2023全国高中数学联赛模拟试题总

2023年全国高中数学联赛模拟试题01第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.设，，，则______.2.设，．若的非空子集个数为1，则实数的取值范围是．3.设是满足的点构成的区域，则区域的面积为_______.（其中表示不超过实数的最大整数）.4.二元函数的最大值为___5.已知是双曲线上靠近点的一个顶点．若以点为圆心，长为半径的圆与双曲线交于3个点，则的取值范围是．6.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为，第偶数局，乙赢的概率为.每一局没有平局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为________.7.设五边形满足，则的最小值为8.过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面所成的角为.这样的截面共可作出个.二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）.试求实数的取值范围，使得是不等式的最小整数解.10.（本小题满分20分）、数列定义为，，.⑴求证：数列为整数列；⑵求证：是完全平方数.11.（本小题满分20分）已知S,P(非原点)是抛物线y=x2上不同的两点,点P处的切线分别交x,y轴于Q,R.(1)若,求的值;(2)若,求ΔPSR面积的最小值.2023年全国高中数学联赛模拟试题01加试一、（本小题满分40分）一、如图，设为的一个交点，直线切分别于，为的外心，关于的对称点为，为的中点.求证：.二、（本小题满分40分）设.证明:对任意m∈N*,存在n∈N*,使得[Sn]=m.三、（本小题满分50分）试求所有的正整数，使得存在正整数数列，使得和互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.四、（本小题满分50分）集合是由空间内2023个点构成，满足任意四点不共面.正整数满足下列条件：将任意两点连成一条线段，并且在此线段上标上一个的非负整数，使得由中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.试求的最小值.2023全国高中数学联赛模拟试题02填空题（每小题8分，共64分）在如下图所示的正方体中，二面角等于（用反三角函数表示）如果三角形的三个内角满足依次成等差数列，则角的最大值是3.实数列满足条件：，则通项公式。4.是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，如果的面积为1，则5.在同一直角坐标系中，函数与其反函数的图像恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是6.已知正实数与非负实数满足(1);(2)，则的最大值为__________．7.已知20块质量为整数克的砝码可称出克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．8.设是定义在区间上的函数，则函数的图像与轴所围成图形的面积是简答题（本大题共3小题，共56分）（16分）设数列的前项和组成的数列满足，已知求数列的通项公式。（20分）设是多项式方程的三个根。（1）已知都落在区间之中，求这三个根的整数部分；（2）证明：（20分）如下图，椭圆是椭圆上的两点，直线是上的一个动点，是过点且与相切的直线，分别是直线与，与，与的交点，求证：三条直线和共点。2023全国高中数学联赛模拟试题02一（本题满分40分）对任意实数，定义运算“”为：．在直角坐标系中，设点集，求所对应的平面区域的面积．二（本题满分40分）如图，在中，，为的垂心，M为边BC的中点，点在边上且满足，点在直线上的射影为.证明：的外接圆与的外接圆相切.三（本题满分50分）整数满足.求的最小值,并求出一切达到最小值的四元数组四（本题满分50分）设整数,，，对，记为满足，，的数组的个数，类似定义，.证明：.2023全国高中数学联赛模拟试题03一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.已知函数，若实数满足，则的取值范围是__________．2.函数满足，则的最大值为．3.设复数，，，（），则当取到最小值时，________________4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为，高为，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a的值应取为．5.在中，，是所在平面上任意一点，则的最小值是______________6.正数列满足:(为前项之和),则=_____________________．7.设过点的直线与抛物线交于点，与圆交于点，若且，则这样的直线的条数是8.6名男生和名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.至少有名男生站在一起的概率为，若，则的最小值为．二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.已知正数数列满足：（），且，求的通项公式．10.二次函数的图像开口向上，与轴正向交于两点，与轴交于点，以为顶点，若三角形的外接圆与轴相切，且，则时，求的最小值．11、已知圆（）与椭圆有公共点，求圆的半径的最小值．2023全国高中数学联赛模拟试题03加试一（本题满分40分）如图，圆、圆与圆相交于点，圆和圆的另一个交点为，经过点的一条直线分别交圆、圆于点、，的延长线交圆于点，作交圆于点，再作、分别切圆、圆于、．求证：．二、（本题满分40分）若数列是项为非负整数的不减数列，且满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列，如此可定义数列等．求证：．