2019届数学（理）大复习讲义第九章平面解析几何 9.6 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§9。6抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2。掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。抛物线的方程、简单性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题。1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与简单性质标准方程y2＝2px(p〉0)y2＝－2px(p〉0)x2＝2py(p〉0）x2＝－2py（p〉0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O（0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（p，2)，0）)Feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2）)）Feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，－\f(p，2）))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2）x＝eq\f(p，2）y＝－eq\f(p，2)y＝eq\f(p,2）范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0,x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下

知识拓展1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P（x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（p,2)，0）)的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2）,也称为抛物线的焦半径．2．y2＝ax(a≠0）的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4），0）），准线方程为x＝－eq\f（a，4).3．设AB是过抛物线y2＝2px(p〉0)焦点F的弦，若A(x1，y1），B(x2，y2），则(1）x1x2＝eq\f(p2，4)，y1y2＝－p2。(2)弦长｜AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f（2p,sin2α）（α为弦AB的倾斜角）．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4）通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（×)（2)方程y＝ax2（a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0)）,准线方程是x＝－eq\f（a，4）.（×)(3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（×）（4)AB为抛物线y2＝2px（p〉0)的过焦点Feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(p，2）,0))的弦，若A(x1，y1),B(x2，y2），则x1x2＝eq\f(p2,4），y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p。(√)(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．（×)(6）过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(√）题组二教材改编2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1）,Q（x2，y2）两点,如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于（）A．9B．8C．7D．6答案B解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0），准线方程为x＝－1.根据题意可得,｜PQ｜＝|PF|＋|QF｜＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝2px（p≠0）或x2＝2py（p≠0)．将P(－2，－4）代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.题组三易错自纠4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4B．6C．8D．12答案B解析如图所示,抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4,则点P到准线l的距离｜PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB｜＝6。故选B.A．y2＝±2eq\r(2）x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±4eq\r(2)x答案D解析由已知可知双曲线的焦点为（－eq\r(2）,0），（eq\r(2),0）．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0）,则eq\f（p，2)＝eq\r（2），所以p＝2eq\r(2），所以抛物线方程为y2＝±4eq\r（2）x。故选D.6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________．答案[－1，1]解析Q（－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k（x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8）x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8）2－4k2·4k2＝64(1－k2）≥0，解得－1≤k≤1。

题型一抛物线的定义及应用典例设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B（3,2），则|PB｜＋｜PF｜的最小值为________．答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则｜P1Q|＝|P1F|.则有|PB｜＋｜PF|≥｜P1B|＋｜P1Q｜＝|BQ｜＝4，即｜PB｜＋|PF｜的最小值为4。引申探究1．若将本例中的B点坐标改为（3,4），试求|PB|＋|PF｜的最小值．解由题意可知点B(3,4）在抛物线的外部．∵｜PB｜＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离,F(1,0），∴｜PB｜＋｜PF｜≥|BF｜＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5）,即｜PB｜＋|PF｜的最小值为2eq\r(5）。2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝｜PF｜－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1。易知d2＋｜PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF｜的最小值为eq\f（|1＋5｜，\r（12＋－12)）＝3eq\r（2），所以d1＋d2的最小值为3eq\r(2)－1。