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第4页共8页一元二次函数的图象和性质【典例精讲】——答案题型一：二次函数的解析式的求法例1．已知二次函数满足且的最大值是8，求此二次函数的解析式。解法一：利用二次函数的一般式设由题意得：解得∴所求二次函数为解法二：设∴抛物线对称轴为又根据题意函数有最大值为解之得解法三：利用双根式由已知的两根为故可设，又函数有最大值即例2．设二次函数满足，且的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),求的解析式.解设由知，该函数图象关于直线对称,∴即①又∵图象过点，∴c=3.②∴③由①②③得故题型二：二次函数最值或值域问题例3．已知函数在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的值.解：，对称轴为（1）当，即时，，由得，与矛盾，不合要求（2）当，即时，在[0,1]上单调递减，有，（3）当，即时，在[0,1]上单调递增，有，综上，得例4.已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。解：因为是求闭区间上的最值，则最大值可能产生在抛物线的端点或顶点上。即函数的最大值只能在或或处取得（1）令，解得，此时故的最大值不可能在处取得。（2）令，解得，此时（对称轴靠近，开口向上）故当时取得最大值1（3）令，解得，要使在处取得最大值，必需且，所以综上，所求的值为例5.已知函数，求函数在区间上的最大值解：（1）当即时，在上单调递增，此时（2）当，即时，（3）当时，在上单调递减。此时（2）其对称轴为，函数图象是开口向下的抛物线，故求最小值只需讨论区间两个端点-1与1离对称轴的距离.当，即时，为最小值；当，即时，为最小值.（3）假设存在这样的m、n满足条件，即故二次函数在区间［m,n］上是增函数，从而有∵m<n,∴m=-4,n=0.例10.已知函数当时，恒成立，求的范围当时，恒成立，求的范围解：（1）恒成立，即恒成立，只需，即（2）①当，即时，由②当，即时，由③当，即时，由，得综上得例11.已知函数(1)若函数的值域为，求的值(2)若函数值为非负数，求函数的值域解：（1）函数的值域为（2）对一切函数值均为非负二次函数在上单调递减即的值域为【练习答案】5、已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是解:本题考查二次函数图象及其性质，由于二次函数的开口向上，对称轴为,若使其在区间内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即6.已知函数在闭区间上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为解:∵,其对称轴为当时，,故,又∵,∴,∴.综上，.7.(2008·江西文，12）已知函数,,若对于任一实数,与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是解：若时，，，∵,∴符合题意.若时，在时，；在时，,∴需要在上恒成立.∴符合题意.若时,在时，;在时，∴需使在上恒成立，综上可知，.8、若函数,的图象关于对称，则.解:函数的图象的对称轴为9.设二次函数的定义域为,,则的值域中有个整数.解:∵函数的对称轴为∴函数在定义域,上单调递增，∴,10.已知函数.（1）若函数的最小值,

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