等比数列课件【高效备课精研+知识精讲提升】 高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.3.1等比数列北师大版数学选择性必修第二册第一章1.理解等比数列的定义.2.理解等比数列的通项公式及推导；并能运用通项公式解决相关问题.3.掌握等比数列的判定与证明方法．课标要求素养要求1.数学抽象：等比数列的概念．2.数学运算、逻辑推理：通项公式的应用，等比数列的判定．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；复习回顾

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示.什么是等差数列？创设情境实例1谢尔宾斯基三角形

谢尔宾斯三角形（Sierpinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。构造步骤如下:1.取一个实心的三角形。2.沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。3.去掉中间的那一个小三角形。4.对其余三个小三角形重复步骤1。问：逐次去掉了多少个三角形？1,3,9,27,81.....实例2数学文化欣赏庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.”如果将“一尺之棰”视为单位“1”，则每日剩下的部分依次构成怎样的数列？创设情境问题：这位拉面师傅拉出的面条根数是多少？拉伸次数第8次第3次第2次第1次第3次第2次第1次面条根数2根1根4根128根1,2,4,8,······,128创设情境实例3问题情景

你吃过拉面吗？拉面馆的师傅是怎么把一根面做成无数根面的？思考:

从上面三个实例中得到的数列有什么共同特点？①②③等比数列定义符号语言：或

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母

来表示.数列

是等比数列吗?为什么？思考：等比数列中，各项不能为零，公比不能为零.等比数列的定义

或注意：(1)等比数列{an}中,an≠0;奇数项的符号相同,偶数项符号相同；

(2)公比q一定是由后项比前项所得,而不能用前项比后项来求,且q≠0；(3)若q＝1，则该数列为常数列．(4)常数列a,a,a,a,…a≠0时,既是等差数列,又是等比数列;【例1】

以下数列中，哪些是等比数列？

例题讲解

解:（1）是等比数列，公比q=

（2）因为所以该数列不是等比数列；

（3）当a≠0时，这个数列为公比为a的等比数列；当a=0时，它不是等比数列.【练习1】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)常数列一定是等比数列.()(2)不存在既是等差数列又是等比数列的数列.()(3)数列1,1,2,4,8,16…是等比数列.

()(4)1,-1,1,-1,1,…是等比数列.()练一练答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)√1.给出下列命题:①若,则-a,b,-c成等比数列(abc≠0);②若b2=ac,则a,b,c成等比数列;③若an+1=anq(q为常数),则{an}是等比数列.其中正确的命题有(

).A.0个

B.1个

C.2个

D.3个解析:①显然正确;②中,abc=0时不成立;③中q=0时不成立.故选B.答案:B通项公式

数学式子表示定义等比数列等差数列名称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示?探究二、等比数列的通项公式：

……由此归纳等比数列的通项公式可得：等比数列等差数列……由此归纳等差数列的通项公式可得：类比法一：类比归纳法探究二、等比数列的通项公式：

累乘法……共n–1项（×）等比数列法二：叠加法……+）等差数列类比

归纳总结知三求一例2:在等比数列{an}中,a1=1,a4=8,则a6=?

例题讲解

例2

已知等比数列{an},若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.解:由等比数列的定义知a2=a1q,a3=a1q2.故an=2n-1或an=23-n.【练习】

已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4=,求an.【练习】在等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么这个数列的公比为(

).在等差数列中试问：在等比数列中，如果知道和公比q，能否求？如果能，请写出表达式

。思考：变形结论:在等比数列{an}中,(1)若a4=27,q=-3,求a7;(2)若a2=18,a4=8,求a1和q.练一练解析：1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则

.

特例:若m+n=2p(m,n,p∈N+),则am·an=

.2.对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=….项与序号am·an=ap·aqap2思辨1

若数列{an}为等比数列,且m+n=p(m,n,p∈N+),则am·an=ap?思辨2在等比数列{an}中,若am·an=ak·al,是否有m+n=k+l成立?证明：【例2】

已知{an}为等比数列.(1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.(2)根据等比数列的性质,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.练习1已知等比数列{an}的项a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根,则a5·a8=

.

