流体力学势流理论上演示文稿

流体力学势流理论上演示文稿当前1页，总共54页。5.1势流问题的基本方程和边界条件Laplace方程是线性方程。要使解唯一，需给出边界条件、初始条件。5.1.1基本方程——LaplaceEquition

（influid）

势流问题的数学描述——MathematicalModel当前2页，总共54页。5.1.2边界条件(BoundaryCondition)——速度势在流体域边界面上满足的条件—

物面运动速度—

流体质点的速度—

物面的单位外法向量

1)物面边界条件：物面不可穿透（onS）

S：

当前3页，总共54页。若物面运动：对求全（物质）导数若物面静止不动：，则物面边界条件简化为

（onS

）

（onS）

5.1.1基本方程——LaplaceEquition当前4页，总共54页。（1）大地坐标系：

2)无穷远边界条件

5.1.3初始条件（initialcondition)

初始时刻速度势(或)在流体域内或边界上满足的条件。（2）随体坐标系：若物体以V0运动，则问题转化为物体不动，而流体从无穷远处以-V0

流来——

绕流问题。当前5页，总共54页。例5-1半径为R

的固定大球壳中充满不可压缩理想流体，半径为a

的小球以速度V(t)在其中运动。试建立速度势定解问题。yx0

zoＶ(t)

x解:

取静坐标系o-xyz（在流体中）

外边界条件：大球面方程为，得内边界条件：小球表面方程为当前6页，总共54页。5.1.4势流问题的求解方法解析解：简单边界问题。奇点叠加法；保角变换法（平面流）。数值解：复杂边界问题。

CFD—ComputationalFluidDynamics寻求速度势满足边界条件和初始条件的Laplace方程的解。（onS）

（influid）

定解问题：当前7页，总共54页。

5.2复势（complexpotential

）1)复势函数：解析函数平面势流5.2.1复势与复速度（复平面）(C-R

条件)平面势流:φ和ψ都是调和函数，，且满足2)复速度（导数）与流体速度的关系：

借助复变函数数学工具解平面势流问题。当前8页，总共54页。4)5.2.1复势与复速度（复平面）3)复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：当前9页，总共54页。解析函数的线性组合仍然是解析函数，仍然代表某一种流动的复势。简单流动组合成复杂流动——叠加法

5.2.1复势的可叠加性当前10页，总共54页。5.3平面势流的基本解目的：求解最简单的流动，为解决复杂势流奠定基础。内容：均匀流、点源、点涡、偶极。方法：利用已知流动的特征，“凑”。mM当前11页，总共54页。5.3.1均匀流(uniformstream)

=0

时：

≠

0

时：

xa

平板yV0o当前12页，总共54页。5.3.2平面点源、点汇(sourceandsink)源强：源点注入流场的体积流量m。点源，点汇。点源位于（0，0）：

x

yψ=constφ=const

r当前13页，总共54页。点源位于（x0，y0）：5.3.2平面点源、点汇(sourceandsink)当前14页，总共54页。5.3.3平面偶极

(dipole)偶极强度：设强度为m

的源和汇相距

这对源汇构成一新的奇点为偶极，方向由汇指向源。偶极既有大小，又有方向。+m-m

位于(x0，y0），沿-x轴方向：点源，点汇当前15页，总共54页。5.3.3平面偶极

(dipole)位于（0，0）偶极：

当前16页，总共54页。位于（0，0）偶极：

当前17页，总共54页。5.3.4平面点涡(vortex)

Γ顺时针方向，若逆时针，上式加负号。位于（0，0）点涡：

不难验证，上述基本解满足Laplace方程和相应的无穷远条件的。另外，在源、涡和偶极的位置上存在奇异性（奇点）。可见，点源（汇）、偶极以及点涡都是奇点，均匀流是一个特殊的奇点。当前18页，总共54页。

作业5-4补充题:已知复势为:试分析以上流动的组成,绘出流线图.当前19页，总共54页。1.由基本解构造复杂流动的解——

基本解（奇点）叠加法。2.基本解叠加代表何种物理流动？5.4平面势流基本解的叠加5.4.1均匀流和点源的叠加+当前20页，总共54页。或驻点位置5.4.1均匀流和点源的叠加流体速度：当前21页，总共54页。5.4.1均匀流和点源的叠加过驻点(a,0)流线方程：

时，，流线Ⅰ在无穷远处的半宽为。

均匀流和源叠加可模拟绕弹形物体的流动。调整源强m和速度V0，改变流线的形状。xy当前22页，总共54页。5.4.1均匀流和点源的叠加流场中压力分布压力系数当前23页，总共54页。5.4.2均匀流和一对等强度源汇的叠加x方向均匀流+等强度源汇：源(-b,0）、汇(b,0）＋

＋

当前24页，总共54页。5.4.2均匀流和一对等强度源汇的叠加＋

将流线替换成物面，该解模拟流体绕卵形体的外部流动。点源推开流线，点汇收回流线。驻点位置：

过驻点流线：

xyo当前25页，总共54页。

沿轴正向均匀流与偶极的叠加偶极位于（0，0），方向沿

-轴：

速度分布：

驻点：

过驻点的流线由、的x轴和半径的圆组成。该解模拟流体绕圆柱的流动。

当前26页，总共54页。5.4.4绕圆柱体无环量流动研究半径为

a

的无限长圆柱体在理想流体中等速直线运动的解。(r>a)(r=a)(r∞)数学模型：取固结于圆柱上的柱坐标系V0oyxra当前27页，总共54页。5.4.4绕圆柱体无环量流动(1)速度势——基本解叠加法（通解）：

