《探究与发现为什么是双曲线的渐近线》教学设计(部级优课)-数学教案

教学基本信息课题为什么是双曲线的渐近线学科数学学段高中年级高二相关领域解析几何教材人教版选修2-1教师姓名刘进学校北京市通州区潞河中学电学背景分析指导思想与理论依据新课程倡导通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发生和创造的历程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。学生获得新知识，应该是建立在已有知识的基础上，通过发现、验证、推理，体会知识形成的过程，将知识和思维方法纳入自己的知识结构中。教学内容分析解析几何的一般研究方法是，建系求曲线方程，通过曲线方程的代数特性来研究曲线的几何特性，双曲线作为学生不太熟悉的曲线，有很多几何特征需要利用解析几何的方法来研究，是培养学生探索精神，提高思维能力的极好素材。学生已经学习了椭圆的简单几何特征，双曲线简单的几何特征，对于研究方法有了初步的体会。本节课通过创设问题情景，激发学生对双曲线方程进行深入思考，借助图形计算器的帮助，发现并认识双曲线的渐近线。学生情况分析潞河中学的学生基础相对较好，具有一定的探索精神和较好的学习能力，但是对于探索知识形成的过程重要性认识不够，提出问题、分析问题和解决问题的能力有待于进一步提高。

教学目标1.了解双曲线渐近线的概念，知道它们刻画了双曲线的什么几何性质。会根据双曲线方程求渐近线方程，根据渐近线方程求双曲线方程。2.通过问题情境的创设与问题引导，引发学生自主研究并获得双曲线的渐近线。在经历探究双曲线的渐近线的过程中，体会用代数方法研究几何问题的过程，促进学生对“数”与“形”的联系的运用与认识。3.借助于图形计算器完进行研究，体验知识形成发生发展的过程，激发学生学习数学的兴趣，培养探究精神。教学重点和难点重点：在图形计算器的帮助下，发现双曲线的渐近线，求出其方程，理解其几何意义难点：渐近线的发现与认识教学方法探究式教学媒体与资源图形计算器辅助教学教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图一、复习引入双曲线的定义、标准方程是什么？简单几何性质有哪些？复习回顾温故知新二、问题探究问题一：在练习本上画出方程相应的双曲线的草图。问题二：为什么图形画的不准确？问题三：观察、研究方程，并与图形计算器画出的图形联系，看看曲线上点的坐标有什么变化趋势？问题四：用代数方法更严格地说明双曲线与直线越来越贴近，但永不相交.问题五：叫做双曲线的渐近线，随着的增大，它与双曲线无限接近，但永不相交。以前我们似乎也遇到过这样的情况，你能举例说明吗？问题六：探究双曲线的渐近线.问题六：从“数”的角度发现双曲线方程与它的渐近线方程之间的关系.问题七：通过前面的学习，你能不能根据方程相对准确地画出双曲线的草图？画图，相互对比，再用图形计算器画出标准图形进行对比。再重新审视双曲线方程，明确自己画图时忽略了什么。研究方案一：利用方程进行解释将方程改写为，发现随着的增大，与越来越接近，即双曲线与直线无限贴近.研究方案二：利用图形计算器，通过数学实验验证将点到直线的距离（或者纵坐标之差）用函数表示，利用单调性来说明.以第一象限为例，，当时，随着的增大，逐渐减小，但是一直都达不到0.其它象限由对称性也能得到这样的结论.列举指数函数、反比例函数、对勾函数等例子。教师引导学生思考每种函数的渐近线是什么，如何从“数”上体现“无限接近，永不相交。方案一：任取满足条件的，，利用用图形计算器画图，猜想一般双曲线的渐近线方程，然后再举例验证.方案二：类比得到的渐近线方程的过程，，双曲线无限接近直线.感知、猜想后，再进行严格的说明.斜率的绝对值是虚半轴长与实半轴长之比；将的“1”改写为“0”即得到渐近线方程；……说明如何利用渐近线来画双曲线的草图。学生画图是根据自己所掌握的双曲线的大致形状和简单几何性质如顶点等知识画出，形状与双曲线的实际形状有一定差异，促使学生发现新的性质使学生意识到自己在画图时没有充分地将“数”和“形”结合起来经过观察、独立思考、讨论发现：双曲线与直线无限贴近.即随着的增大，双曲线无限接近于直线，但是永不相交.引导学生利用方程来研究曲线，发现渐近线.从对“数”和“形”的感性认识上升到理性认识，深刻体会坐标法的应用结合学生已有知识结构，加深对渐近线的理解.从特殊情形推广到一般情形，明确一般双曲线的渐近线方程.引导学生发现双曲线方程与渐近线方程结构上的关系回归解决问题一，实现根据曲线的方程研究它的性质、画图的目的三、拓展延伸你还可以得到哪些关于渐近线的结论？例如：渐近线斜率越大，双曲线开口越大；焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为；表示有相同渐近线的双曲线系.……通过渐近线方程进一步认识双曲线，实现“数”与“形”的统一四、课堂小结通过本节课的学习，你的收获是什么？谈知识、过程、方法上的体会.梳理探究过程，上升到思想方法层面教学设计特点1.以往的“双曲线的渐近线”教学多数是教师直接给出渐近线由学生感知和理解，再进行严格的说明，本节教学设计突出以学生为主体，教师引导学生从“形”上去发现，用“数”来解释,数感更好的学生可以直接从“数”上发现，