函数y=Asin(ωx+φ)（第一课时） 教学设计

教学设计5.6函数y=Asin(ωx+φ)（第一课时）学科数学年级高一学期秋季授课人王健学校安徽省六安第一中学东校区教科书书名：高中数学必修第一册（2019A版）出版社：人民教育出版社教材分析课程标准：结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图像理解参数的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.教材的地位与作用：y=Asin(ωx+φ)是中学数学重要的内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又在数学、物理及其他应用学科中都有非常重要的应用；从y=sinx的图像到y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程，较完整的展现了图像的平移变换、伸缩变换，是打开对一般图形变换学习的一把钥匙.学情分析1.学生之前已经学习了正、余弦函数的图像与性质，也在初中掌握了二次函数图像的平移变换，具备了用类比等思想解决这类问题的能力.2.但是高一学生正处在由经验型到理论型的跨越阶段，观察能力和抽象概括能力还有待加强；因此，学生在匀速圆周运动的建模过程以及将参数的实际意义与函数图象中的对应点相关联的思路方法并不熟悉，需要问题引导.教学目标分析1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界的密切联系，发展数学建模核心素养.2.掌握参数对函数图像的影响，理解参数在圆周运动中的实际意义，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象核心素养.3.会运用函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质解决简单的数学问题和实际问题.培养数学运算核心素养．教学重难点教学重点：建模y=Asin(ωx+φ)以及参数对图像的影响.教学难点：数学建模的过程与方法、图像的变换和解析式中变量的变换之间的关系.教学方法教法：用问题串“串联”所有的活动，层层递进，引领学生积极思考；并通过实验及几何画板软件更加丰富的展现图像的动态形成过程，提高课堂教学效率.学法：学生通过一连串的问题的回答，参与了知识的发生发展过程，并在自主探究、小组合作交流等过程中掌握知识，提高能力.教学过程设计教学过程设计意图环节一：课前任务，情境引入问题1（课前）：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生生产中得到使用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图描绘了筒车的工作原理。假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.追问1：你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？追问2：与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？活动一：课前探究，遇到困难时，请同学们逐个打开纸张背面的“锦囊”.“锦囊1”:因为筒车上的盛水筒运动具有周期性，可以考虑用三角函数来刻画.“锦囊2”:建构函数模型如图，盛水筒距离水面的高度H由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P0，所经过的时间t．通过筒车模型引入，体现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和解决问题.将问题作为课前活动，既让学生有充分的思考探究时间，又节省课堂时间，从而更好的完成本节课的教学任务.两个“锦囊”，引导学生进行有序的思考，从而避免思维的盲目性；同时将参数中的字母进行统一，使得后续不同学生展示自己的“作品”时，方便共同理解.环节二：课堂展示，各抒己见活动二：PPT展示学生的课前作品，并让该作品的作者阐述自己的做法及理由,老师点评并共同得出本节课的研究对象.师：两位同学的思路很好，哪种建系方式更方便呢？生：第二个.师：函数H=rsin(ωx+φ)+h就是“筒车”问题要建立的数学模型，由于h是常量，可以只研究函数y=rsin(ωx+φ)的性质.这就是本节课要研究的函数——§5.6.2函数y=Asin(ωx+φ)的图象让学生自己讲述自己的设计思路和求解过程，既让学生有更多的课堂参与感，以学生为主体，又能解决学生的实际问题，方便比较方法的优劣.同时引出本节课的研究对象——y=rsin(ωx+φ)环节三：课前实验，课中再现问题2：通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)的函数，这个函数在物理中也经常出现，你见过它的图像吗？