多维随机变量及其概率分布

多维随机变量及其概率分布第1页/共133页第一节多维随机变量的概念一、二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度第2页/共133页一、二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量四、两个常用的分布五、小结第一部分二维随机变量的概念第3页/共133页一、二维随机变量及其分布函数1.定义第4页/共133页实例1

炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.

二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X

、Y

有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例2

考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H

和体重W就构成二维随机变量(H,W).说明

第5页/共133页2.二维随机变量的分布函数

(1)分布函数的定义

第6页/共133页第7页/共133页(2)分布函数的性质且有第8页/共133页第9页/共133页证明第10页/共133页

例3-1判断如下二元函数是否为某二维随机变量的分布函数。解：根据二维随机变量分布函数的性质4，对于任意的若取则所以该二元函数不可能是某二维随机变量的分布函数。第11页/共133页

若二维随机变量

(X,Y)所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称

(X,Y)为二维离散型随机变量.二、二维离散型随机变量1.定义第12页/共133页2.二维离散型随机变量的分布律

第13页/共133页二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为第14页/共133页

例3-2设（Ｘ,Ｙ）的分布律如下，求a的值．-11

解：由分布律的性质可知：所以第15页/共133页例3-3设（Ｘ,Ｙ）的分布律为求第16页/共133页解且由乘法公式得例3-4第17页/共133页第18页/共133页例一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.

(X,Y)的可能取值为解第19页/共133页故(X,Y)的分布律为下面求分布函数.第20页/共133页第21页/共133页第22页/共133页所以(X,Y)

的分布函数为第23页/共133页说明离散型随机变量(X,Y)

的分布函数归纳为第24页/共133页(X,Y)所取的可能值是解练习从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若X、Y分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布律.第25页/共133页第26页/共133页故所求分布律为第27页/共133页1.定义三、二维连续型随机变量第28页/共133页2.性质第29页/共133页表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.3.说明第30页/共133页例3-7第31页/共133页例3-7解第32页/共133页(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有第33页/共133页例3-8设二维随机变量（X，Y）的分布函数为求：(1)常数；（2）（X,Y）的概率密度解得第34页/共133页得从而，概率密度为第35页/共133页1.均匀分布定义3-6设

D是平面上的有界区域,其面积为

S,若二维随机变量

(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布.四、两个常用的分布第36页/共133页两个特殊的情形：第37页/共133页例3-9已知随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,其中D：求0.511D1D解第38页/共133页0.511D1D第39页/共133页练习已知随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,试求(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴,y轴及直线y=x+1所围成的三角形区域.解第40页/共133页2.二维正态分布若二维随机变量

(X,Y)具有概率密度第41页/共133页二维正态分布的图形第42页/共133页推广

n维随机变量的联合分布函数第43页/共133页1.二维随机变量的分布函数2.二维离散型随机变量的分布律及分布函数3.二维连续型随机变量的概率密度五、小结第44页/共133页二、离散型随机变量的边缘分布律三、连续型随机变量的边缘分布一、边缘分布函数四、小结第二部分边缘分布第45页/共133页一、边缘分布函数第46页/共133页为随机变量(X,Y)关于Y

的边缘分布函数.

第47页/共133页二、离散型随机变量的边缘分布律P64第48页/共133页第49页/共133页因此得离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为第50页/共133页例已知下列分布律求其边缘分布律.第51页/共133页注意联合分布边缘分布解第52页/共133页

例3-6设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。解：（1）有放回摸球情况且事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立(i,j=0,1)P{X=0,Y=0}(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)=P{X=0}P{Y=0}=3/53/5=9/25P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1}=3/52/5=6/25P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0}=2/53/5=6/25P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=2/52/5=4/25第53页/共133页

例3-6设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。所以有放回摸球情况下，(X,Y)的分布律与边缘分布律为第54页/共133页

例3-6设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。解：（2）不放回摸球情况且事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立(i,j=0,1)P{X=0,Y=0}(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)=P{X=0}P{Y=0|X=0}=3/52/4=3/10P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1|X=0}=3/52/4=3/10P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0|X=1}=2/53/4=3/10P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1}=2/51/4=1/10第55页/共133页

例3-6设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。所以不放回摸球情况下，(X,Y)的分布律与边缘分布律为第56页/共133页

由上例，在有放回摸球与不放回摸球两种情况下，(X,Y)的边缘分布律完全相同，但(X,Y)的分布律却不相同，这表明(X,Y)的分布律不仅反映了X与Y两个分量的概率分布，而且反映了它们之间的关系。