三、（本题满分50分）证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个，至少存在一个，满足：．四、（本题满分50分）平面上有（）个半径相同的圆，其中任意两个圆都不相切，任意一个圆至少与另外三个圆相交．设这些圆的交点个数为，求的最小值．2023年全国高中数学联赛模拟试题04第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.集合与恰有一个公共元为正数，则．2.若函数在区间上递增，则的取值范围是___________.3.已知，且，则的最大值为________.4.在单调递增数列中，已知，，且，，成等差数列，，，成等比数列，.那么，_________.5.已知点是空间直角坐标系内一定点，过作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于三点，则所有这样的四面体的体积的最小值为．6.在中，角的对边为，，，又知，则的面积为．7.已知过两抛物线，的交点的各自的切线互相垂直，则实数a的值为．8.若整数既不互质，又不存在整除关系，则称是一个“联盟”数对；设是集的元子集，且中任两数皆是“联盟”数对，则的最大值为．二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）设数列满足．求证：（1）当时，严格单调递减．（2）当时，，这里．10.（本小题满分20分）设椭圆与抛物线有一个共同的焦点，为它们的一条公切线，、为切点，证明：．11.（本小题满分20分）求证：（1）方程恰有一个实根，并且是无理数；（2）不是任何整数系数二次方程的根．2023年全国高中数学联赛模拟试题04加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）如图，在锐角中，、分别是边、的中点，的外接圆与的外接圆交于点（异于点），的外接圆与的外接圆交于点（异于点）。求证：.二、（本小题满分40分）求所有素数，使得三、（本小题满分50分）设n是一个正整数，是4n－1个正实数，使得．令，证明：．四、（本小题满分50分）n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局．规定胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m－1个棋手，也有一个棋手输给了其余m－1个棋手，就称此赛况具有性质P（m）．对给定的m（m≥4），求n的最小值f（m），使得对具有性质P（m）的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同．2023年全国高中数学联赛模拟试题05第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.函数的值域是2.函数在中的零点个数为3.设是平面上的两点,是关于的对称点,是关于的对称点,,若,则4.设动点,其中参数,则线段扫过的平面区域的面积是5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是6.一个球外接于四面体，另一半径为1的球与平面相切，且两球内切于点，已知,，则四面体的体积为8.用表示非空整数集S中所有元素的和，设是正整数集，且，若对每个正整数，存在A的子集S，使得，则满足上述要求的的最小值为．二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）已知是正实数,求证:10.（本小题满分20分）设是不同的正实数.证明：是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数，都有11.（本小题满分20分）已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点．（1）用表示四边形的面积；（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程．2023年全国高中数学联赛模拟试题05加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形.二、（本小题满分40分）对给定的自然数与，＜，任意一个由个连续整数组成的集合都含有两个不同的数，它们的乘积能被整除．三、（本小题满分50分）求证：数列的每一项都是整数，但都不是3的倍数四、（本小题满分50分）圆周上有个点，用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点，求由此形成的互不重叠的圆内区域的个数．2023全国高中数学联赛模拟试题06一试填空题（每小题8分，共64分）1.函数的值域是.2.已知成等比数列，成等差数列，则该等差数列的公差为3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于.4.设椭圆与双曲线相切，则.5.设是复数，则的最小值等于.6.设，，是实数，若方程的三个非负实根构成公差为1的等差数列，则的最大值是.7.设是的内心，，，，，，动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于.8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是.简答题（本大题共3小题，共56分）9．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求出所有的正整数，使得．10.已知函数及△满足下列条件：（1）成等差数列；（2）为方程的一个根，（3）为方程的两个不相等的实根；（4）求及的度数11.过抛物线的焦点做直线与抛物线交于（1）求证：△不是直角三角形；（2）当斜率为时，抛物线上是否存在点使得△为直角三角形，若存在，求出所有的点；若不存在，说明理由2023全国高中数学联赛模拟试题06加试一（本题满分40分）如图，在△中，，是△的外接圆，过点作的切线交延长线于点，过点作的两条垂线分别与的中垂线交于点.