解析:∵等比数列{an}的项a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根,∴a3·a10=-5,∴a5·a8=a3·a10=-5.答案:-5练习2

已知等比数列{an}满足an>0,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥3时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于(

).A.2n B.2n2 C.n2 D.n答案:192等比数列的通项公式(2)

等比数列名称等差数列概念常数性质通项通项变形回顾小结从第2项起,每一项与它前一项的比等同一个常数公比(q)q可正可负,但不可为零从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数公差(d)d可正可负,且可以为零对比记忆

一等比数列通项公式的求解

例2一个等比数列的首项是2,第2项与第3项的和是12.求该数列的第8项的值.

2n

衍生等比数列1.对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为

q;2.在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为qk+1.

3.数列{c·an}(c≠0),{|an|},{an·bn}({bn}也是等比数列),等也是等比数列.【例3】

已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于(

)答案

D解析

∵{an}为等比数列,∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9也成等比数列,∴(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=5×10.又数列{an}各项均为正数,∴a4a5a6=5.练习1等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为(

)A.32 B.64

C.128

D.256答案

B解析

由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且

=2,故a36=4×24=64.练习2.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=

.

答案

480

解析

根据等比数列的性质可知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列,即(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),

二等比数列的函数特性

单调递减单调递增

单调递减单调递增不变单调递减单调递增不变单调递增单调递减不变

四等比中项

×××√

训练1

如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(

)A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9答案：B解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，∴b2＝(－1)×(－9)＝9∵b<0，∴b＝－3.又∵b2＝ac，∴ac＝9.故选B.练习(2)已知等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列{an}的前10项之和是(

).A.90 B.100

C.145

D.190解析:设公差为d,由题意得

=a1·a5,∵a1=1,∴(1+d)2=1+4d.∴d2-2d=0.∵d≠0,∴d=2.∴S10=10×1+×2=100,故选B.答案:B例2

已知等比数列{an}的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.跟踪训练2

(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.

等差数列等比数列定义通项公式中项性质an+1-an=dan=a1+(n-1)d等差数列与等比数列的类比课堂小结1.3.1等比数列北师大版数学选择性必修第二册第一章第三课时思考1.若{an}是公比为q的等比数列，c为常数，则下列数列是等比数列吗？若是，公比是什么？

2.若{an}是各项为正数的等比数列，则下面的数列是等比数列吗？√√√

√4.若lga，lgb，lgc成等差数列，则a，b，c成

数列.等比3.若2a，2b，2c成等比数列，则a，b，c成

数列.等差例1

例2变式探究将本例中条件换为“数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1”，求证：{an＋1}是等比数列，并求an.

例3

例4

训练

已知数列{an}的前n项和Sn＝a2n－1(a≠0，a≠1，n∈N＋)，试判断{an}是否为等比数列，请说明理由．解析：数列{an}是等比数列，理由如下：a1＝S1＝a2－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1)＝(a2－1)a2n－2当n＝1时，a1＝a2－1，符合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N＋)即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列．1.3.1等比数列北师大版数学选择性必修第二册第一章第四课时1.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；解设数列{an}的公比为q.由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围.解bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由bn＞bn＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2).例2

若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比q＝________．4

例3

在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝(

)A．9或－9B．9C．27或－27D．－27

答案：B3.等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于A.(－2)n－1

B.－(－2n－1)

C.(－2)n D.－(－2)n解析设公比为q，则a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.√二、等比数列的合理设法1、若3个数成等比数列，通常设为

；2、若4个数成等比数列，通常设为

；3、若5个数成等比数列，通常设为

.a,aq,aq2或或

练习(1)三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,则这三个数是

.

答案

2,4,8或8,4,2例4

(1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_____.45解析(1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.反思感悟几个数成等比数列的设法推广到一般：奇数个数成等比数列设为(2)四个符号相同的数成等比数列设为推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.

训练

在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为√∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.所以a3＝216.所以a＝6.由题意知第4个数为12q－6.故所求的四个数为9,6,4,2.故所求得的四个数为9,6,4,2.

7273例3

某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解析：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，a3＝10(1－10%)2，….由等比数列定义知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1.所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元．(2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元)．所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元．

777879随堂小测

A2.若各项均