中心作业及答案微观

“yx张三的效用函数为u(xy)max(2xy,2yxxy。请问xyxy李嫂的效用函数为u(x,y)min(3xy,2x3y),请问在点(6,2)边际替代率是多少x216xw64w2。这里，xwx与wxw是互替的，在点（2，4）下列论断正确吗?xXx（横轴琴课数量，（纵轴）表示巧克力数量，画两条小莉的无差异曲线。9．小明愿意让自己消费的xyu(xy)min(2xy,2yxxy10中级微观经济作业（310日交（其中，带＊号的题为题，分为每题10分x pi

，i1,2, p2p2p 如果某消费者在三维商品世界（l123）yx12ppy x p3 p2pp x p2pp uxxxxxxxX3

已知某消费者的效用函数为Uxx，（0 设的每天时间（共24小时）分为工作时间（w）与闲暇时间（L，其效用函数为U80LLyL2，这里y为收入。设该人只有工资收入，且每小时工资为r。问：①当rr＝5时，他每天会工作多少小时？Sp变化时对商品i的需求量的净替代效应，如在效用函数为Uxx1 1S11p1S12p20已知消费者的效用函数为Ulnxx（p2，p4，y10，1 pxpyp4p'5p 3x1x23x1x2

ux1x2x3 。设商品x1和商品x2必须搭配买，搭配

p2

xp2x p

1 x

p2

p2 1 《微观经济学十八讲》，p.26，5、7。第一版的《十八讲》中第7题效用函数改为 uxAxii同，p.50，3；p.51，9考虑商品世界中任意两种商品i与j记关于第i种商品的需求的收入弹性为i证明x i

ijj （当且仅当中级微观经济（带＊号的题为附加题，正确每题最多加10分，按步骤给分，错误不倒扣分（10分）可以。 ①在pw上具有零次齐次性xp,w

pi p2

2

pi

xp,p2p2p ppxpixi p

i1p1③唯一性：给定p,w时显然满足。 ＊（附加题）x y，x

y，x y 2pp

2pp 2pp

p1 2p1令其分别为 ，

， ，即

1 2p 2p 2p

则x y，x y，x y，显然其效用函数应为Cobb-Douglas型ppp ppp ux,x,xx1x

他对xx,x,xX3的偏好关系也相应是属于Cobb-Douglas型的。 （10分）证明：Uxx

0）Cobb-Douglas型的效用函数，则在pwxp,w w，

p,w 1 1 1

1x1、x2与w具有线性关系。 x1x2w ∴x21p21p1 1

p1

pp为常数，x x即为恩格尔曲 p

∴其为一条直线 （10分）①（5分

maxU80LLr24LL

（注意yr24Lmax80L24rL1r LF.O.C8024r21rL L24时，有103r66r4r 43

=>r 434另外法将在习题课公布②（5分

r5时，F.O.C为8012012L => ∴w24L24 7.3小时。 7.3（10分）证明：Uxx1xpyyxpy1ypp1 pp 由斯拉茨基得

xip,yjj

p,yxip,yx1p,y

x1p,y，

0

p

SpS

y

1y11 12

p

p 1y1y1

另外两种方法将在习题课公布（10分）①（5分）

maxUlnx1 p1x1p2x2

L

p1

1p2Lypxpx 1 2∴

=>

p2，

yp2

y

1p2∵1p2

x10 IE

x10

x1

x1x1

2 p2p4y10，1IE0………（1，SE1 ②（5分）保持效用水平u不变，应该对消费者实行补偿1xp2xy1pp2pp vp,p,ylnp2y vlnln

lnpyp p2ep2ulnlnp2lnp1 对支出函数求偏导得到需求函1xhp2，xhulnlnplnp 1p p1p2，p4，y10，1时，v1ln2511ln213

当p'5，xh'5，xh'1ln2131ln51

e'2551ln4

e'y 10

则需要补偿 1p＊（附加题 销售的方案为1单位x搭配p2单位x，记为1p

xp2p1xc

2 p2p pcp12p2 2x1xcx22xc 3xc3xc2xcp

maxU

32xc3 s.t.pcxcp3x3Cobb-Douglas xc

23

23p2p2

=>

3p2p2

2p23p2p2

x3

.3①（10分）p26.