求证：三点共线二、（本题满分40分）已知无穷正数数列满足：（1）存在，使得；（2）对任意正整数均有，求证：三、（本题满分50分）设满足：，集合，如果，求证：（其中表示不超过的最大整数）四、（本题满分50分）求所有的自然数，使得存在的一个置换满足：集合和均为的完全剩余系2023年全国高中数学联赛模拟试题07第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.若函数=的图像关于直线对称，则的最大值是2.设在[3,4]上至少有一个零点，则的最小值为3.设直线与曲线有三个不同的交点,且,则直线的方程为________4.椭圆的左焦点为，在椭圆上且满足，则的最大值为5．设实数满足条件，，其中，则的最大值是。6．若是边长为的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别为，若，则满足条件的点有两个，分别设为，则之间的距离为7.三棱锥A-BCD中,△BCD、△ACD均为边长为2的正三角形,△BCD在平面内，侧棱AB=．现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的4个,并记对应的标号为,(取值为A、B、C、D),E为侧棱AB上一点．若|BE|:|EA|=f(B)：f(A),则二面角E-CD-A的平面角大于的概率为8．设方程（为奇数）的个根为，则．二、解答题：本大题共3小题，共56分.xyPAQO9.如图，已知抛物线CxyPAQO（1）若AP⊥AQ,证明：直线QP过定点，并求出定点坐标；（2）假设直线PQ过点T(5,-2)，请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△QAP的个数，若不存在请说明理由．10.求正整数和使得，且++=111.设为一个正整数，证明：存在实数和，，，使得对所有的实数均成立。2023年全国高中数学联赛模拟试题07加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）在中，点是边上旁切圆圆心关于中点的对称点，点是边上旁切圆圆心关于中点的对称点，边上旁切圆切边于点．求证：．（边上旁切圆指与的延长线及线段均相切的圆．）二、（本小题满分40分）若非空集合满足，则称为级好集合．记为级好集合的个数（其中表示集合的元素个数，表示集合的最小元素）．求证：对一切正整数，都有．三、（本题满分50分）（1）设为奇质数，不整除则（2）是不同的正有理数，使得存在无穷多个正整数是正整数，求证：也是正整数四、（本题满分50分）设且是任意的和为正数的n个不同的实数。是这n个数的一个排列，若对，有。我们就称是一个“好排列”。求“好排列”个数的最小值。2023年全国高中数学联赛模拟试题08第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.不等式的解集是2.适当排列三个正实数使得它们取常用对数后构成公差为1的等差数列，则的值等于3.已知空间四边形的对角线分别是的中点，若异面直线所成角为，则4.在△中，设且，则5.设为圆上一定点，点在该圆的内部或圆周上，且△是边长为的正三角形，则的最小值是6.已知，则的取值范围是7.过椭圆内一点作直线分别与椭圆交于点，过分别作椭圆的切线交于，过分别作椭圆的切线交于，则直线的方程是8.正六边形的中心为，对这7个点中的任意两点，以其中一点为起点，另一点为终点作向量，任取其中两个向量，它们的数量积的绝对值的数学期望是二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.已知数列的通项公式为，数列满足：，且当时＝－，其中＝－证明：一定存在数列使得数列中的每个数均为完全平方数10.非负实数，，满足.求的最大值.11.已知是抛物线上不同的三点，有两边所在的直线与抛物线相切，证明：对不同的为定值2023年全国高中数学联赛模拟试题08加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）二、（本小题满分40分）三、（本题满分50分）四、（本题满分50分）2023年全国高中数学联赛模拟试题09第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.方程的解集为(其中，是无理数，)．则中的所有元素的平方和等于2.平面内有圆(如图)是直径，，是上一点．若，则二面角的平面角的余弦值是3.在一次网球比赛中，个女子和个男子参加，并且每个选手与其他所有选手恰好比赛一次，如果没有平局，女子胜的局数与男子胜的局数之比7：5，则4.设为非负实数，为正实数，且．则的最小值是5.在双曲线上任取三点，则垂心的轨迹方程为6.函数，.过点作函数图像的切线，令各切点的横坐标构成数列，则数列的所有项之和的值为7.设一元三次方程的三根在复平面上所对应的点刚好组成一个正三角形，则此正三角形面积为．8.使得成立的最小正整数是．二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.设是的整系数多项式有五个互不相同的整数根．证明：方程没有整数根．10.已知数列求证：．11.点是椭圆上的任意一点，直线截椭圆所得的弦被直线平分且满足.的面积为，判断四边形的形状及直线与椭圆的公共点的个数，证明你的结论.2023年全国高中数学联赛模拟试题09加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）已知是等腰三角形，是腰上的高线，的中点为．求证：二、（本小题满分40分）设实数满足，对正数，求证：三、（本题满分50分）是否存在正整数n>1,使得1，2，3，…，n2能放在一个n×n方格表内，使得每行的乘积是相同的？证明你的结论．四、（本题满分50分）给定个（≥5）互不相等的实数＜＜…＜，所有的个和（1≤,≤,）中互不相同的数恰好有个的充分必要条件是成等差数列．