思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练设P是抛物线y2＝4x上的一个动点,则点P到点A(－1，1）的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．答案eq\r（5)解析如图,易知抛物线的焦点为F（1,0),准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小,显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为eq\r（［1－－1]2＋0－12）＝eq\r(5）。题型二抛物线的标准方程和简单性质命题点1求抛物线的标准方程典例(2017·深圳模拟)如图所示，过抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若｜BC|＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝eq\f（3,2）xB．y2＝9xC．y2＝eq\f（9,2)xD．y2＝3x答案D解析分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC｜＝2|BF｜，得|BC｜＝2|BB1｜，所以∠BCB1＝30°.又|AA1|＝|AF｜＝3,所以|AC|＝2|AA1|＝6，所以|CF|＝｜AC|－|AF｜＝6－3＝3，所以F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝eq\f（1，2)|AA1|＝eq\f(3,2），故抛物线的方程为y2＝3x。命题点2抛物线的简单性质典例已知抛物线y2＝2px（p>0)的焦点为F，A(x1，y1），B（x2，y2）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证:(1）y1y2＝－p2,x1x2＝eq\f(p2,4）;（2）eq\f(1，|AF｜）＋eq\f(1,｜BF｜）为定值；(3）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．证明（1)由已知得抛物线焦点坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（p，2），0)）。由题意可设直线方程为x＝my＋eq\f(p，2），代入y2＝2px,得y2＝2peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（my＋\f(p，2)）)，即y2－2pmy－p2＝0。(＊)因为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（p，2)，0）)在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点．则y1,y2是方程（*）的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为yeq\o\al(2，1)＝2px1，yeq\o\al（2，2)＝2px2，所以yeq\o\al(2,1）yeq\o\al（2,2)＝4p2x1x2，所以x1x2＝eq\f（y\o\al(2，1)y\o\al(2,2),4p2)＝eq\f（p4，4p2)＝eq\f（p2，4）.（2）eq\f(1，｜AF｜)＋eq\f（1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋\f（p,2）)＋eq\f（1，x2＋\f（p，2）)＝eq\f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2）x1＋x2＋\f（p2,4)).因为x1x2＝eq\f（p2，4)，x1＋x2＝｜AB｜－p，代入上式，得eq\f（1,|AF｜）＋eq\f(1，|BF｜)＝eq\f(|AB|,\f(p2，4）＋\f（p,2）|AB｜－p＋\f(p2，4）)＝eq\f（2,p）(定值）．(3）设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D,过M作准线l的垂线，垂足为N，则｜MN｜＝eq\f（1，2）（｜AC|＋|BD|）＝eq\f(1,2)（｜AF|＋｜BF|）＝eq\f（1，2)|AB｜。所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华（1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．（2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练(1)（2017·广西三市调研)若抛物线y2＝2px(p〉0)上的点A(x0，eq\r（2)）到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于（)A.eq\f(1，2） B．1C.eq\f（3,2) D．2答案D解析由题意得3x0＝x0＋eq\f(p,2)，即x0＝eq\f(p,4),即Aeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（p，4),\r（2)）），代入抛物线方程,得eq\f（p2，2)＝2，∵p〉0，∴p＝2。故选D。（2)(2017·郑州二模)过点P（－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且｜PA|＝eq\f(1,2）｜AB｜，则点A到抛物线C的焦点的距离为（）A。eq\f(5,3） B.eq\f(7，5)C。eq\f(9,7） D．2答案A解析设A（x1,y1），B(x2,y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D，E。∵｜PA|＝eq\f（1,2）｜AB｜,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(3x1＋2＝x2＋2,，3y1＝y2，)）又eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2，1)＝4x1,，y\o\al（2,2)＝4x2，））得x1＝eq\f(2，3），则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋eq\f（2，3）＝eq\f（5,3).题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题典例已知抛物线C：y2＝8x与点M（－2，2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若eq\o（MA，\s\up6（→)）·eq\o（MB,\s\up6（→))＝0，则k＝________。答案2解析抛物线C的焦点为F（2，0），则直线方程为y＝k(x－2),与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，则抛物线C与直线必有两个交点．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋eq\f(8,k2）,x1x2＝4。所以y1＋y2＝k（x1＋x2)－4k＝eq\f（8,k），y1y2＝k2［x1x2－2(x1＋x2）＋4]＝－16.因为eq\o(MA,\s\up6(→)）·eq\o(MB,\s\up6(→）)＝（x1＋2，y1－2)·(x2＋2,y2－2)＝(x1＋2)（x2＋2）＋（y1－2）(y2－2)＝x1x2＋2（x1＋x2）＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0,所以k＝2.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题典例(2016·全国Ⅲ）已知抛物线C:y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P，Q两点．