Ux1

e2

2

u2p12 1=>e24pp1∴ep1,p2,u⑵（3分）

U'lnx1lnminep1x1p2s.t.lnx1lnx2Lp1x1p2x2lnx1lnx2Lp xp2x Llnxln

u ∴x1

=>

p21p2 1p2∴p1x1p2x22p2x2=>x1

2

，

2

，e e

u'ln2pln2pln4pp 1

2 2

12∴expu'

=>

∴e'p1,p⑶（4分）证明：对同一组x1x2，将其代入uu4p1p2explnx1lnx24p1p2explnx1lnx24p1p24p14p1p2explnx1x24p1 ep1,p4p1

②（10分）p26.maxmaxuxAi⑴（3分 i

nnpixinLAxiyn

px

iiLAxi1xjp

ii jiLy

pixiix j pj∴xj

pijipjiypxpijxi j ppi

x

pi1x j ij

i

i ppi

y

xii

ii i

xp,yi iiny n⑵（2分

vp,yuxp,yAi Ayi

i1pie

n

i1pi⑶（2分）

j，uAi Aei j n

i1 ii

i1i=> uAi

i1pi⑷（3分）将epu代入xi， n

ijuAi i1pi

hjp,u pj

n

i

pjAi i1pi①（10分）p50.⑴（3分

p3x10p2x10

1010

1416∴xx'x16142，x2

⑵（3分）x14g21428降价前支出为g31442，∴降价使其省了422814元。 ∵12014106106120 SEpyx'214167。 ⑶（4分）IETESE2 。 ②（10分）p51.前一半错误（5分）

0时，可能主要是收到收入效应的影响，而不仅仅是替

xhp,u1 1

p,y

1xhp,u1

0

x1p,y

0xx 数却表现为x1p,y0，为总替代品，不是替代品1（5分）xx1

xhp,u

0，由需求函数 xhp,u

性质，其对价格的交叉偏导对称，必

0xx

xip,

xhp,ui i

p,y

xip,y

x xh

x

0，则 i

。… p p

jyii∵i

y （yx xh i x，… p p j

xjj

y

p p i x

x

x由需求函数的性质知i j

iij

jij

∴

xixjxixj

xj

j 中级微观经济作业（327日交（其中，带＊号的题为题，分为每题10分）327日习题课前半小时.假设一个人对面包(y)和可乐(x)的偏好序可以用下列效用函数来表达,u=x1/2y1/2,初始状态下px=1/2,py=2,I=4,px1/22,px变化引起的 证明:如果一个理性消费者的效用函数u(·)严格凹,即uˊ(w)>0, u″(w)<0,则对任何赌注h>0,如赢率等于输率,该消费者都不会加入这类赌局.＊若消费者的效用函数为u(ww1/1,求:(1)1时,该消费者的相对风险规避系数;(2)1时,该消费者的相对风险规避系数.＊考虑个人所得税,设起征点为零.设的实际所得(收入)为w,税率为t,但交税是以这个人向”报”的所得额而计算的.设这个人”报”的所得为x.于是,该人的税后收u(w-tx).个人所”报”x可以”实报”,x=w;也可以虚报,这时x<w,甚至可以报x=0.以p的概率展开稽查,假设一查便可以发现个人谎报,一经查出谎报所得,要按比率对谎报额(w-x)收罚金 如果ptp1-p)uˊ(wuˊ（w（1）],pt,请证明E(U)/xE(U)/

p5215,16同p672,4同p688同p886,7解方法一 有题意可知x=I/2pxy=I/2pyu=I/(2p1/2p 由 px*x+ x1/2y1/2可得 xh=u*(py/ yh=u*(px/py所以u04[2*(1/2)1/2*21/20 xh=u*(p/pˊ)1/2=2*(2/2)1/2=2 yh=u*(pˊ/p)1/2=2e(p1,u0)=x0 CV=e(p0,u0)–e(p1,u0)=I-e(p1,u0)=4–8=-yu1=I/[2(pxˊ)1/2p1/2]=4/(2*21/2*21/2)=y1 xh=u*(p/p)1/2=2 yh=u*(p/p)1/2=1/2e(p0,u1)=x11 所以EVep0u1e(p1u1ep0u1I24方法二EV=e(p0,u1)–e(p1,u1=pxxh(p,p,u1)dp1/2(2/p)1/2