2023年全国高中数学联赛模拟试题10第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.若实数满足，且，则的值是2.已知集合，且，其中．若任意，均有，则实数的最大值为3.复数满足，则等于4.已知，其中为整数，则．5.表示、中较小的数，不等式的解集是.6.在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD=∠BDC=.已知E是BD上一点，满足CE⊥BD且BE=AD=1.点D到平面ABC的距离为，则的值为.7.设为抛物线上相异两点，则的最小值为8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字或.则输出的前个数字之和被整除的概率为.二、解答题：本大题共3小题，共56分.9．在矩形中，，为边的中点，设、分别、是上的动点，且满足，连接与交于点，求动点轨迹方程，并指出它的形状。10.设数列定义为（1）证明：当时，（2）证明：11.已知，对任意实数均有，求使取最小值的所有实数对.2023年全国高中数学联赛模拟试题10加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）如图，四边形内接于圆，延长线交于，延长线交于，为圆上任一点，分别交圆于，若对角线交于，求证：三点共线二、（本小题满分40分）给定实数，个复数满足证明：三、（本题满分50分）求具有下述性质的所有整数：存在无穷多个正整数使得不整除四、（本题满分50分）给定整数，求最小的整数，使得存在两个由整数构成的集合，同时满足以下条件：（1），且；（2）对中任意两个不同元素有：当且仅当2023年全国高中数学联赛模拟试题11第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.已知数列满足：则的最大值为.2.已知,则的值域为.3.不等式的解集是4.单位正方体中，分别是棱的中点，则点到所在平面的距离为．5.不等式对所有满足的二次函数恒成立，则实数的最小值是6.椭圆的左右焦点分别为为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，点分别是△的内心、重心.已知对任意点，恒垂直于轴，则椭圆的离心率为7.已知方程在上有一根，则=8.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，则的期望的变化范围为二、解答题：本大题共3小题，共56分.9．已知，求证：10.设.(1)若，求及数列的通项公式；(2)若，问：是否存在实数使得?证明你的结论11.已知两条直线点到直线的射影分别为，（1）求使成立的点的轨迹曲线；（2）若与曲线恰有7个交点，求的值2023年全国高中数学联赛模拟试题11加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）设是给定的正整数，且.对于个实数，记的最小值为.若，试求的最大值二、（本小题满分40分）如图，设依次是一个圆上的六个点，满足，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，点在线段上，使得.求证：.三、（本题满分50分）试确定所有同时满足的三元数组，其中为奇素数，为大于1的整数四、（本题满分50分）2023年全国高中数学联赛模拟试题12第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.已知实数满足，则的最大值为2.从集合中任选个不同元素，考虑这个元素的两数和、三数和、四数和，这11个和中恰有两个和为0的概率为3.设是两个给定的正数，且，如果对任意的，实数都满足，则称对于来说是“好数”.则满足条件的最大好数是（用表示）4.球面上有四点，两两垂直，且，则球面面积的最小值为5.设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为6.记，则的最小值是。7.已知满足，则二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.已知线段为过抛物线焦点的弦，为原点，求△的三边边长的平方和的取值范围10.设非负实数满足,,试求的最大值和最小值11.若递增正整数数列满足且（1）求数列的通项公式；（2）设其中是正整数，是无理数，求证：2023年全国高中数学联赛模拟试题12加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）二、（本小题满分40分）三、（本题满分50分）四、（本题满分50分）2023年全国高中数学联赛模拟试题13第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．若正实数满足和，则的值是．2．如果△ABC中，tanA,tanB，tanC都是整数，且A>B>C，则tanB=3．设，当时，的小数点后第一位数字是．4．若，则的值是．5．函数满足则的值是．6．在四面体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4,OD=l，则四面体ABCD体积的最大值为．7．设是椭圆的长轴端点，是椭圆上异于的点，自分别作直线则的交点轨迹方程是8．某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上中的某个数，如果他最后写上去的两数之和是一个质数，那么游戏结束．则他完成游戏时所写的最后一个数为的概率为二、解答题：本大题共3小题，共56分.9．设函数．（l）证明：当时，；(2)数列｛｝满足，证明：数列｛｝递减且．10．设抛物线和双曲线交于点，这两条曲线的公切线分别切抛物线于点，切双曲线于点．求的面积．11．设是3个模不大于1的复数，是方程的两个根．证明：对j＝1，2，3，都有．2023年全国高中数学联赛模拟试题13加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）设为给定素数，是个整数，均不被整除，且模互不同余，设其中．