（1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．（1）证明由题意知，Feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2),0）)，设l1：y＝a，l2：y＝b,则ab≠0，且Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a2，2），a）),Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（b2，2),b)），Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2），a)）,Qeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2),b）），Req\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)，\f（a＋b，2））)。记过A，B两点的直线为l,则l的方程为2x－(a＋b）y＋ab＝0.由于F在线段AB上，故1＋ab＝0。记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝eq\f(a－b，1＋a2）＝eq\f(a－b，a2－ab)＝eq\f(1,a）＝－eq\f（ab，a）＝－b＝eq\f（b－0,－\f（1,2)－\f（1，2)）＝k2。所以AR∥FQ.（2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0),则S△ABF＝eq\f(1,2）|b－a|｜FD|＝eq\f（1,2)|b－a｜eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－\f（1,2）））,S△PQF＝eq\f（|a－b|，2）.由题意可得|b－a｜eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(x1－\f（1，2））)＝eq\f（|a－b|，2),所以x1＝1，x1＝0（舍去)．设满足条件的AB的中点为E(x,y）．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得eq\f(2，a＋b）＝eq\f（y，x－1）(x≠1)．而eq\f(a＋b，2)＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0），满足方程y2＝x－1.所以所求轨迹方程为y2＝x－1.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．（2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点（设焦点在x轴的正半轴上），可直接使用公式｜AB｜＝x1＋x2＋p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入"等解法．提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法"求解．跟踪训练(2018届武汉调研）已知抛物线C：x2＝2py（p>0)和定点M（0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；（2）若△ABN面积的最小值为4,求抛物线C的方程．解（1)可设AB：y＝kx＋1，A（x1，y1),B（x2，y2),将AB的方程代入抛物线C，得x2－2pkx－2p＝0，显然方程有两不等实根，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①又x2＝2py得y′＝eq\f（x,p），则A，B处的切线斜率乘积为eq\f（x1x2,p2）＝－eq\f（2,p）＝－1，则有p＝2。(2）设切线AN为y＝eq\f(x1，p）x＋b，又切点A在抛物线y＝eq\f（x2,2p)上，∴y1＝eq\f(x\o\al(2,1)，2p)，∴b＝eq\f(x\o\al（2,1）,2p)－eq\f（x\o\al（2,1）,p)＝－eq\f(x\o\al(2,1),2p），∴yAN＝eq\f（x1，p)x－eq\f（x\o\al(2，1）,2p).同理yBN＝eq\f(x2,p）x－eq\f（x\o\al（2,2),2p)。又∵N在yAN和yBN上,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝\f（x1，p）x－\f（x\o\al（2，1）,2p），，y＝\f(x2，p）x－\f（x\o\al(2，2），2p）,））解得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x1＋x2,2），\f（x1x2，2p)））.∴N（pk,－1)．｜AB｜＝eq\r(1＋k2)|x2－x1｜＝eq\r(1＋k2）eq\r(4p2k2＋8p）,点N到直线AB的距离d＝eq\f(|kxN＋1－yN｜,\r(1＋k2)）＝eq\f(｜pk2＋2|,\r(1＋k2）），S△ABN＝eq\f(1，2）·|AB|·d＝eq\r(ppk2＋23)≥2eq\r（2p)，∴2eq\r（2p）＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y。直线与圆锥曲线问题的求解策略典例（12分）已知抛物线C:y＝mx2（m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点,P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q。（1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在,请说明理由．思维点拨（3）中证明eq\o（QA,\s\up6(→）)·eq\o(QB,\s\up6（→))＝0。规范解答解(1)∵抛物线C：x2＝eq\f(1,m）y，∴它的焦点Feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f(1,4m))）.［2分](2）∵|RF｜＝yR＋eq\f（1,4m)，∴2＋eq\f（1,4m)＝3,得m＝eq\f（1,4）。［4分](3)存在,联立方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝mx2，,2x－y＋2＝0，）)消去y得mx2－2x－2＝0，依题意，有Δ＝(－2）2－4×m×（－2)>0，得m>－eq\f(1,2）.[6分]设A(x1，mxeq\o\al(2，1)），B（x2,mxeq\o\al(2,2))，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＋x2＝\f（2,m）,，x1·x2＝－\f(2，m）.）)(＊）∵P是线段AB的中点,∴Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x1＋x2，2），\f(mx\o\al（2，1）＋mx\o\al（2，2）,2))),即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,m)，yP）），∴Qeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,m)，\f(1,m））),［8分］得eq\o(QA,\s\up6(→））＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x1－\f（1,m),mx\o\al（2，1)－\f(1，m)）），eq\o(QB,\s\up6（→))＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x2－\f(1,m)，mx\o\al(2，2）－\f（1,m）)）.