' 'xCV=e(p0,u0)-e(p1,u0=pxxh(p,p,u0)dp1/22*(2/p)1/2

证明

'x'若消费者加入此赌局,则其期望效用为E(U0.5*U(w-h)+0.5*若消费者不加入此赌局,则其效用为LE(UU(w)0.5*U(w-h)+0.5*U(w+h)L/h=0.5*Uˊ(w+h)-0.5*Uˊ(w-h0,Uˊ(w)>0,U″(w所以:Uˊ(w+h)<Uˊ(w- 即L/h<L(h)h的单调递减函数,且L(h)连续又因为 L(0)=0.5*U(w)+0.5*U(w)-U(w)=所以:L(h)<L(0)= 对任意的h>即 E(U)<对任何赌注*rR(w,u)=-[w*1时,uˊ(w)=w

u″(w)=rR(w,u)=-[w*u″(w)]/uˊ(w)=-[w*(w1)]/w=w1

11=x那么wx

lim

lnwln)=-[*

rR(w,u)=lim若此人”报”的所得为x,则一旦查出,其收入变为 w-t*x-(w-EU(.)=(1-p)*u(w-tx)+p*u[w-tx-(w-由题意可知EU

p*uˊ[w-tx-(w-x)](-t)+(1-p)*uˊ(w-tx)(-

p*uˊ(w-w)(-t)+(1-p)*uˊ(w)(-因为p>t[p+(1-p)*uˊ(w)/uˊ(w所以有：p*uˊ(ww)-t)>(1-

p*uˊ(w-tw)(-t)+(1-p)*uˊ(w-tw)(-=uˊ(w-tw)[p(-t)+(1-p)(-=uˊ(w-tw)(p-因为uˊ(w-tw)> p<所

pu[wtx(wx)](t)2(1p)u(wtx)(t)2uˊ>0,pu[wtx(wx)](t)21p)u(wtx)(t)2 为关于x的单调递减函数又

所以一定存在唯一的x0(0,w),使 x=x0处，EU(.)

xx 的那部分收入来讲，其所要支付的期望税率p小于正常税t，由于条件1中[p(1 ]是一个大于0小于1的正数，这两个u(w(1（x=w其期望效用的最大化，进行虚报，额为（w-x0）p=a-bq：q=(a-由p(1+t)=a-bq1 snp(1tsnp(1tpD(p)dp b

a(pt)

p(1t

apt

1(p2t22

snsn

所以，消费者剩余的损失总是超过通过征税而获得的收入x2ˊ)一定优于（x1,x2，即消费者的生活水平上升了。因为Ra(w)= u″(w)dw=- c*uˊ(w)dwuˊ(w)=-c*u(w)+c0所以：uˊ(wc*0ecwu(w)=ecwec1c0经单调变换有：u(w)=u(w)=E(u)=u(w1u(w)=w2uˊ(w)>0设A马赢的概率为p(A),B马赢的概率为p(B),有p(A)+p(B)=1,此人初始水平为w0u(g1)=p(A)*u(w0-2+x)+[1-p(A)]*u(w0-2)>u(w0)且故[p(A)-p(B)]*u(w0-2+x)[p(A)-p(B)]*u(w0-p(A)-p(B)][u(w0-2+x)u(w0-uˊ(w)>0,w0-2+x>w0-u(w0-2+x)u(w0-p(A)>p(B)u(w0)<u(w0)<E(g1p(A)*(w0-2+x)+[1-p(A)]*(w0-2)=w0-2+w0w0-2+ I1+(1+r)s2=c0+c1/(1+r)=I0+r=0I0+u(c0,c1c01/2*c0=(2/3)*[I0I1/(1+r)]=(2/3)*160=320/3s1=I0-c0=60-320/3=-140/3<0r=1I0+I1/(1+r)=110c0=(2/3)*[I0I1/(1+r)]=(2/3)*110=220/3s1=I0-c0=60-220/3=-40/3（1）L=u(c1+c2)+[c1+c2/(1+r)-c(p, ch(p, c(p, 2 2 *c2(p,w)L/c1u/c10 L/c2u/c2/(1r)整理得uu/即(3)p1=1,

