数学思维品质剖析

数学思品剖析摘要：数学思维在思维科学中具有极其特殊的重要地位数学的教学几乎无时无刻不在引导学生进行思维活动并广泛地应用各种思维活动的方法和规律在数学思维中思维方法决定着思维活动的成败和质量因此研究数学思维的品质对于形成完善的数学思维结构和发展数学思维能力具有重要的意义而数学思维不仅具有一般思维的特征同时也具有自身的个性特征那么该文将简要地论述一般思维的概念与特征，并由此出发来探讨数学思维及品质。提纲：数学思维品质（一）数学思维的广阔性（二）数学思维的灵活性（主要介绍了“退却”思想的应用）（三）数学思维的深刻性（四）数学思维的批判性关键词思维；数学思维活动；思维品质正文数学思维是一种特殊的思维是人脑运用数学符号与数学语言对数学对象间接概括的反映过程具体来说数学思维是以数学概念为细胞通过数学判断和数学推理的形式揭开数学对象的本质和内在联系的认识过程。数学思维既从属于一般的人类思维到一般思维规律的制约同时由于数学及其研究方法的特点数学思维又具有不同于一般思维的自身特点学思维的品质是衡量数学思维质量的重要指标决定了人们的数学思维能力大致可以分为以下几种：（一）广阔性数学思维的广阔性表现在思路宽广在问题涉及的范围中进行多方面思考；既能抓住问题的细节，又能纵观它的整体；既能抓住问题本身兼顾有关的其他问题善于多方面解释事实善于思考问题的一题数解善于把知识概括归类，形成知识结构等。数学对象是复杂的，既不象一个球个角度观察都是一个形状也不象一张纸总是一个平面而无层次因此数学思维需要有丰富的层次和不同的角度。例1.1设三个不为零的复数,z,z满足条件++z=0,||=|z|=|z|,11313它们对应的点Z,Z,Z是一个正三角形的三个顶点。13证一利用复数的三角形式证）令zrk

sink

)k

k=1,2,3不妨设其0由于+z+=012323于是｛

cos12sin123

23232132)()zz323232132)()zz3消sin

3

,

3

得cos(12

1224或332同或322综合三式33所以复数z,z,对应的点,Z,Z将同一圆周三等分故为一正三角132形三顶点。证二利用复数的模证）不妨设|z|=|z|=||=1，只要证即可1312231由题意z=)z)33于是，z)()31zz1

2

2从而1

2

2211

()=31所以z=3同理==312231由此可Z是正三角形。12证三利用复数运算的几何意义证）由题设知点ZZZ在以原点O为圆心的同一圆周上，13又由z=，在复平面上对应的点'2（如图1.1则由复数加法的几何意义知，Z'OZ'都是正三角形，2OZOZ''OZ=23

23

2同理=Z，121Z，Z是正三角形的三个顶点23（二）灵活性思维的灵活性是指依据客观条件的变化及时调整思维的方向的灵活性表现在不受思维定势和固定模式的束缚于发现新的条件和新的因素在思维

12或xx12或xxx2受阻时能及时改变原思考路线，修定原订方案，从而找到新的方案和新的途径。比如，在数学解题过程中，善于“退却到最原始而不失其本质的地方，退却中放弃一些约束条件以便争主动权自由度精心选“突破口”进行战略“反攻也是解决数学问题的一种重要策略。例2.1（从复杂退到简单已知方程组

xx124x132000x试求x。1220001989x121999这是一道国际数学竞赛问题，已知方程组中含有2000未知数，且方程组的次数是，显然用通常求方程组解的思路和方法是不可能的。但我们要解决此类复杂问题，可先将问题尽可能简单化以降低难度系数为此，我们得x1保持原方程组的结构不变，先解简单的方程(2)1x由1得xx3

1代入2得x解此方程不难得到：x，xx1x2

5此解法的关键是将方程（）看作与（x）两个未知量的方程，因此可123解决原问题：将第一个方程变形为x1989

x2000

x1

1x1988

，代入第1989个方程得xx11988

=

152

(4)同理将第一个方程变形并代入第1990个方程xxx1

=

152

(5)联立（4）得

1x2112

xx21988xx21989

152152

2或xxx22或xxx21x1123从而解得x或x2

xx21988xx21989

152152例2.2（从多参数退到较少参数1111设a,求a()()(bccaab此题涉及三个参数,b,明难度较大，我们不妨抓住问题的本质特征，大胆将多参化为少参的类似问题。1设，。决，ba1111abba1111我们可得启a))()bcca1111=a)())acaa11=)()=ac从而原命题很容易得证。例2.3（从抽象退到具体问题在一个平面上有n个点，n>4，任何三个点都不在同一直线上。求证至少能找n