记这里，表示整数被除的余数．证明：二、（本小题满分40分）如图，在锐角中，已知，的角平分线与边交于点，点分别在边上，使得四点共圆且满足．求证：的内心是的外心．三、（本题满分50分）对于任意一个实数数列，定义数列如下：．求最小的正数，使得对任意实数数列及一切正整数，均有四、（本题满分50分）对于任意的整数．证明：数列自某项起，各项对同余．2023年全国高中数学联赛模拟试题14第一试（时间：8:00-9:20满分：120）2023年全国高中数学联赛模拟试题14加试（时间：9:40-12:10满分：180）2023年全国高中数学联赛模拟试题15第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是2．在四棱锥中，已知四边形是矩形，且,与交于点，为边的中点，则与平面所成角为3．将中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积之和等于4．已知曲线上任意一点到点与直线的距离之和等于，对于给定的点，在曲线上恰有三对不同的点关于点对称，则的取值范围是5．设方程的三个实根是．则6．已知正实数满足，则的最大值为7．设方程的个复根分别为，则8．将编号为的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有珍珠编号之差的绝对值之和为，则取得最小值的放法的概率是二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）.已知数列满足，．证明：10.（本小题满分20分）设椭圆的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于点．若，且⑴求椭圆的方程；⑵若是椭圆的有准线上的两个动点，且，求的内切圆圆心的轨迹方程.11.（本小题满分20分）设且，其中为给定的正实数，求的值域2023年全国高中数学联赛模拟试题15加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）在中，已知为斜边上的高，分别为的内心，于点，直线与，与，与分别交于点．求证：(1)且；(2)且．二、（本小题满分40分）设．试求的最大值和最小值（规定）.三、（本小题满分50分）个兴趣班，若干个学生参与（可重复参与），每个兴趣班人数相同（招满，人数未知）．已知任意九个兴趣班包括了全体学生，而任意八个兴趣班没有包括全体学生．求学生总人数的最小值．四、（本小题满分50分）对任意一个正整数，设其十进制表达为.证明：存在，使得的十进制表达的前位是2023年全国高中数学联赛模拟试题16第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．已知函数，若实数使方程有实根，则的最小值是2．在正三棱台中，上底面积，下底面积．若底边到截面的距离等于三棱台的高，则3．从中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种4．已知，且，若，则的取值范围是．5．函数的最小值为6．设，则数列的通项公式为7．如图，设分别是两个同心圆（半径分别为）上的动点．当分别在圆上运动时，线段的中点所形成的区域面积为8．设且，则的最大值为二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）.设复数满足．证明：．10.（本小题满分20分）给定整数，设，其中,满足求出所有满足条件的函数．11.（本小题满分20分）给定椭圆及点．（1）求的值使得对于椭圆的左顶点，存在椭圆上的另两点，满足以为圆心、为半径的圆是的内切圆；（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点，使得是的内切圆，并确定此时直线的方程．2023年全国高中数学联赛模拟试题16加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）已知的内心为，的内切圆切边于点，的内心分别是，的外心为．求证：三点共线．二、（本小题满分40分）设且．求证：三、（本小题满分50分）已知正整数满足．令对任意，记，其中表示不超过的最大整数，表示集合中元素的个数．证明：（1）；（2）四、（本小题满分50分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2023个站台（依次编号为1,2，…，2023）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应2023年）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数．2023年全国高中数学联赛模拟试题17第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．若对任意均有，则实数的取值范围是解：．2．已知，则的最小值为解：（利用函数单调性），等号当且仅当时等号成立，所以的最小值为2．3．用表示不超过的最大整数.则等于解：，，所以．4．已知则解：，所以．5．在正方体中，已知棱长为1，点在上，点在上，.则三棱锥的体积为解：如图，作,连接交于点三棱锥的体积为．6．已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则的最小值为解：（1）当的直角顶点在的斜边上，则四点共圆，所以在中分别应用正弦定理得.又故,故即为的中点.过作于，则,所以,此时的最小值为.（2）当的直角顶点在的直角边上，如图所示，设,则在中，在中，,由正弦定理,，因此.这样，，当且仅当取等号，此时的最小值为.7．设为抛物线上的一个动点，过作抛物线的切线与交于点在两点处的切线交于点，则点的轨迹方程是8．选择集合的两个不同的非空子集和．