1c(p, ch(p, c(p,则 2 2 *c2(p,w) c(p, ch(p,因为： 0，2 0 c2pw*p20c2pw) 又由p2 c2c2pw*p2 c(p, ch(p, c(p,另外： 1 1 *c2(p,w)ch(p,

c(p,由于 0，1 0 )

c1c1* c1中级微观经济学作业（请418日交，晚交不收）1在生产函数为yFL的情形下，平均产出最大点就是平均成本最小点，由于均成本最低，这一点应该是企业最优的劳动用工点L*24yFKL的情形下，等产量线凸向原点意味着要素边际生产率二、考虑一 的风险溢价为7%，A A预期成长率g为6%，当前的红利为3元.A的当前价格位24.23元/股。请24.23元是正确的股价吗？⑵该股（A）的价格是看涨还是看跌？它会在什么价格点上达到

⑶你作为股民，会买进这支，还是卖出这支9%，rm14%,x1、rx（即x所要求的回报率）应为多少2、现在假设rf10%8%SMLrf的这rmrx？3、假设rf9%rm16%13%，SML线的斜率并未保持不变，rx会发生怎样的变化？四、已知生产函数为y ，其中y为产出，K为资本量，L为劳动投入量2y10K20L5MRTSL,K3

，在这个例子中成立吗？如果不成立（不符合4pKpL1y101010个单位gc如下：gc 1

如c如cN1000C100L13N23（这里C 为t期总土地量，Nt为tLtLrtt期工资率与地租2（steadystate）均衡时人均消费量c*N*。P114-P1157、13、14；中级微观经济学第四次作业答maxpFLLLPL

wPMPLMPAPAP956.6。其中一种要素到一定程度以后出现的，是由要素比例被破坏造成的。而规模是指所有FKLAKL1是满足边际生产率递减的，但却是规模 A的期望收益率E(rA)rfA(E(rM)rf)0.051*0.070.12。由A的预期成长率为6%，该的期望现值PV

E(rA)

0.12

50（1）当前的24.23元/股的价格完全没有考虑到该潜在的增长价值，所以这个价格是不(2由上面的计算可知，该价格看涨，并且在0元/股达到均衡(3作为股民，明显目前的价格过低，所以应该是买进这支。三、解：(1)由CAPM知：E(rx)rfx(rmrf)0.091.3*(0.140.09)(2)SML不变，所以rfSML向上或者向下平移，此时，rf上升或者下rmE(rxrfx(rmrfxrm1x)rfx1.31rfE(rxrfE(rx上升。rm

rf1%E(rxrm1%rf1%rmE(rx1%。（1）rmxrm16%/13E(r/13E(rr

13%/1.625E(r/1.625E(r 1KL12MPL0.5K2L23、由（2）可知 4，因此此题中 是成立的 但是如果K与L是不连续变化的，即等产量曲线不是一条光滑的曲线，K不能直接对L求导，则MRTS 可能不等于MPK minpKKpL

GLK(KLGL10.5K05L05GK10.5K05L05由上面两等式可得：KL，带入 10解得：KLKL5、这一生产函数为规模不变的tyftK,tL tk1C100L13N23wMPr t=0C100L3N2310030100 w0

100L13N1321313 r 100L23N2321313 c0t Ntgc0N0300000gc01.2,N1t=1c1282.3108t＝2C2c2265.6646t＝3

gc1w2gc2C3c3250t＝4

gc3

N4C4c4235.2590t＝5C5

w4gc4w5 tN N,gc t210.01c1c又cCN100L13N7yfLAL

KJpw由于生产函数为规模递减，解企业的利润最大化规划问题，pywLJLLpAL1ww1

LpA

y11

1

2 1 w

、供给函数对要素的价格求偏导： p1A1w10 13

1MP

qfLL APLqLKqLK MPLAPL时，LKL 增加企业的利润因此企业应该在0MPLAPL范围内的某处生产。企业不能在APL递增的点进行生产，因为此时必然有MPLAPL。14qfKKfLL

