第三章复变函数的积分

第三章复变函数的积分..az,z,z,zb01n1nkk:snfznkkJfzdzc 积分. 关,而且和积分路径C有关.ccc所得到的.c2zzz,11(z2z2)1b2a2等,从而应与的极限相等.今2122k1kk12zdz1b2a2所以c2t zapeizapei设f(z),g(z)沿曲线C连续,则有下列与数学分析中的曲线积分相类似的性kkkkkkkkLC证由不等式取极限即得证.jdzjdz证C的参数方程为111jdz共2而C之长为2.由定理3.2,Cz2.jdz<2冗r(r>0,a丰r)z=r(z-a)(z+a)r2-a2jdz=0证若a=0,则z=rz2(例3.2),不等式成立;若a才0,,则由负积分的基本性注 0003.2柯西积分定理1.柯西积分定理 定理3.3设f(z)在z平面上的单连通区域D内解析,C为D内任一条围线, 则C要证明这个定理是比较困难的.fzD下，得到一个如下的简单证明.CCC有格林定理,CC故得C故得C现在先由柯西积分定理，可以得到定理3.4设f(z)在z平面上的单连通区域D内解析,C为内任一闭曲线(不CCCCC0010000ll00x的f(z)的一个不顶积分或原函数(显然0(x)必在D内解析)0任何一个原函数,则z00(3.12)0定理3.3’设是一条围线,D为C之内部,发f(z)在闭域D=D+C上解析则由定理3.3'的假设,f(z)必在z平面上一含D的单连通区域G内解析,于是(2)由定理推证定理(2)由定理推证定理今设G为C之内部，则f(z)必在闭域G=G+C上解析.于是由定理3.3,就有：C下面的定理要比定理更一般，它是从一个方面推广了的柯西积分定理.连续(也可以说“连续到C”)，则：C理n比较麻烦,故从略不证.例3.7计算下列积分:j 5.柯西积分定理推广到复围线的情形下面我们从另一个方面推广柯西积分定理,即将柯西积分定理从以一条(单)围线为边界的有界单连通区域,推广到以多条围线组成的”复围线”为边界的有界CCC=0,CCC=0,01nCCC.01n证取n+1条互不相交且全在D内(端点除外)的光滑弧L0,L1,L2,…,Ln作为割TT12将这两个等式想加,并注意到沿着L0,L1,…,Ln的积分,各从相反的两个方向取了§3.3柯西积分公式及其推论1.柯西积分公式我们利用柯西积分定理(复围线形式)导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式.定理3.11设区域D的边界是围线(或复围线)C,f(z)在D内解析,在析 定义3.4在定理3.11的条件下,2冗icG-z称为柯西积分. 思考题在定理3.11的条件下,如果z=D,则柯西积分2冗iG-z之值如何? 则02几00既f(G)在圆心z0的值等于它在圆周上的值的算术平均数.0或0 试证:在圆z想R内f(z)至少有一个零点.矛盾.故在圆z想R内f(z)至少有一个零点.2.解析函数的无穷可微性z其中C是绕i一周的围线.解因为cosz在z平面上解析，应用公式(3.19)于f(z)=cosz，我们得定理3.14设f(z)在z平面上的区域D内解析，则f(z)在D内具有各阶导数，并且它们也在D内解析.借助解析函数的无穷可微性，我们现在来把判断函数f(z)在区间D内解析(1)x,y(1)x,y,x,y在内连续；3.柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理za=RK刘维尔定理有界整函数f(z)必为常数.01n0至少有一个零点.4.摩勒拉(Morera)定理我们现在来证明柯西积分定理(定理3.3)的逆定理，称为摩勒拉定理.有有c下面我们着重指出刻划解析函数是第三个等价定理.cf(z)为常数.故有界,由刘维尔定理可见F(z)是常数.因此f(z)也是常数.rnrrnrn由zzn在z平面上任取一点z.再取以z为心,以r为半径的圆周C,使圆周C1z|zR全含于其内部.于是有rz.这时对于C,必R,因而fnzrn.由柯西不等式可得5.柯西型积分称为柯西型积分.为柯西型积分的特例,但柯西型积分就不一定为柯西积分.1 非柯西积分.证明留给读.者§4.解析函数与调和函数的关系Duv导数.现在我们来研究应该如何?u?u?v?u==-?2v得因?x?y?y?x在D内连续，它们必定相等，故在D内有?2vA=?2+?2这里?x2?y2是一种运算记号，称为拉普拉斯算子.调和函数常出现在诸如流体力学、电学、磁学等实际问题中.?u?v?u?v?x?y?y?x?x?y?y?x调和函数.由此,如已知一个解析函数的实部u(x,y)(或虚部v(x,y))就可以求出它有二阶连续偏导数，且?x2?y2?u?u?u?uv(xy)=j(x,y)-?udx+?udy+C则,(x0,y0)?y?x(3.22),与路径无关.将(3.22)式分别对x,y求偏导数，得?v?u?v?u注(1)如单连通区域D包含原点,则(3.22)式中的(x0,y0)显然可取成原点(0,0)；如D非单连通区域，则积分(3.22)可能规定一个多值函数.(2)公式(3.22)不必强记,可以先如下去推(3.21)：由xyyx，然后两端积分之.xyyxxyyx然后两端积分，有(x0,y0)yx(2)如果v是u的共轭调和函数，那么v的共轭调和函数是什么？数f(z),使合f(0)=i.zuxxyuy=-6x2uxx=6x,uyy=-6x故0故xyyO(x,0)xv=u=3x23y2yx故xyv(x,y)=arctgy(x>0)例3.16验证x在右半z平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z).v=yx2=y(x>0)v=1x=x(x>0)2y解:x2于是vxx+vyy=0(x>0),故在右半z平面内,v(x,y)是调和函数.x2+y2x2+y22=jx