第2章随机过程的基本概念

第一章随机过程的基本概念§1.1

基本概念§1.2

有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理§1.3

随机过程的数字特征§1.1

基本概念

Ex.1

对某城市的气温进行n年的连续观察,记录得一、实际背景

在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?随机过程的谱分析问题

Ex.2从杂乱电讯号的一段观察{Y(t),0<t<T}

中,研究是否存在某种随机信号S(t)?过程检测

Ex.3监听器上收到某人的话音记录{Z(t),α<t<β}

试问他是否确实是追踪对象？过程识别二、随机过程定义为(ΩF,P)上的一个随机过程.定义设(Ω,F,P)是概率空间,

,若对每个是概率空间(ΩF,P)上的随机变量,则称这族随机变量注1)称T是参数集(或参数空间)当T=(1,2,…，n),

随机向量当T=(1,2,…,n,…),

随机时间序列

随机过程是n维随机变量，随机变量序列的一般化,是随机变量X(t),的集合.

用E表示随机过程的值域,称E为过程的状态空间.Ex.4设(Ω,F,P)是对应于抛均匀硬币的概率空间:做无穷多次抛硬币独立试验,引入随机变量

则是一随机过程.

其参数集T={0,1,2,…},状态空间E={0,1}.随机过程的理解为集合T与Ω的积集.称

随机过程可看成定义在积集上的二元函数1)当固定是一个随机变量；2)当固定,作为的函数，是一个定义在T上的普通函数.TΩX(t1,ω)X(t2,ω)X(t,ω1)X(t,ω2)X(t,ω3)t1t2tn

定义对每一固定，称是随机过程的一个样本函数.也称轨道,路径,现实.Ex.5利用抛硬币的试验定义一个随机过程，

设出现正反面的概率相同,写出X(t)的所有样本函数.解记ω1={出现正面},ω2={出现反面},则X(t)的所有现实为x(ω1,t)=cosπt,和x(ω2,t)=2t.1、分布函数定义

对任意,二维随机变量(X(s),X(t))联合分布函数

定义1

随机过程，对随机变量X(t)的分布函数,称为过程XT的一维分布函数.二、有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理称为XT的二维分布函数族.

定义2

过程对任给的随机向量的联合分布函数称为过程的n维分布函数.记称F为XT的有限维分布函数族.

定义3

过程的n维特征函数定义为

特征函数和分布函数是相互唯一确定.

称为XT的有限维特征函数族.2.随机过程存在定理

随机过程的有限维分布函数族满足以下两个性质（1）对称性

对1,2,…,n的任一排列j1,j2,…,jn,均有

对任意固定的自然数m<n,均有（2）相容性注联合分布函数能完全确定边缘分布函数.

因事件乘积满足交换律.注类似地,随机过程的有限维特征函数满足:

1)

对1,2,…,n的任一排列j1,j2,…,jn

有

2)

对任意固定的自然数m<n,均有3、随机过程存在定理(柯尔莫哥罗夫)如果分布函数族

满足条件(1)和(2),则存在一个概率空间上的一个随机过程,其有限维分布函数族恰为即有

在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性质.1、均值函数、方差函数及相关函数

定义给定随机过程,称为过程XT的均值函数.需确定各类数字特征随时间的变化规律.三、随机过程的数字特征

定义给定随机过程,称为过程XT的方差函数.称为过程XT的均方差函数.

需要描述不同时刻过程状态的关联关系.

定义给定随机过程,称为过程XT的协方差函数.有

定义给定随机过程,称为过程XT的自相关函数.有特别当时XT是零均值过程称为过程XT的自相关系数.定义给定两个随机过程称为和的互协方差函数。称为和的互相关函数。Ex.1设p,q是两个随机变量,构成随机过程

均值函数为自相关函数为

若p,q相互独立，且均服从分布N(0,1)，则Ex.2

设随机过程

其中β是正常数,随机变量A

与Θ相互独立,A～N(0,1),Θ～U(0,2π).试求过程的均值函数和相关函数.解随机变量函数的数学期望公式2、复随机过程

定义设和是两个实随机过程，称为复随机过程.复随机过程的均值函数为方差函数为自相关函数为自协方差函数为

定义设和是两个复随机过程,它们的互相关函数定义为互协方差函数为四、随机过程的分类1.按状态空间和参数集进行分类1)T,E

均为可列集;2)T

是可列集,E

不可列;3)T

不可列,E

为可列集;4)T,E

均不可列.

当T为可列集,称为离散参数随机过程,随机序列,时间序列.

当E为可列(或有限)集,称为离散状态随机过程.2.按概率结构进行分类1)二阶矩过程

若过程对每一个,的二阶矩都存在.2)平稳过程①宽平稳过程（或协方差平稳过程）若仅依赖称为宽平稳过程。②严平稳过程有相同的联合分布，则称该过