生：这个解析式就是“简谐运动”的解析式，它的图像在实验中获取过.问题3：能否借助函数y=sinx的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响？以前用过这种方法吗？活动三：学生思考辨析这种方法的可行性以及具体策略.生1：根据两者图像的相似性，应该可以.生2：根据初中二次函数图像的平移变换的学习经验，应该可以.追问1：三个参数同时变化时，难以观察其图象的变化规律，应该如何解决？生：逐个研究.师：多参数问题的一般研究策略——控制变量法.追问2：研究顺序呢？师生：先φ，再ω，最后A.既通过实验得出了函数y=Asin(ωx+φ)的图像，了解其在物理上的应用，感受进一步学习它的必要性，又从中发现它与y=sinx图像的相似性，为接下来通过变换得出图像提供了可能.通过“问题3”引导学生从实验结果以及类比之前“二次函数”的学习经验确定这种探究思路的可行性，通过“追问1”明确多参数问题的一般研究策略——控制变量法，渗透将复杂问题逐个简单化的化归思想；通过“追问2”明确本节课对三个参数的研究顺序.环节四：探索φ对y=sin(x+φ)图象的影响问题4：按照刚才确定的研究思路，你计划怎样具体研究参数φ对函数y=Asin（ωx+φ）的图像的影响？生：确定A，ω的值，取φ的不同值研究图像上任意点的位置变化.师生：不妨取A=1，ω=1，φ分别取0和π/6.即研究路径y=sinxy=sin(x+π/6)追问1：从匀速圆周运动的数学模型y=Asin(ωx+φ)的角度，设动点M在单位圆上逆时针运动，A=1，ω=1分别表示什么意义，φ的不同值表示什么含义？生：A=1表示半径为1，ω=1表示转速为1，φ的不同值表示起始位置不同.追问2：当动点M起点位于Q0，即φ=0时，设经过x秒后点M的纵坐标为y，那么点M的纵坐标y与时间x的函数关系式是什么？生：y=sinx.追问3：设动点M经过x0秒后运动到点P，点P的纵坐标为y0，你能在单位圆和坐标系中分别标出x0、y0以及点P、点F（x0，y0）吗？活动四：学生上台在电子屏上分别标出两处x0、y0.追问4：在单位圆上拖动起点Q0绕点O1旋转π/6到Q1（即φ=π/6），让动点以Q1为起点，此时点M的纵坐标y与时间x的函数关系式是什么？生：y=sin(x+π/6).追问5：此时，若到达相同点P，所需时间x是多少呢？生：x0-π/6.追问6：因此，点G（x0−π/6，y0）即在哪个函数图像上，它由点F如何运动得出？生：点G（x0−π/6，y0）在y=sin(x+π/6)图像上，它是由点F向左移动π/6个单位得到的.追问7：如上，我们找到了两个函数图像上任意点的变化，因此，如何从y＝sinx的图像得到y＝sin(x+π/6)的图像呢？生：将y＝sinx的图像向左移动π/6个单位.追问8：如果使点Q0绕点O1旋转-π/6,π/3,-π/3呢？活动五：小组合作探究，并请一位同学上台用几何画板演示.追问9：“解析式的直观变化”与“图像的直观变化”之间有没有关联呢？活动六：先让学生填写蓝色字内容，再让学生小组讨论.通过“问题4”让学生明确在三个参数中单独研究参数φ的具体措施，通过“追问1”引导学生从匀速圆周运动的实际意义的角度来研究φ的变化对函数图像的影响.通过“追问2”让学生明确现在研究的函数解析式为y=sinx，通过“追问3”引导学生将时间x0与弧度角x0以及横坐标x0对应起来，将点P的纵坐标y0与点F的纵坐标y0对应起来，从而建立起圆周运动中的点P与函数y=sinx图像中的点F的对应关系，熟悉了数与形之间的相互切换，为下面建立点P、点F以及y=sin（x+π/6）中的点G这三个点之间的联系做好铺垫.通过“追问4”让学生明确即将研究的函数解析式为y=sin（x+π/6），通过“追问5”确定函数图像中点G的横坐标，通过“追问6”明晰y=sin（x+π/6）图像中的点G与y=sinx图像中对应点F之间的几何位置关系.通过“追问7”将点的变化转化为图像的变化，渗透了从本质研究表象的思维方式；通过“追问8”让学生再次熟悉φ的不同取值对函数图像的影响，通过几何画板的动态演示既验证了大家的成果，又增强了学生们的直观印象.前面本质的探究为表象的解释提供理论依据，同时，剔除本质后，“表象→表象”的规律为以后解题提供了极大的方便。环节五：探索ω对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响问题5：类比参数φ对函数y=sin（x+φ）图象影响的研究过程，你计划怎样具体研究参数ω对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响？生：确定A，φ的值，取ω的不同值研究图像上任意点的位置变化.师生：不妨从刚刚获取的函数y=sin(x+π/6)入手去研究ω的变化对图像的影响，不妨取A=1，φ=π/6，ω分别取1和2.即研究路径y=sin(x+π/6)y=sin(2x+π/6).