则使中最小数大于中最大数的概率是设A中的最大数为k，其中,整数3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k可在A中，故A的个数为：，B中必不含元素1，2，…，k，另元素k1，k2，…，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：，从而集合对(A，B)的个数为，所以所有满足A中最大数小于B中最小数的集合对(A，B)的个数为．而所有的集合对(A，B)的个数为所以使中最小数大于中最大数的概率是二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆E有且只有一个公共点M，且交轴于点P，过点M作垂直于的直线交轴于点.求证：五点共圆.（略）10.（本小题满分20分）已知函数，为正实数，且，证明：（略）11.（本小题满分20分）.已知数列满足．证明:．证明：因为，所以又，所以.所以.因此2023年全国高中数学联赛模拟试题17加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）已知数列满足，，．(=1\*ROMANI)证明：是正整数数列；(=2\*ROMANII)是否存在，使得，并说明理由．（Ⅰ）由得，（1）同理可得，（2），由（1）（2）可知，为方程的两根，又，即有，即因为所以为正整数.（Ⅱ）不存在，使得.假设存在，使得，则.一方面，，所以,即，所以.由费马小定理知，所以，另一方面，.事实上，假设，则，即，所以，而，这样得到.矛盾.所以，由费马小定理得.这样得到.矛盾.所以不存在，使得二、（本小题满分40分）如图，在等腰中，，为内一点，满足边的中垂线与的外角平分线交于点，边的中垂线与的外角平分线交于点.证明：四点共圆.三、（本小题满分50分）设为大于的素数，证明：（1）至少含有一个不同于的素因子；（2）设，其中是互不相同的素数，为正整数，则.四、（本小题满分50分）设是非空有限集合，是的个子集，满足下列条件：(1);(2)中任意一个元素属于中的至少4个集合.证明：可从中选出个集合，使得它们的并集为.解：令.现依次选定集合，使得这些集合的并集的元素个数每次递增3个，选出所有这样的集合后，不妨设，，又设，其中.因为已是满足以上性质的最大集合，则对于剩下的任意集合，有.类似地，在集合中依次选定集合，使得这些集合的并集的元素个数每次递增2个，不妨设这些集合全部被选出，则有，且；同理，对于剩下的任意集合，有.类似地，，以及，注意到，且即为上述选定集合所满足的关系，现说明.注意到中的每一个元素至少出现4次，但，，因此有：(1)在中，每个元素也至少出现4次，但，，因此有：(2)在中，每个元素也至少出现4次，因此有：(3)现考虑，，所以，即为所求.2023年全国高中数学联赛模拟试题18第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．设正整数满足且，则解：易知存在正整数满足，所以所以所以.2．方程有唯一实根，则实数的取值范围是解：原方程可化为且．①即时易知符合题意；②即时，（i）即时符合题意；(ii)即或时易知不是方程的解，因此，故，解得所以的取值范围是或．3．长方体内部对角线到三条与它互不相交的棱之间的最短距离分别为，则该长方体的体积为解：设长宽高分别为，则于是，解得，所以体积为.4．直角三角形的斜边，边的中线所在直线方程分别为则的面积为5．抽屉中装有红蓝两种短袜，总数不超过只，随机取出两只短袜，它们同色的概率为，则抽屉中红袜数量的最大值是解：设分别为抽屉中红蓝两种短袜的数目，因为拿出不同色的两只袜子的概率为，所以即，所以短袜总数是一个完全平方数，令，则，所以，又因为，所以，所以抽屉中红袜数量的最大值是.6．正实数满足，且的最小值为整数，则解：把和式中的每一项都看成以和为直角边的三角形的斜边长，把这些直角三角形逐个相接形成一个“梯子”，设为由斜边连接形成的折线的端点，则间的距离为所以，选取适当的可以使等号成立，这时折线为一条直线.因此的最小值是，所以是整数，设，则，解得注：也可由闵可夫斯基不等式得最小值xyＰOＱCDMN7．设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，如图，直线与椭圆交xyＰOＱCDMN于两点，是椭圆上异于的两点，且直线相交于点，直线相交于点.则直线的斜率为．解：设，则且，.由椭圆定义可得，,在中，由余弦定理可得,即化简得，而，故.于是有,.因此，可得，故为等腰直角三角形.从而.设，则．易得，即．同理即，相减得，所以．8．设为最接近的整数，则解：设即，而，所以使得的有个，注意到，从而或．由于，所以，因此二、解答题：本大题共3小题，共56分.9．已知直线与抛物线交于，抛物线上恰有两个使为直角三角形的点，求实数的取值范围．解：若．设，则，，所以①．由得，所以即．方程①即，若，由得,所以同理若，则所以是方程②的两根，（1）当即时且即方程②的解不为，即符合题意；（2）当即时或，符合题意；（3）当即时且，故存在四个点使为直角三角形，不合题意综上可知，实数的取值范围是．10．数列满足,记，求解：，令．设，因为所以，从而，所以，当时；当时；当时当时，也符合该式所以11.已知当时恒成立，（1）证明：方程有三个实根，（2）求.解：（1）令得令得所以，所以令得.又因为故由得，所以，所以，由得所以，此时.（2）由（1）知，方程即，令则，所以有三个实根，另一方面，设是的一个根，即，则则，所以也是的一个根，因为，所以所以所以即的值为．解法二：由可知方程的三个实根均属于，不妨的根为，则，即即，又因为，所以.所以因此2023年全国高中数学联赛模拟试题18加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）在中，，点在边上，使得．点在边上，使得．设是的外接圆与的外接圆的另一个交点．射线交于点．求的值解：二、（本小题满分40分）由无穷多个不同的正整数组成，正实数．求证：存在无穷多个，使得．（这里表示的最小公倍数）三、（本小题满分50分）设是的一个元子集，证明：存在的三个互不相交的子集满足，且．四、（本小题满分50分）设整数是非负实数．