一维势场中的粒子课件

在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四：（1）有助于具体理解已学过的基本原理；（2）有助于进一步阐明其他基本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论,量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；

（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。

第2章一维势场中的粒子一维定态薛定谔方程

求定态问题：一维：归一化条件，波函数的标准条件，边界条件。

U（x）*=U（x），即U（x）取值。2.1一维势场中的粒子能量的一般性质定理1：设是方程（1）的一个解，对应的能量本征值是E，则也是方程的一个解，对应的能量也是E。一维问题的一般性质证：方程（1）取复共轭，注意E取实值，，容易证明。

如果对应于能量的某个本征值E，方程（1）的解无简并（即只有一个解），则解为实解。定理3：设U（x）具有空间反射不变性，U（-x）=U（x）。如果是方程（1）的对应能量的本征值E的解，则也是方程（1）对应能量E的解。证（略）如果对应某能量E，方程的解无简并，则解必有确定的宇称。

定理3：设U(x)具有空间反射不变性，U(-x)=U(x)。如果是方程（1）的对应能量的本征值E的解，则也是方程（1）对应能量E的解。证（略）如果对应某能量E，方程的解无简并，则解必有确定的宇称。空间反演算符定义：将空间矢量反向的操作叫空间反演算符。即：

宇称定义：

则称波函数Ψ(r,t）具有宇称。在一维情况下，宇称的奇偶性与函数的奇偶性是一致的。定理4：设，则对应任何一个能量本征值E，总可以找到方程（1）的一组解(每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E的任何解，都可以用它来展开。

证：

构造两个函数（偶宇称）（奇宇称）

均为方程（1）的解。则f(x),g(x)可以表示出ψ(x),ψ(-x)定理6：对于一维粒子，设与均为方程（1）的属于同一能量的E的解，则：对于束缚态（boundstate指粒子局限在有限空间中，即无限远处找到粒子的概率为零）则有

定理7：设粒子在规则势场V(x){V(x)无奇点}中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。

§2.2一维方势

(1)一维势阱实例

如：金属中的自由电子。金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。2.2.1一维无限深方势阱，离散谱（3）求解定态问题的步骤讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ(r,t)

和在这些态中的能量E。其具体步骤如下：（1）列出定态Schrodinger方程（2）根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：（3）写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数（4）通过归一化确定归一化系数Cn0aI.V=∞II.V=0III.V=∞

在左图中，一个质量m的粒子被限制于0<x<a的区域中。在此区域，势能V(x)=0。在其它区域，V(x)=∞，所以粒子不可能存在。1、一维不对称无限深势阱该问题的定态薛定谔方程建立方法如下：1）先写出一维自由粒子的哈密顿函数：

其中，T为粒子动能，V为粒子势能，m为粒子质量，px

为粒子在x方向的动量。2）用动量算符及坐标算符代入上式得到一维自由粒子哈密顿算符因为边界条件及连续性要求，(0)=0(a)=0

所以：ka=nπn=1,2,3…..一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离散的。En为方程本征值，对应本征函数为：得由归一化条件：

其中n为量子数，我们看到它是由于边界条件而自然引入的。一维方势阱波函数图象1）对束缚态粒子，其能级是量子化的。此为边界点上波函数连续性要求决定，非人为的。而在经典力学中，能量是连续的。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般地说，束缚态所属的能级是分立的。

称为零点能。量子力学体系中零点能的存在，是测不准原理的必然结果。在经典力学中，粒子最低能量为0。对一维势阱中粒子的讨论，可得以下重要概念与结论：2）一维势阱中粒子能量最低态，即基态，为：3）当n>1时，使波函数n(x)=0的点（节点）的数目为n

–1。在节点处发现粒子的几率为0。这在经典力学中也是不可理解的。随着节点数增多，能量值增大。

一维势阱中粒子的波函数图[小结]由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S—方程的一般步骤如下：一、列出各势域上的S—方程；二、求解S—方程；三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；

四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。及方程的解为：根据波函数的连续性及边界条件：n=偶数；n=奇数能量本征值：本征波函数：根据归一化条件：例如，一维无限深势阱，势阱坐标为-a→a势能是对称的，则其波函数具有宇称，

n=偶数，奇宇称；n=奇数，偶宇称。3、波函数宇称

宇称是一个十分重要的物理概念。传统认为高能物理中某一物理过程宇称是守恒的。杨振宁与李政道发现了弱作用下宇称不守恒，并被吴健雄所做实验证实，从而获诺贝尔物理奖。若粒子在[0,d]范围、无限深势阱作一维运动，其状态由波函数描述。求(1)归一化常数A;(2)概率密度ρ,及最大的几率密度;(3)[0,d/2]之间粒

例题1解:(1)由归一化条件所以（6）基态能可由以下二种方法求得：例题2

计算电子在长度a＝1nm的一维势阱内运动，处于基态和第一激发态的能量及由基态跃迁到第一激发态时的激发能。已知电子的质量为9.1×10－31kg。

解：由式在基态，n＝1，ΔE＝18.09×10－20J

例题3

已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：式中l是势箱的长度，是粒子的坐标（0<x<l），计算（1）粒子的能量；（2）粒子坐标的平均值；（3）粒子动量的平均值。解:

（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：即：（2）由于无本征值，只能求粒子坐标的平均值：（3）由于无本征值。按下式计算

px的平均值:一个粒子处在a=b=c的三维势箱中，试求能量最低的前5个能量值[以(h2/8ma2)为单位]。计算每个能级的简并度。E111=3E112=E121=E211=6E122=E212=E221=9E113=E131=E311=11E222=12例题4

质量为m的粒子在边长为a的立方箱中运动，其能级公式为：解例题5例题6

2.2.2有限深对称方势阱(曾教程p33)

V0

-a0aE

势垒贯穿

当微观粒子为x正方向运动时，即使前方碰到的势垒U0＞E，只要势垒不是太高太宽，则粒子就有可能穿过势垒而到达势垒的另一侧。这一量子力学现象叫做势垒穿透或隧道效应。

势垒贯穿－能量低于势垒高度的粒子有一定几率穿过势垒。

应用:1973年:固体中的隧道效应,半导体中的隧道效应.约朔夫森,江琦,迦埃非.1986年:设计世界上第一架电子显微镜,设计隧道效应显微镜.鲁斯卡,宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).1997年：量子隧道效应。

经典物理无法理解势垒贯穿。

∵E＝T＋V，T＝E－V＜0，不可能.本节介绍量子力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。问题是具有一定能量E的粒子沿x轴正方向射向方势垒

2.2.4一维方势垒

解：(1)三个区域的Schrödinger方程可写为：

考虑E<V0的情况.分三个区：

1区:x<0;

2区:0≤x≤a;

3区:x>a

令解得:

在III区域没有反射波，所以须令C=0。

0aV(x)xV0①.波函数连续

(4)

(5)

②.波函数导数连续(6)

(7)(2)利用波函数标准条件来定系数。(3).透射系数和反射系数①、透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数,用S表示；这就是势垒贯穿几率。②、反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,用F表示；显然有R+T=1即这是粒子数守恒的表现.

由上可知：R0，即有部分反射，这是一种量子效应；隧穿效应

（tunneleffect）

：粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。当R=0，，即时，T=1，粒子产生完全透射，没有反射，这种现象称为共振透射，产生共振透射的能量称为共振能量。

例1:入射粒子为电子。设E=1eV,V0=2eV,a=2×10-8cm=2Å，算得T≈0.51。若a=5×10-8cm=5Å，则T≈0.024，可见透射系数迅速减小。质子与电子质量比μp/μe≈1840。对于a=2Å则T≈2×10-38。可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。量子力学提出后，Gamow首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的α衰变现象。例2:入射粒子换成质子。例3任意形状的势垒则x1→x2贯穿势垒V(x)的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。0abV(x)E对每一小方势垒透射系数可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。dx（四）应用实例

(1)原子钟

(2)场致发射（冷发射）

(3)STM 除了大家熟悉的α衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，下面介绍两个典型实例。（1）原子钟原子钟的频率标准就是利用氨分子(NH3)基态势垒贯穿的振荡频率。氨分子(NH3)是一个棱锥体，N原子在其顶点上，三个H原子在基底。如图所示：NN’HHHNN’E如果N原子初始在N处，则由于隧道效应，可以穿过势垒而出现在N’点。当运动能量小于势垒高度1.R-S之间或T-U之间的振荡（谐振子）；

如图中能级E所示，则N原子的运动由两种形式组成。2.这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于NH3基态，第二种振荡频率为2.3786×1010Hz。这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。（2）场致发射（冷发射）图（a）图（b）

欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。

但是，施加一个外电场，金属中电子的所感受到的电势如图(b)所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓场致电子发射。(3)扫描隧道显微镜scanningtunnelingmicroscopemetal1metal2insulator（1）何谓谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。在经典力学中，当质量为m的粒子，受弹性力F=-kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为x=Asin(ωt+δ)。这种运动称为简谐振动,作这种运动的粒子叫谐振子。若取V0=0，即平衡位置处于势V=0点，则2.4一维谐振子（2）为什么研究线性谐振子自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在x=a处，V有一极小值V0。在x=a附近势可以展开成泰勒级数：axV(x)0V03.一维谐振子的量子力学处理：一维谐振子的哈密顿算符是：其定态薛定谔方程是：理想的谐振子势是一个无限深势阱,只存在束缚态,即在处,因为其求解较复杂，以下直接给出其解：

其中：n为振动量子数，

为谐振子经典基频（见上），Av

为归一化常数，令:S方程化为:由上面的递推公式，可得到厄米多项式的具体地推表达式：为v阶厄米多项式。它具有以下的递推性质：Hv(ξ)（4）讨论1、上式表明，Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n。所以： 当n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项；当n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。2.ψn具有n宇称上式描写的谐振子波函数所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式Hn(ξ)决定为n宇称。3.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量E0={1/2}ħω≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。n=0n=1n=2（5）波函数然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是：ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2= =N02exp[-ξ2]分析上式可知：一方面表明在ξ=0处找到粒子的几率最大；另一方面，在|ξ|≧1处，即在阱外找到粒子的几率不为零，与经典情况完全不同。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|αx|<1范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx|=1)处，其势能V(x)=(1/2)mω2x2={1/2}ħω=E0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。