追问1：从匀速圆周运动的数学模型y=Asin(ωx+φ)的角度，设动点M在单位圆上逆时针运动，A=1，φ=π/6分别表示什么意义，ω的不同值表示什么含义？生：A=1表示半径为1，φ=π/6表示起始位置为Q1处，ω的不同值表示转速不同.追问2：当起点位于Q1，即φ=π/6时，若取ω=1，设经过x秒后点M的纵坐标为y，那么点M的纵坐标y与时间x的函数关系式是什么？生：y=sin(x+π/6).追问3：设动点M经过x0秒后运动到点P，点P的纵坐标为y0，你能在单位圆和坐标系中分别标出x0、y0以及点P、点G（x0，y0）吗？生：可以！追问4：仍然取起点Q1，即φ=π/6时，但是取ω=2，设经过x秒后点M的纵坐标为y，那么点M的纵坐标y与时间x的函数关系式是什么？生：y=sin(2x+π/6).追问5：此时，若到达相同点P，所需时间x是多少呢？生：x0/2.追问6：因此，点K（x0/2，y0）即在哪个函数图像上？它由点G如何运动得出？生：纵坐标不变，横坐标变为原来的1/2倍.追问7：如上我们找到了两个函数图像上任意点的变化，因此，如何从y=sin（x+π/6）的图像得到y=sin（2x+π/6）的图像呢？生：压缩为原来的1/2倍.师：很好，也可以说图像上的每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的1/2倍.追问8：如果分别取ω=1/2，3，1/3，对应的函数图象与函数y=sin（x+π/6）的图象之间存在怎样的变换关系？周期如何？活动七：小组合作探究，并请一位同学上台用几何画板演示验证.追问9：“解析式的直观变化”与“图像的直观变化”之间还满足有刚才的规律吗？追问10：你能将以上具体的数值变为参数φ和ω，进而得出一般性的结论吗？生：可以！通过“追问1”引导学生继续从匀速圆周运动的实际含义的角度来研究ω的变化对函数图像的影响.通过“追问2”让学生明确现在研究的函数解析式为y=sin（x+π/6），通过“追问3”引导学生将时间x0与弧度角x0以及点G的横坐标x0对应起来，将点P的纵坐标y0与点G的纵坐标y0对应起来，从而建立圆周运动中点P与函数y=sin（x+π/6）图像中的点G的对应关系，为下面建立点P、点G以及y=sin（2x+π/6）中的点K这三个点之间的联系做好铺垫.通过“追问4”让学生明确现在研究的函数解析式为y=sin（2x+π/6），通过“追问5”确定函数图像中点K的横坐标，通过“追问6”明晰y=sin（x+π/6）图像中的点G与y=sin（2x+π/6）图像中对应点K之间的几何位置关系.通过“追问7”将本质上点的变化转化为表象上的图像的变化，渗透了从本质研究表象的思维方式，“追问8”让学生再次熟悉ω的不同取值对函数图像的影响的分析过程，通过几何画板的动态演示既验证了刚才的分析过程，又增强了学生们的直观印象,让数学的学习变得有画面感.通过“追问9”既复习了刚刚学过的“规律”，又通过聚集展示发现这种“规律”的普适性，并通过“追问10”由学生归纳出从具体到一般的结论，培养学生抽象概括能力，这种由“表象→表象”的规律为以后解题带来极大的方便.环节六：课后自主学习A对y=Asin（ωx+φ）图象的影响课后探究1：当参数A变化时，对函数y=Asin（ωx+φ）图象有什么影响？类比问题4与5，请同学们课后自主探究！课后探究2：按照路线y=sinxy=sin（x+φ）y=sin（ωx+φ）y=Asin（ωx+φ），总结一下从函数y=sinx出发，通过图象变换得到函数y=Asin（ωx+φ）的过程与方法.并将每一步平移和伸缩变换的过程详细写出来.通过前面对参数φ、ω的研究，学生已经有了一定的实践经验和理论基础，应该有能力解决此问题.通过两个自主探究，让学生自己设计并再次感受匀速圆周运动与三角函数解析式及其图像之间的本质联系；并通过对观察到的现象进行理性的思考，用数学的语言准确的描述数学对象，进一步提升学生的直观想象和逻辑推理素养.环节七：课时小结，回归y=Asin(ωx+φ)１．本节课我们研究了什么问题？研究的路径是怎样的？匀速圆周运动的数学建模；函数y=Asin(ωx+φ)的图象.构建构建抽象转化实际问题数学问题三角函数模型y=Asin(ωx+φ)函数y=Asin(ωx+φ)的图象运用了什么数学方法？控制变量法（局部到整体）、特殊到一般.蕴含着哪些数学思想？转化化归、数形结合，类比迁移.随着学生对知识、方法、思想三个方面问题的回答，无形中将本节所学知识回顾了一遍.环节八：达标检测，摸底y=Asin(ωx+φ)1、已知函数y＝3sin（x+π/5）的图象为C．（1）为了得到函数y＝3sin（x−π/5）的图象，只要把C上所有的点（）A．向右平行移动π/5个单位长度B．向右平行移动π/5个单位长度C．向右平行移动2π/5个单位长度D．向右平行移动2π/5个单位长度（2）为了得到函数y＝3sin2x的图象，只要把C上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变