qfLLK 1f

L

1fLLfKfLL

fKL

LK的边际产出增加，即当固定某种要素投入量不变时，增加其他要素的投入6qKL,成本为CvKminvKs.t.KLGvKwLKLqGKGLv由上等式可得w

LvKwLKw（2

KvLqLLqL用Kq作为KKqL(q)K（q）代入总成本函数整理即可，求出B为B

（3 TCBwvTCqBwTC与q7（1 q5K10LL0.5K

K15LRTCvKwLK3L11.5KLRAC、K

LRMCSRTC10q L0.5K

即q

LSRTC10

SRAC0.310q

SRMC L

SRTC253(L13Cr,rq ifr11 r ifr zminz1,

pzr1r2

q minr1z1r2z2s.t.zz1

q解得：Cq

1

1 17、有霍太林引理可知 2004（428日周三课前交1。一 的逆需求曲线是py120y，成本曲线是cy求者的利润最大化产出水平和定假设对者征收的总量100的，者产出多少现在假设对者的每单位产出征收20的，者的产出是多少x5050pp提0如果游乐场按照社会最优价格，游客总共会骑多少次马3。一 企业在两个市场里销售。两个市场的逆需求曲线分别是p1200q1p300q，企业的总成本函数是cqqq

2。企业有能力在 20pq60.01q，其中q是每天销售的面包总数Cournot润第八讲P162：4第九讲P187-20041。一 的逆需求曲线是py120y，成本曲线是cy求者的利润最大化产出水平和定假设对者征收的总量100的，者产出多少现在假设对者的每单位产出征收20的，者的产出是多少？maxpyycyyMRpabyMRa2by（以MR1202y，MC2MRMCy30，p120ymaxpyycyyMR容易看出和没有时的问题y是同解的，产出仍为（c（d）y40p120yDDDD（e）者利润最大化问题yyx5050pp提0如果游乐场按照社会最优价格，游客总共会骑多少次马如果利润最大化的游乐场实行两部，应该对每个游客收多少门票费，和多少x解（a）pxMR 0x

pxx（e）(f)p 0xx50,pSc11502由于只有一种类型的消费者，故两部的门票费25（等于消费者剩余，骑0（等于社会最优价格）3。一 企业在两个市场里销售。两个市场的逆需求曲线分别是p1200q1p300q，企业的总成本函数是cqqq

2。企业有能力在 max200q

300q

qq

q50q200，总产量Qqq p200q550，p300q 20pq60.01q，其中q是每天销售的面包总数Cournot润（1）max60.01(qAqC)qA

5002CAq400qA Cournot均衡产量q200q p60.01200100利润

pqq pq 将AC C

5002max6

500

qC)qC

500q qC150，

C175，2

60.01150175

pqq306.25，

pq2q LACLTC0.1q21.2qqMC

2.4qLACMCq市场均衡价格pMCq行业的长期均衡产量Q600020pQ 642个企设长期均衡时证价格是paLTC0.1q31.2q2111qLACLTC0.1q21.2q111pa pMC

2.4q和Q60q600020p227.7q5再由LACMCpa1qq65max[1002(qaqbqaq5，q p1002(qq) p(qq)TCTC pMCappp1002(qaqbp400q50q p(qq)TCTC 为了保持企业的原有利润，要补贴给企业0pAC市场均衡产量QD2600000200003n

Q

20000003200000 p典型生产者利润831000新的长期均衡pD

QQ

p6按照两部原1年度会员费应该等于这类消费者剩余52 669362场地费等于边际成本这样可以求出每年的利润是

0093650005267600p6Q1p66 616pc年度会员费按偶尔网球手的消费者剩余收取52 136 年度总利润2000136maxpc3923000 即场地费每人每小时1.5元，会员费136pc2263.25923000