物面条件定解：

复势：

当前28页，总共54页。5.4.4绕圆柱体无环量流动(2)速度分布柱面上（r=a）：当前29页，总共54页。5.4.4绕圆柱体无环量流动(3)压力分布（无穷远处V0，p0）

得全流场压力分布。柱面上（r=a）：

Pressurecoefficient当前30页，总共54页。5.4.4绕圆柱体无环量流动阻力为零(ArchimedesParadox)

圆柱体在理想流体中作等速直线运动时，受到流体作用的阻力等于零，原因：没有考虑流体的粘性。NoliftNodrag(4)圆柱受力当前31页，总共54页。5.4.5绕圆柱有环量流动

半径为

a

的圆柱以V0作等速直线运动，转动角速度。(r>a)(r=a)(r∞)数学模型V0Goyxra当前32页，总共54页。5.4.5绕圆柱有环量流动

V0Goyxra(1)速度势：

当前33页，总共54页。5.4.5绕圆柱有环量流动

(2)速度分布柱面上（r=a）：

当前34页，总共54页。5.4.5绕圆柱有环量流动

若＜1，柱面上有两个驻点:和；若=1，柱面上只有一个驻点:；若＞1，柱面上无驻点:。环量对流场的影响：当前35页，总共54页。5.4.5绕圆柱有环量流动

(4)圆柱受力

柱面上（r=a）：

Pressurecoefficient(3)压力分布当前36页，总共54页。5.4.5绕圆柱有环量流动

阻力：升力：升力的大小：等于密度、流速V0、环量Γ0、和柱体长度的乘积。升力的方向：沿v0方向逆速度环量旋转90°所对应的方向。

V0

Г0L图5.4.7L的方向o当前37页，总共54页。圆柱：绕圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性。机翼：机翼周围流场不对称、环量（机翼几何形状、攻角）、粘性。升力产生的原因（Magnuseffect）：当前38页，总共54页。作业5-15-25-35-5当前39页，总共54页。基本思想：将物理平面上边界形状复杂的流动变换到辅助平面上边界形状简单的流动，求得辅助平面内的流动后，再返回到物理平面。z

平面:ζ平面：(1:1)5.5平面势流的保角变换法（复变函数方法）5.5.1保角变换的概念及流动关系如果ζ=f(z)

在定义域内单叶解析、导数f‘(z)≠0，则该变换是保角变换。如果ζ=f(z)

在边界上连续，域内处处解析，该变换将平面上的一个区域变换为ζ平面上的一个区域，而且保持边界上对应点的顺序不变。（1）保角变换

当前40页，总共54页。

保角变换将z平面上物体边界变为ζ平面上边界的同时，对应点上的流动也(1:1)对应。（2）两平面内对应的流动关系①

对应的复势：两平面对应点上的复势相等。等势线变换成等势线，流线变换成流线：当前41页，总共54页。

无穷远处：

②对应的速度关系：

若m∞为实常数，ζ上远方速度较z

上放大m∞倍，方向不变；若m∞为复常数，远方速度大小、方向都改变。

③

对应的速度环量和体积流量（保持不变）设z

平面上闭曲线C变换为ζ平面上的闭曲线C‘，沿对应封闭曲线C和C’

的积分②对应的速度：当前42页，总共54页。z

x

o

yR

4

3

2

1ζξoηR

4

3

2

1b1b2图5.5.1平移变换z平面的图形变换到ζ平面时，形状不变，位置平移了距离b。

5.5.2常用的几种保角变换关系（1）平移变换：当前43页，总共54页。（μ为实常数）zxo

y

R

4

3

2

1ζξoηR

4

3

2

1

μ图5.5.2旋转变换z平面上的图形变到ζ上时，形状不变，但绕原点旋转了μ度。

（2）旋转变换：当前44页，总共54页。（A为实常数）

②圆变换为椭圆

z上圆r≠Aζ上椭圆

：（3）儒可夫斯基变换：

①圆变换为直线z上圆r=Aζ上直线ζ＝±A：z

xoy

A

4

3

2

1A

4

3

2

1ζ

ξ

η当前45页，总共54页。

（A为实常数）

③圆变换为翼型

z上位于（x0,y0)

的圆

r≠A

ζ上翼型

Joukowski变换：

利用Joukowski变换可讨论理想流体绕平板和翼型的流动。

当前46页，总共54页。5.5.3理想流体绕平板的流动

工程应用：近似估计船用舵、风向标、对称机翼等流动。物理

平面辅助平面辅助平面

物理平面ζ上平板绕流复杂，复势W(ζ)=？求解思路：物理平面ζ上平板变换为辅助平面z1上的圆，相应地平板绕流变换为圆柱绕流.流速V0、板宽2a

，流向与平板夹角α。当前47页，总共54页。复势：变换函数(Joukowskimapping)：来流速度：当前48页，总共54页。