么可以近似地看作标准化正态分布的随机变量，这时，间接测量结果可以表达为上一页下一页返回实验数据的表述方法实验数据最终必然要以人们易于接受的方式表述出来，常用的表述方法有:★表格法、图解法、方程法。★表述方法的基本要求：⑴确切地将被测量的变化规律反映出来；⑵便于分析、应用、控制与预报;7.2.1表格法

表格法是把被测量数据精选、定值，按一定的规律归纳整理后列于一个或几个表格中，该方法比较简便、有效、数据具体、形式紧凑、便于对比。自变量的减小或增加为顺序。7.2.2图解法图解法:利用图形或曲线表示实验数据之间的关系。该曲线又称实验曲线。方法：把互相关联的实验数据按照自变量和因变量的关系在适当的坐标系中绘制成几何图形，用以表示被测量的变化规律和相关变量之间的关系。特点：简单、直观、便于分析与比较。7.2.3经验公式

通过试验获得一系列数据，这些数据可用图表法表示出函数之间的关系，也可用与图形相对应的数学公式来描述函数之间的关系，从而进一步用数学分析的方法来研究这些变量之间的相关关系。

数学表达式称为经验公式，又称为回归方程。建立回归方程的方法称回归分析。根据变量个数以及变量之间的关系不同，常用的回归方程有：

⑴一元线性回归方程（直线拟合）;

⑵一元非线性回归方程（曲线拟合）;⑶多元线性回归和多元非线性回归;6.4静态试验数据分析

1.直线拟合—一元线性回归(1)确定回归方程一元线性回归是工程上和科研中常见的直线拟合问题。设两变量之间的关系为Y=f(x),并有一系列测量数据为xi、yi(i=1,2,...,n，其中n为试验数据对个数)，如果上述测量数据相互间基本是线性的关系，则可用一个线性方程来表示，即上一页下一页返回6.4静态试验数据分析

该直线方程就称为上述测量数据的一元线性回归方程。所谓直线拟合，实际上就是根据一系列测量数据通过数学处理确定相应的直线方程，更确切地说是要求得直线方程中的两个系数a0和a1。这里，介绍常用的拟合方法—最小二乘法最小二乘法在误差理论中的基本含义是:在具有等精度的多次测量中，求最可靠(最可信赖)值时，是当各测量值的残差平方和为最小时所求得的值。根据上述原理，对测量数据的最小二乘法线性拟合时，是把所有测量数据点都标在坐标图上，用最小二乘法拟合的直线，其各数据点与拟合直线之间的残差平方和为最小。用数学表达式可写为上一页下一页返回6.4静态试验数据分析

式中vi—第i个数据点与拟合直线之间的残差对于线性方程式(6一14)，根据所有测量数据，可得残差平方和为将上式分别对a0、和a1取偏导数得上一页下一页返回6.4静态试验数据分析

按式(6一15)残差的平方和为最小，需满足下列必要条件为整理式(6一16)、(6一17)可得上一页下一页返回6.4静态试验数据分析

求得上述方程组的解为上两式即为欲拟合的直线方程的系数。上一页下一页返回6.4静态试验数据分析

(2)回归方程的精度确定回归直线后，可以根据自变量的值预报或控制因变量的值，预报或控制的效果，就是回归方程的精度问题。表示回归直线的精度用残差标准误差б，即越小，回归直线的精度越高上一页下一页返回解正规方程得：其中：一元线性回归方程§14.3.3最小二乘法

曲线问题直线问题（变量代换）

回归曲线回归多项式步骤：(1)确定函数的类型（如双曲线、指数曲线、对数曲线等…）(2)求解相关函数中的未知参数举例:指数曲线一元线性回归方程§14.3.3最小二乘法例1为了测定刀具的磨损速度，每隔一小时，测量一次刀具的厚度，得到一组试验数据如下：顺序编号01234567时间/小时01234567刀具厚度/mm27.026.826.526.326.125.725.324.3§14.3.3最小二乘法解：首先确定的类型。如图，在坐标纸上画出这些点，观察可以认为是线性函数，并设其中和是待定常数。)(tfy=,)(battf+=ab§14.3.3最小二乘法因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的，使得在处的函数值与实验数据相差都很小。就是要使偏差都很小因此可以考虑选取常数，使得最小来保证每个偏差的绝对值都很小。§14.3.3最小二乘法把看成自变量和的一个二元函数，那么问题就可归结为求函数在那些点处取得最小值。即令§14.3.3最小二乘法将括号内各项进行整理合并，并把未知数和分离出来，得计算得§14.3.3最小二乘法代入方程组(1)得解此方程组，得到这样便得到所求经验公式为由(2)式算出的函数值与实测的有一定的偏差。现列表比较如下：§14.3.3最小二乘法酚含量x0.0050.0100.0200.0300.0400.050吸光度y0.0200.0460.1000.1200.1400.180例题2分光光度法测定酚的数据如下：§14.3.3最小二乘法6.4静态试验数据分析

2.曲线拟合—一元非线性回归这种回归分析是试验数据处理中的曲线拟合问题。这种非线性回归应采用以下两个步骤，即:①根据测量数据描绘曲线，选取合适的函数类型;②求解相关函数中的回归系数和常数项。一元非线性回归分为两种情况，即化曲线为直线的回归和多项式回归。(1)化曲线为直线的回归描绘测量数据的曲线，参考图6-2所示的常用的函数曲线。如果两个变量之间的关系呈某种曲线关系，就可以确定拟合公式的基本形式，对选取的曲线采用适当的变换，转化为直线方程，进而按一元线性回归方法处理。上一页下一页返回6.4静态试验数据分析

常用的典型曲线通过变量转化为直线的经验公式如下:上一页下一页返回6.4静态试验数据分析

采用上述的转换后，可以按直线回归的方法，确定相应的系数即可。但是，回归方程Y=A+BX是对变量转换后的数据所作的最佳拟合，经过逆变换后所得的回归方程y=f(x),虽然在一般情况下，对原始数据具有较好的拟合精度，但不一定是最佳的拟合。因此，在可能的情况下，最好用不同类型的方程进行拟合并比较其精度，然后择优选用。上一页下一页返回6.4静态试验数据分析

(3)回归曲线方程的精度与线性回归一样，曲线拟合的精度也可用残差标准误差б来表示，即式中q—回归方程中待定系数的个数;yi—自变量为x时，回归曲线方程的计算值б越小，说