若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则eq\o(QA,\s\up6（→））·eq\o（QB,\s\up6（→))＝0，即eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x1－\f（1,m））)·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x2－\f(1,m）)）＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(mx\o\al（2，1）－\f（1,m)）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mx\o\al（2,2）－\f(1,m）））＝0，[10分]结合（*）式化简得－eq\f（4,m2)－eq\f(6，m)＋4＝0，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－eq\f（1,2)，而2∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2）,＋∞))，－eq\f(1,2)∉eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2),＋∞)）。∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[12分］

解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步:写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围（或指出直线过曲线内一点）；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2（或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；第四步:反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．点M(5，3）到抛物线y＝ax2（a≠0）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2 D．y＝eq\f（1,12)x2或y＝－eq\f（1,36）x2答案D解析分两类a〉0，a〈0,可得y＝eq\f（1,12)x2或y＝－eq\f（1，36）x2。2．（2018届云南昆明一中摸底)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B,若eq\o（FA，\s\up6（→））＝3eq\o（FB,\s\up6（→)），则|eq\o(AF，\s\up6（→））｜等于（)A．3B．4C．6D．7答案B解析由已知B为AF的三等分点，作BH⊥l于H，如图，则|BH｜＝eq\f（2，3）|FK|＝eq\f(4，3)，∴｜eq\o（BF，\s\up6(→））|＝｜eq\o(BH,\s\up6（→）)｜＝eq\f（4,3)，∴｜eq\o(AF，\s\up6（→)）|＝3|eq\o(BF，\s\up6(→)）|＝4，故选B。3．（2017·皖北协作区联考）已知抛物线C:x2＝2py（p>0），若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4eq\r(5)，则抛物线C的方程为（）A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝2y D．x2＝y答案C解析由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＝2py，，y＝2x，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，，y＝0）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4p，,y＝8p，）)即两交点坐标为(0,0)和（4p,8p）,则eq\r(4p2＋8p2）＝4eq\r（5）,得p＝1（舍去负值），故抛物线C的方程为x2＝2y。4．（2017·赣州二模)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且△OAF的面积为1,O为坐标原点，则p的值为(）A．1 B．2C．3 D．4答案B解析不妨设A（x0,y0）在第一象限,由题意可知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p，2）＝2x0，，S△OAF＝\f(1,2）·\f（p，2)·y0＝1，）)即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝\f（p，2),，y0＝\f(4,p）,））∴Aeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（p,2),\f（4，p))）,又∵点A在抛物线y2＝2px上，∴eq\f（16,p2)＝2p×eq\f(p，2），即p4＝16，又∵p〉0，∴p＝2,故选B.5．（2017·汕头一模)过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点，若抛物线C在点B处的切线的斜率为1，则|AF｜等于（）A．1B．2C．3D．4答案A解析设B(x1，y1），因为y＝eq\f（1，2)x2,所以y′＝x，所以y′｜＝x1＝1，则Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，\f（1，2）)），因为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2）)），所以直线l的方程为y＝eq\f(1，2），故｜AF|＝｜BF|＝1。6．（2017·昆明调研）已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，若eq\o(OA,\s\up6(→）)·eq\o（OB，\s\up6（→)）＝－12，则抛物线C的方程为（）A．x2＝8y B．x2＝4yC．y2＝8x D．y2＝4x答案C解析由题意,设抛物线方程为y2＝2px(p〉0)，直线方程为x＝my＋eq\f(p,2),联立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y2＝2px,,x＝my＋\f（p,2），))消去x得y2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根．设A（x1,y1)，B（x2,y2),则y1＋y2＝2pm,y1y2＝－p2，得eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o（OB,\s\up6(→)）＝x1x2＋y1y2＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（my1＋\f（p，2）)）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（my2＋\f(p,2）))＋y1y2＝m2y1y2＋eq\f(pm,2）(y1＋y2)＋eq\f(p2，4）＋y1y2＝－eq\f（3,4）p2＝－12,得p＝4（舍负),即抛物线C的方程为y2＝8x。7．(2017·河北六校模拟）抛物线C:y2＝2px（p〉0）的焦点为F，点O是坐标原点,过点O，F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案y2＝16x解析设满足题意的圆的圆心为M（xM，yM)．根据题意可知圆心M在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF|＝xM＋eq\f（p,2)＝6，即xM＝6－eq\f（p，2），又由题意可知xM＝eq\f（p,4)，∴eq\f（p,4)＝6－eq\f(p,2)，解得p＝8。∴抛物线方程为y2＝16x.8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l,A为垂足．若直线AF的斜率k＝－eq\r（3），则线段PF的长为________．