证明：2023年全国高中数学联赛模拟试题19第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．随机抛掷3颗大小、质地相同的正方体骰子．在3颗骰子所示数字中最小值是3的概率是．解：所有骰子所示点数至少是3的概率为(EQ\F(4,6))3，所有骰子中所示点数至少是4的概率为(EQ\F(3,6))3．所以3颗骰子所示数字中最小值恰为3的概率是(EQ\F(4,6))3－(EQ\F(3,6))3＝EQ\F(37,216)．2．关于x的方程x2―2ax＋a2―4a＝0有模为3的虚数根，则实数a的值是．解：由题(x－a)2＝4a＜0，所以x＝a―2eq\r(－a)i，又|x|2＝a2―4a＝9，即有a―2＝±eq\r(13)，因为a＜0，所以a＝2―eq\r(13)．3．已知正项数列{an}的首项为1，且对于一切正整数n都有an(nan－an＋1)＝(n＋1)aeq\o\al(\s\up4(2),\s\do3(n＋1))，则数列的通项公式an＝．解：根据an(nan－an＋1)＝(n＋1)aeq\o\al(\s\up4(2),\s\do3(n＋1))，写出a2，a3，a4，可归纳出an＝eq\f(1,n)．也可以变形为(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan)]＝0，由an＋1＋an≠0，得(n＋1)an＋1＝nan＝…＝a1＝1，所以an＝eq\f(1,n)．4．设以F1(－1，0)、F2(1，0)为焦点的椭圆的离心率为e，以F1为顶点、F2为焦点的抛物线与椭圆的一个交点是P．若eq\f(|PF1|,|PF2|)＝e，则e的值为．解：在抛物线中，p＝4，准线x＝－3，|PF2|是P到准线的距离．椭圆中，eq\f(|PF1|,|PF2|)＝e，|PF2|也是P到左准线的距离，则抛物线准线与椭圆的准线重合，所以eq\f(a2,c)＝3．因为c＝1，故e＝eq\f(\r(3),3)．5．设实数a，b满足0≤a，b≤8，且b2＝16＋a2，则b－a的最大值与最小值之和是．解：由题设可知，b2＝16＋a2，则b－a＝EQ\F(b2－a2,b＋a)＝EQ\F(16,\r(a2＋16)＋a)．记f(a)＝EQ\F(16,\r(a2＋16)＋a)，则函数f(a)单调递减．由0≤a，b≤8，得16＋a2≤64，解得0≤a≤4eq\r(3)．所以b－a的最小值为f(4eq\r(3))＝8－4EQ\r(3)，b－a的最大值为f(0)＝4，从而b－a的最大值与最小值之和为12－4EQ\r(3)．6．函数f(x)＝2cosx＋sin2x(x∈R)的值域是．解：[f(x)]2＝(2cosx＋sin2x)2＝4cos2x(1＋sinx)2＝eq\f(4,3)(3－3sinx)(1＋sinx)3≤eq\f(4,3)×[eq\f((3－3sinx)＋(1＋sinx)＋(1＋sinx)＋(1＋sinx),4)]4＝eq\f(27,4)，当且仅当3－3sinx＝1＋sinx，即sinx＝eq\f(1,2)时，等号成立．从而当sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝eq\f(eq\r(3),2)，f(x)取得最大值为eq\f(3eq\r(3),2)，当sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝－eq\f(eq\r(3),2)，f(x)取得最小值为－eq\f(3eq\r(3),2)．所以函数f(x)＝2cosx＋sin2x(x∈R)的值域是[－eq\f(3eq\r(3),2)，eq\f(3eq\r(3),2)]．7．正四棱锥P－ABCD外接于一个半径为1的球面，若球心到四棱锥各个面的距离相等，则此四棱锥的底面面积为．解：设四棱锥的底面边长为a，则球心到底面的距离为EQ\r(1－EQ\F(1,2)a2)．由EQ\F(EQ\r(1－EQ\F(1,2)a2),EQ\F(a,2))＝EQ\F(EQ\F(EQ\r(,2)a,2),1＋EQ\r(1－EQ\F(1,2)a2))，解得：a2＝4eq\r(2)－4，即四棱锥的底面面积为4eq\r(2)－4．8．已知△ABC的外心为O，内心为I，∠B＝45°．若OI∥BC，则cosC的值是．解：设△ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为R和r．记BC的中点为M，D是由I向BC所作垂线的垂足．由OI∥BC，知OM＝ID＝r．由∠BOC＝2∠A，BC＝BD＋DC＝2BM，得eq\f(r,taneq\f(B,2))＋eq\f(r,taneq\f(C,2))＝2rtanA，即eq\f(coseq\f(A,2),sineq\f(B,2)sineq\f(C,2))＝eq\f(2sinA,cosA)．所以cosA＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)sineq\f(C,2)＝－2sineq\f(A,2)(coseq\f(B＋C,2)－coseq\f(B－C,2))＝－2(sineq\f(A,2))2＋2coseq\f(B＋C,2)coseq\f(B－C,2)＝cosA－1＋(cosB＋cosC)．从而cosB＋cosC＝1．所以cosC＝1－eq\f(eq\r(2),2)．二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.设等比数列a1，a2，…，ak和b1，b2，…，bk，记cn＝an－bn，n＝1，2，…，k．（1）写出一组a1，a2，a3和b1，b2，b3，使得c1，c2，c3是公差不为0的等差数列；（2）当k≥4时，求证：{cn}不可能为公差不为0的等差数列．解：（1）a1＝4，a2＝8，a3＝16；b1＝1，b2＝3，b3＝9，则c1＝3，c2＝5，c3＝7．…………6分（2）设an＝apn，bn＝bqn，则cn＝apn－bqn．假设{cn}是公差非0的等差数列，则由2cn＋1＝cn＋cn＋2得apn(p－1)2＝bqn(q－1)2．