个凸四边形，其顶点是给定的个点。解决抽象问题难就难在一时难以发现它的一般规律可以先就几个具体的特殊情况进行分析，归纳，再从特殊中获取一般的解决方法。因为n>4，所以先讨论n=5时的命题是否成立。C25

n时只要证明至少存在一个凸四边形即可。此时共有三种情况：（1）五个点是凸四边形的五个顶点，因五个点中任意四个点都可以构成一个凸四边形，故命题真。（2）五个点中的四个点是一个凸四边形的顶点，命题显然真。（3）五个点中的三个点ABC构成一个三角形，其余两点DE在三角形内，此时A，B，C三点中有且只有两个点在连线的同旁。不妨设B，C位于DE的同旁，则BCDE即是一个凸四边形，命题亦真。总之，当n=5时原命题成立。在此基础上们证明原命题成立意给定的n个点组成一个点集。从n个点中任取5个点组成一个子集，则可得Cn

个不同的子集。已知在每个子集中必有四个点构成一个凸四边形一方面又因同一个凸四边形的四个顶

52325232点至少属个不同的子集，故所不同的凸四边形的个数不少于

5n往证f(

1n

n

g()当n=5时f当n=6时f(6)g(6)f()n(n2)(nnn当n=7时g(n120n60

5(n4)nn6260因而总有

C3，即至少能找C3nnn

个凸四边形，其顶点为已给的n个点例2.4（从整体退到部分问题用2，3，4，5，6，7，8，9八个数组成不同的四位数，使其乘积最大，求这样的两个四位数。解某些问题，比如本题若一开就抓住所有已知条件不放，则很难找到突破口。如果我们放弃部分条件得题途径之后再将放弃的条件逐一加入使问题得以彻底解决。本题用2至9这八个数组成不同的四位数中找到乘积最大的两个四位数，不仅计算量大且繁，而且很难发现其规律。但若我们先放弃前四个数字考虑，7，8，9组成的两个四位数，使其乘积最大，则问题就简单多了。显然98必须放在两个两位数的十位上须比97的大小就行了。(8697故知最大的两位数分别是9687。同比较965874和875可。因6798知其前三位数为964与875。最后，9643故知9642与8753的积最大（三）深刻性所谓思维的深刻性就是指在分问题解决问题的过程中探求所研究问题的实质以及问题之间相互联系的一种思维品质学思维的深刻性表现在于察数学对象的本质属性与相互联系能捕捉矛盾的殊性从究材料中揭示隐藏的特殊情况发最有价值的因素；能迅速确定解题策略和各种方法模式等。例3.1：已知函u

x

2

y

2

定义在区域G上：

(2y，试求u的最25大值和最小值。

22T22T分析：设Px,)是区域G上任意一点，因区域是一个椭圆（包括边界x2是P点到坐标原点的距离OP的平方u

1OP

的最大值和最小值问题，可归结为求其倒数函数y2（恒为正）的最小值和最大值的问题，而x

2

y

2

(

2

)是一个同心圆簇。从图可以看出：求x

2

y

2

在区域G上的最大值和最小值，只需求出圆簇与椭圆相切时，参t分别所取的最小值与最大值。解：由方程组可

(1)x2y(2)得

x

2

x

从而(175

2

)

50(4)注意到（2得方程（3）的解须满足1x7(5)由（1）得

(3.1)t，解得xy此时圆与椭圆切）1717157t时，解x6，y（此时圆与椭圆切(6)(6)444171综上所述，当xy时有最大值1；xy时最小值。450（四）批判性思维的批判性也叫思维的独立性是善于发现问题出疑问别是非，评价优劣的一种思维品质。批判性的思维是一种实事求是，周到，缜密的思维。例4.1：求证11

52某些数学复习资料中给出了如下的证法：

设

11x，则x2，于是x

52又因x，

52如果能发现本题实质上是求证x1（个根号即数列51，010的极限为，而这是不可能的，由此判断该题目及证明都是2错误的。这就表现出思维的批判性，而非思维的盲从性。总之灵活地运用合理的数学思维方法培养良好的数学思维品质在解决数学问题的过程中，起着不可估量的作用！它常能使问题由大化小，由小化了，巧妙而简捷的得到解决让人顿觉思路自然条理清晰显示出数学特有的不容辩驳的逻辑力量和数学美感„参文[1].李玉琪.数学教育概论[M].北京：北京科学技术出版社，1999.37-59.[2].李永新.曾峰.中学数学教材教（上册[M].长春东北师范大学出版社，1