答案6解析由抛物线方程为y2＝6x，所以焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f（3，2)，因为直线AF的斜率为－eq\r(3）,所以直线AF的方程为y＝－eq\r（3)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f(3，2)）),当x＝－eq\f(3,2）时，y＝3eq\r(3)，所以Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2），3\r(3)）），因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3eq\r（3），可得点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（9,2)，3\r(3)）)，根据抛物线的定义可知｜PF|＝|PA｜＝eq\f(9，2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(3，2)））＝6.9．（2017·江西九校联考）抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.答案2eq\r（3)解析y2＝2px的准线方程为x＝－eq\f（p,2)。由于△ABF为等边三角形，因此不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（p，2），\f（p，\r(3）)）），Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(p,2），－\f（p,\r（3））))，又点A,B在双曲线y2－x2＝1上，从而eq\f(p2,3）－eq\f（p2,4）＝1，又p〉0，所以p＝2eq\r（3）.10．(2017·全国Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则｜FN｜＝________。答案6解析如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2。∵点M为FN的中点，PM∥OF,∴｜MP|＝eq\f（1,2)|FO|＝1.又｜BP|＝｜AO|＝2,∴｜MB|＝｜MP｜＋|BP｜＝3.由抛物线的定义知｜MF｜＝｜MB|＝3，故｜FN｜＝2｜MF｜＝6.11．(2018·郑州模拟)已知过抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点，斜率为2eq\r（2)的直线交抛物线于A（x1,y1）,B(x2，y2)(x1〈x2）两点,且|AB|＝9.（1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq\o（OC，\s\up6（→））＝eq\o（OA,\s\up6(→））＋λeq\o（OB，\s\up6（→）)，求λ的值．解(1)直线AB的方程是y＝2eq\r(2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（p，2）)),与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0.由题易知，方程必有两个不等实根．所以x1＋x2＝eq\f（5p，4)，由抛物线定义得｜AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p，4）＋p＝9,所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2）由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0,即x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2）,y2＝4eq\r(2），从而A（1,－2eq\r（2))，B（4,4eq\r(2）)．设C（x3，y3)，则eq\o(OC,\s\up6（→））＝(x3，y3）＝(1,－2eq\r（2）)＋λ（4,4eq\r（2)）＝（4λ＋1,4eq\r（2）λ－2eq\r（2))．又yeq\o\al（2，3）＝8x3，即[2eq\r（2)（2λ－1）］2＝8(4λ＋1），整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2。12．(2017·北京）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f（1，2）))作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2）求证：A为线段BM的中点．(1）解由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得p＝eq\f(1,2）,所以抛物线C的方程为y2＝x，抛物线C的焦点坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,4），0）)，准线方程为x＝－eq\f（1,4).(2)证明由题意知,直线l的斜率必存在．设直线l的方程为y＝kx＋eq\f(1，2)(k≠0)，l与抛物线C的交点为M（x1，y1），N(x2，y2)．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,2)，,y2＝x,)）得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，则x1＋x2＝eq\f（1－k,k2),x1x2＝eq\f(1，4k2).因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1,x1）．直线ON的方程为y＝eq\f（y2，x2）x,点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x1，\f(y2x1，x2）)).因为y1＋eq\f(y2x1,x2）－2x1＝eq\f（y1x2＋y2x1－2x1x2，x2）＝eq\f(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（kx1＋\f(1，2)）)x2＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(kx2＋\f（1，2）)）x1－2x1x2,x2）＝eq\f(2k－2x1x2＋\f（1，2）x2＋x1，x2）＝eq\f(2k－2×\f（1,4k2）＋\f（1－k，2k2)，x2)＝0，所以y1＋eq\f(y2x1,x2）＝2x1,故A为线段BM的中点．13．（2017·山西五校联考）已知抛物线C:y2＝2px(p〉0)上一点（5，m)到焦点的距离为6，P，Q分别为抛物线C与圆M：（x－6)2＋y2＝1上的动点，当|PQ｜取得最小值时，向量eq\o（PQ,\s\up6(→)）在x轴正方向上的投影为()A．2－eq\f（\r(5），5）B．2eq\r(5）－1C．1－eq\f（\r(21)，21)D。eq\r(21)－1答案A解析因为6＝eq\f（p，2）＋5，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.设P(x，y),则｜PM｜＝eq\r(x－62＋y2）＝eq\r(x－62＋4x)＝eq\r(x－42＋20),可知当x＝4时,｜PM|取最小值eq\r（20）,此时|PQ｜取得最小值，最小值为eq\r（20)－1＝2eq\r（5)－1，此时不妨取P点的坐标为（4，－4），则直线PM的斜率为2，即tan∠PMO＝2，所以cos∠PMO＝eq\f（1,\r(5)),故当|PQ|取得最小值时，向量eq\o（PQ，\s\up6(→)）在x轴正方向上的投影为（2eq\r（5）－1）·cos∠PMO＝2－eq\f（\r（5)，5）.14．（2017·河南安阳二模)已知抛物线C1：y＝ax2(a〉0)的焦点F也是椭圆C2：eq\f(y2，4）＋eq\f（x2,b2）＝1(b>0）的一个焦点，点M，Peq\b\lc\（\rc\）（\a\v