…………10分当k≥4时，n可取1，2，所以有ap(p－1)2＝bq(q－1)2，ap2(p－1)2＝bq2(q－1)2．解得p＝q．于是当p＝q≠1时，则a＝b，从而c1＝c2＝…＝ck＝0．当p＝q＝1时，则c1＝c2＝…＝ck＝a－b．又数列{cn}是公差不为0的等差数列，矛盾．故命题成立．…………16分10.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．试问在x轴上是否存在定点P，使得当直线l绕点F旋转时，都有eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))为定值．解：由题意知，点F的坐标为(3，0)．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为：y＝k(x－3)．由eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1，,y＝k(x－3)，))得(2＋3k2)x2－18k2x＋27k2－54＝0，所以x1＋x2＝eq\f(18k2,2＋3k2)，x1x2＝eq\f(27k2－54,2＋3k2)．…………5分假设在x轴上存在定点P(t，0)，使得eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))为定值，eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋k(x1－3)×k(x2－3)＝(1＋k2)x1x2－(3k2＋t)(x1＋x2)＋t2＋9k2＝(1＋k2)×eq\f(27k2－54,2＋3k2)－(3k2＋t)×eq\f(18k2,2＋3k2)＋t2＋9k2＝－eq\f(54＋(18t＋9)k2,2＋3k2)＋t2．…………10分当直线l绕点F旋转，即k变化时，要使得eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))为定值，即eq\f(54＋(18t＋9)k2,2＋3k2)为定值，则eq\f(54,2)＝eq\f(18t＋9,3)，解得t＝4．此时eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝－11．…………15分当直线l与x轴垂直时，A(3，2eq\r(3))，B(3，－2eq\r(3))，此时eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝(3－4，2eq\r(3))·(3－4，－2eq\r(3))＝－11．综上所述，在x轴上存在定点P(4，0)，使得eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))为定值．…………20分11.设多项式f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a、b、c是实数．若对于任意的非负实数x，y，有f(x＋y)≥f(x)＋f(y)．求a、b、c所满足的条件．解：由f(x＋y)≥f(x)＋f(y)，得3x2y＋3xy2－c≥－2axy，x，y≥0．（*）……5分取x＝y＝0代入（*），得c≤0．不妨设x＞0，y＞0，3x2y＋3xy2＋(－c)≥3EQ\r(3,3x2y·3xy2·(－c))＝－3xyEQ\r(3,9c)，等号成立，当且仅当x0＝y0＝－EQ\r(3,EQ\F(c,3))．………………10分因此－3x0y0EQ\r(3,9c)≥－2ax0y0，从而a≥EQ\F(3,2)EQ\r(3,9c)．………………15分当a≥EQ\F(3,2)EQ\r(3,9c)，c≤0时，x，y≥0，3x2y＋3xy2－c≥－2axy，即f(x＋y)≥f(x)＋f(y)．综上所述，a、b、c满足的条件是a≥EQ\F(3,2)EQ\r(3,9c)，c≤0，b∈R．………………20分2023年全国高中数学联赛模拟试题19加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本题满分40分）ABCDEFRK如图，E、F分别是△ABC，△ACD的内心，AC平分∠BAD，AC2＝AB·AD，延长EC交△CDF的外接圆于点K，延长FC交△BCE的外接圆于点R．若RK∥EFABCDEFRK证明：如图，连接ER，FK．因为∠BAC＝∠CAD，AC2＝AB·AD，所以△ABC∽△ADC，∠ABC＝∠ACD．ABCDEFRK又∠EBC＝EQ\F(1,2)∠ABC，∠ACF＝EQ\F(1,2)∠ACDABCDEFRK所以∠EBC＝∠ACF.由∠EBC＝∠ERC得，∠ERC＝∠ACF，所以ER∥AC．同理FK∥AC，于是ER∥FK．…………20分又因为RK∥EF，所以四边形EFKR为平行四边形，从而ER＝FK．因为ER∥AC，所以∠REC＝∠ECA＝∠ECB．又因为∠EBC＝∠ERC，EC＝EC，所以△BEC≌△ECR，从而BC＝ER．同理，CD＝FK，所以BC＝CD．由eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(CD,BC)＝1，得△ABC≌△ADC，于是AB＝AC＝AD，即A为△BCD外接圆的外心．…………40分二、（本题满分40分）求所有的正整数n，使得对于任意正实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，有abc(an＋bn＋cn)≤EQ\F(1,3n＋2)．解：（1）当n≥3时，取a＝EQ\F(2,3)，b＝c＝EQ\F(1,6)，则abc(an＋bn＋cn)＝EQ\F(1,3n＋3)(2n－1＋EQ\F(1,2n)＋EQ\F(1,2n))＞EQ\F(1,3n＋2)．所以n≥3不满足题意．…………10分（2）当n＝1时，abc(a＋b＋c)＝abc≤(EQ\F(a＋b＋c,3))3≤EQ\F(1,33)，所以n＝1时，满足题意．……