说明：若两个分量的概率分布完全相同，但分量之间的关系却不相同，则它们的分布律也会不同。第57页/共133页解练习样本点第58页/共133页第59页/共133页三、连续型随机变量的边缘分布P69第60页/共133页同理可得Y的边缘分布函数Y的边缘概率密度.第61页/共133页例3-10解且D的面积第62页/共133页例3-12解第63页/共133页第64页/共133页解练习第65页/共133页第66页/共133页第67页/共133页例5第68页/共133页解由于于是第69页/共133页则有即同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,第70页/共133页请同学们思考

边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?不一定.举一反例以示证明.答第71页/共133页因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.第72页/共133页例3-13设(X,Y)的概率密度如下所示，求P{X1/2}解：第73页/共133页联合分布

边缘分布

四、小结第74页/共133页一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广三、小结第二节相互独立的随机变量第75页/共133页一、随机变量的相互独立性1.定义第76页/共133页2.说明

(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为第77页/共133页第78页/共133页例3-15判断例3-6(P65)中X与Y是否相互独立.有放回摸球情况下不放回摸球情况下X与Y相互独立X与Y不相互独立二维离散型随机变量的独立性举例第79页/共133页解例3-16二维离散型随机变量的独立性举例第80页/共133页(1)由分布律的性质知第81页/共133页特别有又(2)因为X与Y相互独立,所以有第82页/共133页因为X与Y相互独立,解所以求随机变量(X,Y)的分布律.练习设两个独立的随机变量X与Y的分布律为二维离散型随机变量的独立性举例第83页/共133页第84页/共133页例3-14设二维随机变量（X，Y）的分布函数为解证明X与Y相互独立.由于所以故X与Y相互独立二维连续型随机变量的独立性举例第85页/共133页例3-17设二维随机变量（X，Y）的概率密度为证明X与Y相互独立.解由于所以故X与Y相互独立二维连续型随机变量的独立性举例第86页/共133页例3-18设二维随机变量证明X与Y相互独立的充要条件是=0.解由于（X，Y）的概率密度为二维连续型随机变量的独立性举例充分性:若=0,则必要性:若X与Y相互独立,则令代入则显然=0.第87页/共133页例3-19设二维随机变量(X,Y)在以原点为圆心,半径为1的圆域上服从均匀分布,问X与Y是否相互独立.解(X,Y)的概率密度为二维连续型随机变量的独立性举例

易见因此X与Y不相互独立第88页/共133页例3-20设X与Y是相互独立的随机变量,X在[-1,1]上服从均匀分布,Y服从参数=2的指数分布,求(X,Y)的概率密度.解X的概率密度为二维连续型随机变量的独立性举例

因此由于X与Y相互独立Y的概率密度为第89页/共133页解由于X与Y相互独立,练习第90页/共133页第91页/共133页例一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.

解第92页/共133页îíì=.,0,97,128,81其它yx第93页/共133页于是第94页/共133页二、二维随机变量的推广1.分布函数第95页/共133页2.概率密度函数第96页/共133页

其它依次类推.3.边缘分布函数第97页/共133页4.边缘概率密度函数第98页/共133页5.相互独立性第99页/共133页6.重要结论第100页/共133页6.举例第101页/共133页三、小结1.若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为第102页/共133页二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布

四、小结一、问题的引入第三节两个随机变量的函数的分布第103页/共133页为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入第104页/共133页二、离散型随机变量函数的分布例3-24第105页/共133页解Z=X+Y的可能取值为0,1,2,3P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=1/4P{Z=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=1/6+1/4=5/12P{Z=2}=P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=1}=1/8+1/8=1/4P{Z=3}=P{X=1,Y=2}=1/12第106页/共133页从而Z的分布律为第107页/共133页Z=|X-Y|的可能取值为0,1,2P{Z=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}P{Z=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=2}=1/6+1/4+1/12=6/12=1/2P{Z=2}=P{X=0,Y=2}=1/8=

1/4+1/8=3/8第108页/共133页从而Z的分布律为第109页/共133页Z=XY的可能取值为0,1,2P{Z=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=0}P{Z=1}=P{X=1,Y=1}=1/8P{Z=2}=P{X=1,Y=2}=1/12=

1/4+1/6+1/8+1/4=19/24第110页/共133页从而Z的分布律为第111页/共133页结论第112页/共133页例设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为于是解第113页/共133页第114页/共133页例3-25设X,Y是相互独立的随机变量，且证明证明:由题意由于X,Y相互独立所以则对于任意的r=0,1,2,…第115页/共133页结论：两个相互独立且都服从于泊松分布（参数分别为）的随机变量之和仍服从泊松分布，且具有参数第116页/共133页练习设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=X+Y