三种坐标系与场课件

第一章三种坐标系与场1本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3

标量场的梯度1.4

矢量场的通量与散度1.5

矢量场的环流与旋度1.6

无旋场与无散场1.7

拉普拉斯运算与格林定理1.8

亥姆霍兹定理21.标量和矢量矢量的大小或模：矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示：1.1矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。

矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示

注意：单位矢量不一定是常矢量。

矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。

3（1）矢量的加减法两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法矢量的减法在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律交换律5（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）q矢量与的夹角是在方向上的分量，有6——矢量的标积符合交换律（4）矢量的矢积（叉积）两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之间夹角的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，用单位矢量表示。7（5）矢量的混合运算——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积9

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2

三种常用的正交曲线坐标系

在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。101.直角坐标系

位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量

112.圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量13图1-3圆柱坐标系图1-4圆柱坐标系中的单位矢量、长度元、面积元和体积元143.球坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系（半平面）（圆锥面）（球面）15（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换4.2三种坐标系的单位矢量之间的转换（1）直角坐标系与圆柱坐标系单位矢量之间的转换17图1-8直角坐标系和圆柱坐标系中的坐标单位矢量及其关系18用图表表示为：19图1-9圆柱坐标系和球坐标系的坐标单位矢量及其关系210（3）直角坐标系和球坐标系之间单位矢量的转换，可根据上面的推导得出，用图表表示如下。-221.3场及场的特性

1场的概念“场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。例如，温度场是标量场，电场、磁场、流速场与重力场都是矢量场。23因则得25P点处场量为的力线微分方程为262.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念：

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向减小；

——u(M)沿方向无变化。

M0M方向导数的概念

特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？——的方向余弦。

式中：

293.标量场的梯度（或）标量场在空间某一点沿不同方向的变化率是不同的，在某个方向上的变化率可能最大，为此引入梯度的概念，用它来说明标量场的最大变化率和达到最大变化率的特定方向。也就是说，标量场u在点M处的梯度是一个矢量，其大小等于最大变化率，其方向是标量场u变化最大的方向。梯度可表示为30其中31圆柱坐标系

球坐标系其他坐标系下的梯度的表达式为：根据梯度定义，可得直角坐标下的梯度公式32标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）33

解

(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为

例1.3.1

设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：

(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。34表征其方向的单位矢量

(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为35而该点的梯度值为

显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。361.4矢量场的通量与散度

1.矢量线

意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线OM

372.矢量场的通量

问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。

通量的概念其中：——面积元矢量；——面积元的法向单位矢量；——穿过面积元的通量。

如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量38通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义393.矢量场的散度为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。

散度表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量的通量，所以散度描述了通量源的密度。40圆柱坐标系球坐标系直角坐标系散度的表达式：散度的有关公式：41直角坐标系下散度表达式的推导

穿出前、后两侧面的净通量值为

不失一般性，以点M为顶点作一很小的直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP42穿出左、右两侧面的净通量值为穿出上、下两侧面的净通量值为又因为所以43因此直角坐标系中的散度表达式为444.散度定理体积的剖分VS1S2en2en1S从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。451.5矢量场的环流与旋度

矢量场的环流与旋涡源

例如：流速场。不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。46

如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系。

磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线47如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。环流的概念矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。48

矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。

2.矢量场的旋度（）

（1）环流面密度称为矢量场在点M处沿方向

的环流面密度。特点：其值与点M处的方向

有关。过点M作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限49在磁场中，如果某点附近的面元方向与电流方向重合，则磁场强度的环流面密度有最大值；如果面元方向与电流方向有一夹角，则磁场强度的环流面密度总是小于最大值；当面元方向与电流方向垂直时，则磁场强度的环流面密度等于0。由于矢量场在点M处的环流面密度与面元△S的法线方向有关，因此，在矢量场中，一个给定点M处沿不同方向，其环流面密度的值一般是不同的。在某一个确定的方向上，环流面密度可能取得最大值。为了描述这个问题，引入旋度的概念。50概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义：矢量场在点M处的旋度就是在该点的旋涡源密度矢量。性质：（2）矢量场的旋度51oyDz

DyCzx1234计算的示意图

直角坐标系中旋度的表达式以点M为顶点，取一个平行于yz面的矩形面元，则52于是

同理可得故得53旋度的计算公式:直角坐标系圆柱坐标系球坐标系54旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零553.斯托克斯定理斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的剖分方向相反大小相等结果抵消

从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即564.散度和旋度的区别

571.矢量场的源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；

旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6无旋场与无散场582.矢量场按源的分类（1）无旋场性质：

，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场可以用标量场的梯度表示为例如：静电场59（2）无散场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场60（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无散场部分611.7拉普拉斯运算与格林定理

1.拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念：——拉普拉斯算符直角坐标系计算公式：圆柱坐标系球坐标系62矢量拉普拉斯运算概念：即注意：对于非直角分量，直角坐标系中：如：632.格