8(QQ)(QQ)2 2可见对任意确定的总产量Q1Q2，当Q2越小时越大，因此Q02max8QQ27Q 总产量QQQ p10Q利润

pQ

12，

pQ

Cournot模型，容易求出1Q 2Q7 QCN3，QCN pCN1032CN

CNQCN

5，CNpCNQCNC 1

CN

（1）p53MR532QMC5Q1p153Q11p1Q15Q11的反应曲线

482

482可求出每个企业的产量Q2p2532Q22p2Q25Q2NNN N2Q1Qi每个企业产量QNNpN53NQN53N48 NpNQN5QN N1NpN5MC中级微观经济学作业（请于2004年5月19日（星期三）习题课前交（带*号的为题（请自留这份作业作复习用，因期末考试前不发还这次作业变。现设有两家石油公司（CT）都签订了契约可以进入该地区采油。但油井的规模可分宽井与窄井两种，若打宽井，打井成本为＄2900万；若打窄井，打井成本为＄1600万，每一家石油公司的条件只允许其打一口井。如两家公司选择的200万桶；如一家公司选宽井，另一家公司选窄井，则一年内选宽井的公司采油300万桶，而选窄井的公司采油100万桶。井掘好三*、证明：在俩人的22静态博弈中2222个，如果存在唯一的纯策略纳什均衡，而且它是严格的纳什均衡，则该均衡必四、用一个反例说明，在俩人的33静态博弈中，如果存在唯一的纯策略纳什均衡，该均P207

8中级微观经济学作业（请于2004年5月19日（星期三）习题课前交（带*号的为题（请自留这份作业作复习用，因期末考试前不发还这次作业变。现设有两家石油公司（CT）都签订了契约可以进入该地区采油。但油井的规模可分宽井与窄井两种，若打宽井，打井成本为＄2900万；若打窄井，打井成本为＄1600万，每一家石油公司的条件只允许其打一口井。如两家公司选择的200万桶；如一家公司选宽井，另一家公司选窄井，则一年内选宽井的公司采油300万桶，而选窄井的公司采油100万桶。井掘好解：首先容易求得，如果两公司都打宽井，各自收益＄100＄1400万；一个打宽井，一个打窄井，则打宽井的收益＄1600万，打窄井的收益＄-16001600，- n证：设博弈有n个参与人，ss,s,...,s是经 剔除严格劣策略剩下的唯一 nsi isssi

us,

，又由 si是被剔除的，根 严格占优策略均衡的定义，存在sS i ussusss成立，从而uss i ss

us,

与us

us,

ssss 而ussuss，类似的，如果ss则证明结束 三*、证明：在俩人的22静态博弈中2222个，如果存在唯一的纯策略纳什均衡，而且它是严格的纳什均衡，则该均衡必 x21,x22,D不失一般性，假设唯一的纳什均衡是x12,y12，由严格纳什均衡的定义必x12x22，y12y11。为了要证明x12,y12也是 x21x11或y21y22即可（如果x21x11成立，则可以剔除D，进一步可以剔除L；如果y21y22成立，则可以剔除L，进一步可以剔除D）用反证法，如果不立，则x21x11y21y22，从而x21,y21也是纳什均衡，与题设的纳什均衡的一性。证毕四、用一个反例说明，在俩人的33静态博弈中，如果存在唯一的纯策略纳什均衡，该均P190-1711完全竞争，每个企业的利润都为0，市场价格等于pjyc，其中y是每个企业11j1 容易求出每个企业的最优销售量y满足pjyjpjyy1 由于p0，故pjycpjyyy，利润 11maxpy1j1yy1 11py1j1ypy1j1yy1111 支持合谋定价不能长1 由于yy，因 不应该帮助维持自律价 180为止。P2072088gSM时，用下面矩阵表示(c,f,g)fcgLGc

,,,,,,,,,,,,,0时，容易验证0时，容易验证(SM,LG,SM),（LG,LG,SM）,（SM,SM,LG）103不愿和别人结成，因为他的支付已经严格达到最大了，偏离该均衡只会变（D，R，这时3会选择B，使得1和2的支付小于原均衡，故1和2没有动力结成。（U,L，3P22310

L,

2L,

R,

R,R1(2)纯策略纳什均衡有LRR和RRL，故有纳什均衡P23440。nmaxpnqnqqq

1 maxpq

n1pq

n p

其后 得到古诺均衡的结 p 容易求得古诺均衡时每